劉婭婭

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與科學(xué)史研究中心，西安710127)

等程律無疑是古代中國對世界文明做出的偉大貢獻(xiàn)，其發(fā)明者朱載堉(1536～1611)“潛思有年，用力既久”，［1］在充分汲取前人經(jīng)驗教訓(xùn)的基礎(chǔ)上，首發(fā)“新法密率”，即十二等程律(12-tone equal temperament)，徹底解決了幾千年來律學(xué)史上的“返宮”①中國古代“返宮”概念對應(yīng)西方的“closed cycle”，指八度圈是否為一個封閉的圓。難題，這是他在聲學(xué)、律學(xué)、算學(xué)和文化史上獲得的最偉大的成就［2］。鑒于朱載堉等程律的重要性，中外諸多學(xué)者對此都有所研究，但由于語言、文獻(xiàn)等方面的障礙，一些西方學(xué)者對朱載堉等程律的創(chuàng)立或持懷疑態(tài)度，如美國學(xué)者庫特納(Fritz A.Kuttner，1903～1991)曾提出:“朱載堉沒有對等程律作出數(shù)學(xué)或理論的解說，只給出了部分的演算程序。”［3］近代，隨著學(xué)者們對朱載堉著作的譯注、傳播及算法的復(fù)原，這種質(zhì)疑已逐漸滅跡，但對朱載堉首發(fā)十二等程律數(shù)學(xué)計算和理論框架的復(fù)原研究還有待完備與深化。本文在對朱載堉等程律創(chuàng)立流程的復(fù)原過程中發(fā)現(xiàn)，其等程律創(chuàng)立的代表作《律學(xué)新說》(1584年)、《律呂精義》(1596年)及《算學(xué)新說》(1603年)中所述新法密率的創(chuàng)立流程體現(xiàn)出了高度的數(shù)值分析思維，如將朱載堉自制八十一檔大算盤②朱載堉獨創(chuàng)八十一檔大算盤，計算精度達(dá)到二十五位。比作現(xiàn)代計算機(jī)，這種對應(yīng)將更加突出的顯現(xiàn)出來。

1 律學(xué)上的難題——實際問題的提出

1.1 律學(xué)上的實際問題

歷代律學(xué)家在律制探索的道路上，逐漸認(rèn)識到三分損益法不能實現(xiàn)“黃鐘還原”，①“黃鐘還原”與“返宮”目的一致，從第一律黃鐘出發(fā)經(jīng)過某種計算再回到出發(fā)律，三分損益法不能實現(xiàn)“黃鐘還原”的根本原因就是其相生因子2/3，4/3計算所產(chǎn)生的最大音差。針對這一問題，朱載堉在《律呂精義·序》中說到:

臣嘗聞臣父曰:“六經(jīng)有聽律之文，無算律之說，律由聲制，非由度出。黃鐘之聲既定，則何必拘九寸?執(zhí)守九寸，為說誤矣……則知三分損益之法非精義也?！背悸劥苏Z，潛思有年，用力既久，豁然遂悟:不用三分損益之法，其義益精。(［1］，27頁)朱載堉已認(rèn)識到黃鐘還原問題是律學(xué)史上的一大未克難題，且其產(chǎn)生的原因有:(1)律音是由測音器所產(chǎn)生的聲調(diào)高低(取決于發(fā)聲體振動的頻率f，朱載堉時期雖無頻率及音程概念，但已通過管、弦等聲學(xué)試驗，掌握以弦長或管長數(shù)據(jù)計算律長以定各律音高之法，遵循λ=1/f)所定，而非由度量標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)生，這是律學(xué)的物理本質(zhì)。(2)黃鐘音高確定，為何拘守九寸，固守九寸為黃鐘的說法是一種誤解。②《律呂精義·不宗黃鐘九寸第二》曰“黃鐘(之聲高)無所改，而尺有所不同”。(3)三分損益法計算精度不足。

1.2 歷代造律的弊端及矯正要點

舊律不能實現(xiàn)黃鐘還原，有其內(nèi)在原因，朱載堉指出歷代造律之三弊端:(1)“王莽偽作非至善”，王莽度制本身存在問題③《漢書·王莽傳》曰:清麗而哀，非國之聲也。朱載堉評:根本不正，此之謂也。;(2)“劉歆偽辭全無可取”，劉歆考據(jù)不明，不可取用;［4］(3)“三分損益舊率疏舛”，三分損益舊率計算粗疏舛錯。矯正舊律有三個要點:“不宗王莽律度量衡之制，一也?！辈灰罁?jù)王莽所定度量衡制;“不從漢志劉歆班固之說，二也。”不依照劉歆、班固的理論;“不用三分損益疏舛之法，三也。”不用粗疏舛錯的三分損益法。(［1］，1頁)這里需指出，三分損益律雖不得還原黃鐘，但其以純五度生律，保證了各律音調(diào)的純正。［5］

1.3 兩個實例——京房六十律與何承天新律

在朱載堉創(chuàng)立新法密率之前運(yùn)用三分損益法解決黃鐘還原問題上，有代表性的兩種律算有——京房六十律與何承天新律。漢京房(公元前77～前37)在三分損益法生律越多越有可能回到黃鐘律的指導(dǎo)思想下，其所制六十律仍未能在理論上解決黃鐘還原問題④南朝宋元嘉太史錢樂之更是在京房六十律基礎(chǔ)上依三分損益法計算到了三百六十律。。朱載堉引《宋書·律歷志》評論到:“‘京房⑤西漢律學(xué)家，本姓李，字君明，提出“竹聲不可度調(diào)”。不思此意，引而伸之，仲呂上生執(zhí)始，執(zhí)始下生去滅，至于南事，為六十律，竟復(fù)不合，彌益其疏?！?］算術(shù)不精，此之謂也。”(［1］，2頁)事實上，京房六十律仍屬三分損益律范疇，具體計算法是:“是故十二律得十七萬七千一百四十七，是為黃鐘之實。又以二乘而三約之，是為下生林鐘之實……推此上下，以定六十律之實?！保?］

京房先設(shè)黃鐘律數(shù)177 147、黃鐘律長9寸、京房準(zhǔn)黃鐘長9尺。依三分損益法計算，由第十二律仲呂再上生一律到第十三律執(zhí)始［共計上生7次(4/3)7，下生5次(2/3)5］，并未回到出發(fā)律黃鐘。按照英國語言學(xué)家、比較音樂學(xué)家埃利斯(Alexander John Ellis，1814～1890)所創(chuàng)音分值計算法①音分的發(fā)明者，定義音高的物理聲學(xué)原理，八度音程頻率比2:1分成均等的1200份，對應(yīng)數(shù)值為所求音分值，用對數(shù)表示音程關(guān)系:xn/log(fn/f0)=1200/log2。，可知是由執(zhí)始律f12與黃鐘律f0的音高差所導(dǎo)致:

將(1)式代入(2)式，計算執(zhí)始與黃鐘音差的音分值:

這個音差稱為最大音差或古代音差。為消除這個音差，即實現(xiàn)黃鐘還原，從漢代開始律學(xué)家們做出了艱辛努力，這也成為推動古代律學(xué)發(fā)展的內(nèi)在動力。在執(zhí)始律宣告失敗后，京房繼續(xù)向下計算，一直計算到第六十律南事律。事實上，不必計算到60律，當(dāng)京房生律53次計算到第54律時，得到了比執(zhí)始律更接近黃鐘的色育律:

這個音分值與黃鐘只有3.61音分之差，已達(dá)到了六十律內(nèi)與黃鐘律最小差值，現(xiàn)稱為京房音差。盡管理論上，京房音差使古代音差大大縮小，人耳難于辨別，但就樂器制造與演奏實踐而言，其本來就不具有實用價值。［8］

相對于計算更多律的做法，另一批律學(xué)家的做法是仍保持十二律，只在各律之間做出相應(yīng)調(diào)整，使之達(dá)到黃鐘還原與旋宮轉(zhuǎn)調(diào)的要求。這方面比較有代表性的是南北朝何承天(370～447)，他精于律學(xué)與歷法，反對京房一味增加律數(shù)的做法，而僅在十二律內(nèi)部調(diào)整各律的高度，使仲呂上生得黃鐘，從而實現(xiàn)黃鐘還原。《隋書·律歷志》援引何承天的話說:“上下相生，三分損益其一，蓋是古人簡易之法。……后人改制，皆不同焉。而京房不悟，謬為六十?！币虼怂拧案O(shè)新率，則從仲呂還得黃鐘，十二旋宮，聲韻無失。”［9］

何承天依三分損益法衍生新律，從黃鐘9寸生律十一次得仲呂，再上生一次:6.66×=8.88寸并不能回到出發(fā)律黃鐘9.00寸，與黃鐘差值:9.00-8.88=0.12寸。何承天的解決辦法是將這個差數(shù)0.12均分為首項0.00，末項0.12，公差0.12/12=0.01的13項等差數(shù)列，依十二律五度相生次序分別加在各律之上②并非依據(jù)各律長短次序。，最終使得仲呂上生一次8.88+0.12=9.00可回到出發(fā)律黃鐘，且與三分損益法所生各律差數(shù)不致過大，其效果非常接近等程律，一般人的聽覺幾乎不能辨別二者的差別。［10］具體計算程序如表1所示。

表1 何承天新律與等程律音分值比較1)

續(xù)表1

何承天新律盡管在形式上實現(xiàn)了黃鐘還原，且效果上十分接近等程律，但仍未真正實現(xiàn)旋宮轉(zhuǎn)調(diào)，因其人為設(shè)定的黃鐘、清黃鐘八度關(guān)系是不穩(wěn)定的，倍、正、半黃鐘間的計算仍未實現(xiàn)統(tǒng)一。朱載堉通過總結(jié)前人經(jīng)驗教訓(xùn)，認(rèn)識到在十二律之外增加新律無論是在律數(shù)計算還是音樂實踐上都是行不通的;而依三分損益計算再“適當(dāng)”調(diào)整音律的做法只能在形式上實現(xiàn)“黃鐘還原”。真正的黃鐘還原不僅要滿足聽覺上的需求，更要在“數(shù)”上達(dá)到新的精度，使得倍、正、半律之間實現(xiàn)計算統(tǒng)一、旋宮轉(zhuǎn)調(diào)的自由切換，這必須突破三分損益律框架，新律的探索勢在必行。

2 律與度量衡——創(chuàng)立數(shù)學(xué)模型

音樂學(xué)可分為兩大類:一類分析音樂如何作成，找出其中可成為標(biāo)準(zhǔn)的要素，這便是音樂理論;二類是分析音樂如何作成時，所發(fā)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)的“成立理由”。［11］律學(xué)顯然是屬于后者音樂科學(xué)范疇，它從發(fā)聲體的振動規(guī)律出發(fā)，運(yùn)用數(shù)理計算研究樂音高低關(guān)系，又稱為數(shù)理音響學(xué)。［12］中國古代五聲、七音、十二律至遲在周朝已進(jìn)化成立，各律構(gòu)成音階的每個音，在高度上有精密的規(guī)定(表2)。三分損益律和純律都通過“以耳齊聲”①最早見于東漢蔡邕(133～192)《月令·章句》:“古之為鐘律者，以耳齊其聲，后人不能，則假數(shù)以正其度?！边@種最原始的方法找到了幾個自然音程，其具有音調(diào)諧和優(yōu)勢，但黃鐘還原問題仍困擾著歷代律學(xué)家，對傳統(tǒng)諧和律音的取舍也顯得異常困難。［13］如何為新律掃除障礙成為當(dāng)務(wù)之急，《律學(xué)新說·律呂本源第一》提出解決律呂問題必始于精密數(shù)學(xué)計算:

夫河圖、洛書者，律歷之本源，數(shù)學(xué)之鼻祖也。……易曰:“河出圖，洛出書。圣人則之?！彼^則之者，非止畫卦、敘疇二事而已，至于律歷之類無不皆然?！訄D之?dāng)?shù)五十五，視大衍而有余;洛書之?dāng)?shù)四十五，視大衍而不足。合河圖與洛書共得百數(shù)，……均而分之，得大衍之?dāng)?shù)者二。此天地自然之至理，故律歷倚之而起數(shù)。［14］

朱載堉認(rèn)為河圖、洛書是律歷之本源，數(shù)學(xué)之鼻祖，與“律歷之?dāng)?shù)乃天地之道”相印，［15］是他對上古經(jīng)典的高度肯定，同時亦表明他充分認(rèn)識到數(shù)學(xué)計算在律學(xué)研究中的重要性。其后，《律呂精義·序》界定律學(xué)研究中“聲”與“數(shù)”的辯證關(guān)系:

殊不知律歷之學(xué)以聲數(shù)為至要，若夫辯論乃其末節(jié)也。聲者，合四一上勾尺工凡六五之類是也;數(shù)者，一二三四五六七八九十之類是也。前賢多不留心于此，……故于論數(shù)目尺寸、聲調(diào)腔譜處，率刪去之，此則史家之通弊也。夫樂也者，聲音之學(xué)也;律也者，數(shù)度之學(xué)也。欲志樂律，宜詳其本。(［1］，3頁)

“聲”與“律”的概念和職能:

表2 中國古代音與律關(guān)系表［16］

面對三分損益法不可撼搖的地位，朱載堉通過敏銳的觀察和實驗，強(qiáng)調(diào)律學(xué)研究“聲”與“數(shù)”之重要性:黃鐘的標(biāo)準(zhǔn)音高或絕對音高決定黃鐘律長取值;數(shù)學(xué)方法不同，可能產(chǎn)生不同的律制。《律呂精義·不宗黃鐘九寸第二》將“律”與“度”的關(guān)系概括為:“律由聲制，非由度出，制律之初，未有度也;黃鐘無所改，而尺有不同?！?［1］，3、6頁)“律”先于“度”存在;黃鐘律的絕對音高是不變的，而度尺隨各朝代更替變化。對“律”與“度”關(guān)系的正確認(rèn)識，促使朱載堉摒棄了宗守黃鐘九寸做法，而是按照標(biāo)準(zhǔn)起始音(由黃鐘音高而定)選取利于計算的律長，使得新律創(chuàng)立伊始既遵循聲學(xué)原理，又克服了度尺標(biāo)準(zhǔn)不同所造成的阻礙。

朱載堉憑借在律學(xué)和算學(xué)方面的深刻鉆研，認(rèn)為欲實現(xiàn)黃鐘還原必借助更精密的計算，將實際問題轉(zhuǎn)化到數(shù)理模型中，從而突破以往僅依賴聽覺感知及拘守三分損益法的局限，創(chuàng)造出新的更加精密的律制。［17］他探究舊法弊端，厘清“聲”、“數(shù)”、“律”、“度”關(guān)系，《律學(xué)新說》與《律呂精義》首發(fā)“新法密率”的數(shù)學(xué)模型:

圖1 密率源流圖

3 朱載堉新法密率之計算程序

下面這段取自《律呂精義·不用三分損益第三》的文字歷次被援引最多，介紹新法密率之計算程序:

(1)度本起于黃鐘之長:“度本起于黃鐘之長，則黃鐘之長即度法一尺。命平方一尺為黃鐘之率。”(［1］，9頁)度量長度的標(biāo)準(zhǔn)尺起源于黃鐘律的長度，因此黃鐘正律之長就是標(biāo)準(zhǔn)尺一尺，令平方一尺作黃鐘之率:

黃鐘之長=1尺 黃鐘之率=1尺·1尺=(1尺)2=(10寸)2=100寸2(2)蕤賓倍率的釋義:“東西十寸為句，自乘得百寸為句冪;南北十寸為股，自乘得百寸為股冪;相并共得二百寸為弦冪。乃置弦冪為實，開平方法除之，得弦一尺四寸一分四厘二毫一絲三忽五微六纖二三七三〇九五〇四八八〇一六八九為方之斜，即圓之徑，亦即蕤賓倍律之率?！?［1］，9頁)定義黃鐘正率后，設(shè)計出句股弦冪模型，并據(jù)此計算出蕤賓倍率精確數(shù)值①精確到小數(shù)點后二十四位。。蕤賓倍律是黃鐘正律到黃鐘倍律這十三律的中間一律，也是計算新法密率的關(guān)鍵，探析蕤賓倍率計算，是復(fù)原新法密率創(chuàng)立流程的關(guān)鍵:

(a)句冪、股冪與弦冪:

句=10寸(東西)句冪=10寸·10寸=100寸2(句方面積)

股=10寸(南北)股冪=10寸·10寸=100寸2(股方面積)朱載堉在從黃鐘正率數(shù)值出發(fā)，做句、股、弦冪模型:

句冪=股冪=黃鐘正率=1尺·1尺=10寸·10寸=100寸2(黃正方面)

弦冪=句冪+股冪=100寸2+100寸2=200寸2=2·黃鐘正率 (弦方面)

句+股=10寸+10寸=20寸=2·黃鐘律長

(b)密率源流與句股弦冪

依密率源流圖“內(nèi)方外圓”與句股弦冪模型，將黃鐘正率方面平移到句股弦方內(nèi)，再做黃鐘正率外接圓，構(gòu)造密率源流-句股弦冪圖，此圓恰為弦方內(nèi)切圓。“方之斜、圓之徑”即“密率源流”的“斜弦”:在密率源流-句股弦冪圖中位于黃正方面與二倍黃鐘正率弦冪的正中間;數(shù)值上句股求弦得，黃鐘正率為1，二倍黃鐘正率弦冪為弦自乘成黃鐘正率與二倍黃鐘正率之等比中項，為十三個率的最中間一率，即蕤賓倍率。將“密率源流圖”方圓相函模型與(1)、(2)所述相對應(yīng)并建立“圓之徑、方之斜”蕤賓倍率計算模型，如圖2所示。

圖2 密率源流與句股弦冪求解蕤賓倍率示意圖

(c)蕤賓倍率求解

參照“內(nèi)方外圓”與句股求弦模型而構(gòu)建的“弦冪①句股之弦為邊長的弦方面積。-圓-方面”模型，使得蕤賓倍率的求解具備了合理性?！?氏為量”與上文求解蕤賓倍率中反復(fù)提到“圓徑與方斜同”:“圓之徑、方之斜”是蕤賓倍率的幾何意義;句股弦則是它的算法，是求解“圓之徑”的途徑，借助于句股與開方術(shù)，即可求得“圓之徑”精確數(shù)值，比直接求解“圓之徑”要簡便許多?！恫挥萌謸p益法第三》給出“圓之徑”的解法:“乃置弦冪為實，開平方法除之”:

對蕤賓倍率求解幾何模型與文中計算出的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理分析，列為表3。

圖3 黃鐘正律-蕤賓倍律-黃鐘倍律遞推圖

表3 蕤賓倍率計算遞推表

圖4 密率周徑與密率源流圖

《律呂精義內(nèi)篇卷二·不取圍徑皆同第五之上》①密率源流、密率周徑對比圖見于《律呂精義內(nèi)篇卷二·不取圍徑皆同第五之上》。又將新律廣推到管律，探討各律圍徑問題:“舊律圍徑皆同，而新律各不同;先儒以為，長短雖異，圍徑皆同此未達(dá)之論也?！?［1］，41頁)朱載堉修正先儒管律之法，將計算新律的“密率源流”思想及結(jié)果推廣到管律計算，所取各律既長短互異，又圍徑皆不同，篇首相并給出“密率周徑”與“密率源流”圖:“外周用弦求句股術(shù)得其內(nèi)周，內(nèi)徑用句股求弦得其外徑”;“外周內(nèi)容之方即內(nèi)徑也，內(nèi)周外射之斜，即外徑也?！?［1］，42頁)律管內(nèi)周(之弦)與外周(之弦)是勾股求弦(反之則為弦求勾股)的關(guān)系，對應(yīng)黃鐘倍率、蕤賓倍率黃鐘正率間的遞推關(guān)系:

黃鐘倍率(弦冪):蕤賓倍率(斜弦)=蕤賓倍率(斜弦):黃鐘正率(方面)黃鐘倍律(斜之斜):蕤賓倍律(方之斜)=蕤賓倍律(方之斜):黃鐘正率(方邊)

蕤賓倍率是黃鐘倍率與黃鐘正率正中一率，在密率源流與密率周徑幾何圖中，蕤賓倍率(方之斜、圓之徑、弦方邊)亦位于二者正中，這無疑是朱載堉絕頂聰明的首發(fā)之舉，它使得黃鐘還原最關(guān)鍵一步邁出了:計算出蕤賓倍率，確定黃鐘倍率、蕤賓倍率、黃鐘正率這三率成首項2，末項1，中項，公比等比排列。這足以否定對朱載堉新法密率的不合理評價:“借勾股之名以欺人耳;錯誤搬用《周禮·氏為量》經(jīng)典記載作為合法外衣?！保?9］

其余十律的計算就轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解問題，在此篇末朱載堉以歷法冬夏二至、春秋二分為喻，引出夾鐘、南呂倍率求解過程:“造率始于黃鐘，必先求蕤賓者，猶冬夏二至也;次求夾鐘及南呂者，猶春秋二分也。始于黃鐘者，履端于始也;中于蕤賓者，舉正于中也;終于應(yīng)鐘者，歸余于終也:律與歷一道也?！?［1］，15頁)以“春秋二分”比夾鐘、南呂倍率分布在黃鐘(倍、正)與蕤賓倍率“冬夏二至”正中，南呂倍率:“以句十寸乘之，得平方積一百四十一寸……為實，開平方法除之，得一尺一寸……即南呂倍律之率?！?［1］，9～10頁)南呂倍率是蕤賓倍率與黃鐘正率的等比中項，以句十寸(黃鐘正律)乘蕤賓倍率積算開方:

=1.1892071150027210667175尺

(3)應(yīng)鐘倍率為密率

應(yīng)鐘倍率居南呂、無射、應(yīng)鐘倍率，黃鐘正率四項等比數(shù)列第三項②朱載堉在《樂律全書》最后雕版完成的《算學(xué)新說》(1603年)第七問中介紹了四項等比數(shù)列求解方法。，仍做立方積開立方:“仍以句十寸乘之，右以股十寸乘之，得立方積一千一百八十九寸二百〇七分一百一十五厘……為實，開立方法除之，得一尺〇五分九厘四毫六絲三忽〇九纖……即應(yīng)鐘倍律之率。”(［1］，10頁)至此，黃鐘還原問題宣告解決:

通過上述復(fù)原分析特別是對蕤賓倍率的釋義，作為等程律計算的關(guān)鍵，半音音比應(yīng)鐘倍率計算的這三個步驟得來何其不易，況且《律呂精義》在給出這套程序之前，朱載堉僅在《律學(xué)新說》中已做出了大量準(zhǔn)備工作。所謂三步說，只是站在結(jié)果的角度，過分強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)計算本身，殊不知律學(xué)絕不能脫離它的物理聲學(xué)及樂理實踐而單獨存在，在這里困難的是如何舍棄五度諧和音程而不用、如何舍棄等差計算而不用、如何以蕤賓倍率為突破等，這無疑是經(jīng)過一系列漫長思考、鉆研后高度提煉的結(jié)果。對于這種片面評價，朱載堉似乎有所預(yù)知，他在《律學(xué)新說》開篇感嘆:“慨生之既晚，不獲與前輩同游，雖有一得之愚，無憑質(zhì)問。楚辭有云:‘往者余弗及，來者吾不聞?！嗫杀?聊述愚見數(shù)篇，刻而傳之，以俟方來具眼之士，或有可取焉?！?［14］，9頁)

新法密率是朱載堉通過將律與度量衡及天文、歷法、算術(shù)、幾何、音樂、聲學(xué)等研究結(jié)合起來的突破性成果，是一個遞進(jìn)性的大型綜合研究，決非否定等差數(shù)列，自然過渡到等比數(shù)列的簡單推論。他據(jù)周禮量器“內(nèi)方圓外”圖形中方邊與圓徑的關(guān)系，作其密率源流，淵源于中國古代“以器載道”的思想及“同律度量衡”制度，“內(nèi)方尺而圓其外”既是借助于周鬴、嘉量標(biāo)準(zhǔn)法器以古寓新，又是古代律學(xué)與數(shù)學(xué)共同面臨的問題;用句股術(shù)創(chuàng)制新法，一舉解決了黃鐘還原這一律學(xué)難題，又使得等程律遵循了物理聲學(xué)的基本法則。(［5］，155頁)

4 朱載堉新法密率之計算方法

結(jié)合上文中新法密率求解所需的數(shù)學(xué)方法:勾股求弦術(shù)、開平方、四項等比數(shù)列求解問題、開立方法等。中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》即涉及了有關(guān)的計算方法，從宋代開始，賈憲(11世紀(jì))、秦九韶、朱世杰(13世紀(jì))已完成了開平方、開立方和以增乘開方求高次方根的簡便方法。直接求高次方根的簡便方法在14世紀(jì)初年以后失傳了，因此朱載堉所用的仍是《九章算術(shù)》中“置積為實”的開方術(shù)，即先求平方積或立方積、再求平方根或立方根的方法解方根的數(shù)學(xué)方法。數(shù)列求解等問題早在漢《周髀算經(jīng)》中已有涉及，《九章算術(shù)》在粟米章、衰分章、均輸章和句股章均有許多不同類型的比例求解問題。［20］

朱載堉本人對這些計算問題的解決在他的新說中亦有所體現(xiàn):《律學(xué)新說》首發(fā)密率，篇首曰:“凡非數(shù)術(shù)音聲之技，茲并不述，所謂各志其志而已。”(［14］，9頁)言明其志在運(yùn)用數(shù)學(xué)計算解決律學(xué)難題。《律呂精義·內(nèi)篇》構(gòu)建了計算密率的數(shù)學(xué)模型、演算程序并給出計算結(jié)果?！端銓W(xué)新說》①《算學(xué)新說》收于鄭藩刻本《樂律全書》1603年成書，涉及珠算開平方、立方、等比數(shù)列求解等問題。梳理了密率計算所要涉及的數(shù)學(xué)方法:“臣所撰新說凡四種:一曰律學(xué)，二曰樂學(xué)，三曰算學(xué)，四曰韻學(xué)。前二者其書之本原，后二者其書之支脈，所以羽翼其書者也?！保?1］朱載堉著述新說始終堅持以解決律學(xué)問題為本原，數(shù)學(xué)或算學(xué)方法成為新法密率創(chuàng)立的必要條件，系統(tǒng)闡述相關(guān)的計算方法是對新律理論的充實和擴(kuò)充。對明朱載堉而言，邁出淵源已久的三分損益法，反復(fù)律管實驗探求聲學(xué)本質(zhì)，尋求等比計算解決黃鐘還原問題的可能性，以及對“聲”、“數(shù)”、“律”、“度”關(guān)系的正確把握是探求新律之本原，求解密率所涉數(shù)學(xué)問題以“羽翼其書”二者缺一不可:

(1)應(yīng)鐘倍率算法釋義

應(yīng)鐘倍率數(shù)值作為計算新法密率各律之“法”數(shù)值，這個計算幾乎包含了完成新法密率所需的全部數(shù)學(xué)方法。結(jié)合上文流程分析，朱載堉在“新法密率”創(chuàng)立之初，利用弦長計算各律數(shù)值，認(rèn)識到弦長與音高的關(guān)系:黃鐘、蕤賓、南呂、到應(yīng)鐘這四律在八度內(nèi)弦長遞減、音高遞增，各律成等比排列?！堵蓪W(xué)新說·密率律度相求第三》說道:“惟琴家安徽，其法四折去一，三折去一，俗工口傳，莫知從來，疑古人遺法如此，特未記載于文字耳。”(［14］，18頁)以琴家徵位結(jié)合以歷法二至、二分點介紹了比例中項概念與應(yīng)鐘倍率的推演過程:“冬夏二至”比黃鐘與蕤賓，蕤賓倍率26/12位八度音程212/12的一半處;“春秋二分”、“四折去一”比做夾鐘29/12、南呂23/12，位八度音程的3/4、1/4處，即黃鐘與蕤賓比例中項;南呂倍率“三折去一”即為應(yīng)鐘倍率21/12，其在南呂倍率、無射倍率、應(yīng)鐘倍率、黃鐘正率這四律音程的1/3處，即為十二律的半音音程，亦即“公比數(shù)”。朱載堉在其著作中雖未提及“公比數(shù)”這個概念，事實上他已將此概念由黃鐘、蕤賓、南呂再到應(yīng)鐘這樣的步驟最終巧妙的定義出來了。

朱載堉《律呂精義》中計算“公比數(shù)”應(yīng)鐘倍率數(shù)值步驟與《算學(xué)新說·第七問》所載一致:“置南呂倍率以黃鐘再乘，得立方積開立方所得，即應(yīng)鐘倍律也?！?［21］，12頁)將這段用現(xiàn)代數(shù)學(xué)公式表示:

這表明計算應(yīng)鐘倍率涉及到四項等比級數(shù)求解與指數(shù)運(yùn)算問題:設(shè)南呂倍率、無射倍率、應(yīng)鐘倍率、黃鐘正率組成的四項等比級數(shù):A，x，y，B。已知A，B，求:x，y。

由于黃鐘正率取值1，這個打破歷代黃鐘9寸的做法，使得應(yīng)鐘倍率的數(shù)值在形式上表現(xiàn)為:

這就是導(dǎo)致朱載堉的等程律計算常被認(rèn)為是只有簡單三步的原因。但即就如此，在朱載堉所處的時代這也并非不證自明的公理，這涉及指數(shù)函數(shù)①黃鐘倍率長2連續(xù)開方運(yùn)算。借琴家徵位“四折去一，三折去一”來闡述他發(fā)現(xiàn)并驗證指數(shù)運(yùn)算定律。的性質(zhì)問題，在當(dāng)時是需要努力證明的:

在西方與朱載堉同時代的荷蘭工程師、數(shù)學(xué)家西蒙·斯蒂芬(Simon Stevin，1548～1620)，在朱載堉之后一年出版了一本以法文書寫的數(shù)學(xué)小冊子L’arithmetique(《論算術(shù)》，1585年)，系統(tǒng)介紹了計算開平方與開立方的方法及1/2②斯蒂芬八度仍為弦長之比1:1/2=2:1，此處1/2的十二次方根是他的等程律的半音弦長。開12次方的算式，也就是上述指數(shù)函數(shù)得以成立的依據(jù)。［22］1606年，他完了的一份音樂理論手稿Vande Spiegheling Der Singconst(《論歌唱的藝術(shù)》)，他結(jié)合音樂理論與開方運(yùn)算，計算出了十二律各律數(shù)值。［23］這份手稿直到1884年才在荷蘭官吏、音樂家惠更斯(Constantijn Huygens，1596～1687)①荷蘭物理學(xué)家、天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家克里斯蒂安·惠更斯(Christiaan Huygens，1629～1695)的父親。的收藏中被發(fā)現(xiàn)，至此它被遺忘了近300年后才終于公諸于世，這標(biāo)志著斯蒂芬均等音比的音律系統(tǒng)的建立，這也成為等程律在歐洲真正誕生的標(biāo)志。

(3)對密率應(yīng)鐘倍率的驗證和應(yīng)用

新法密率計算八度(弦長比為2:1)內(nèi)十三個律成等比排列，且其公比為。朱載堉通篇所探討的優(yōu)于三分損益之“密率”，及《律學(xué)新說》、《律呂精義》中反復(fù)提到的:“是故不用三分損益之法，創(chuàng)立新法。置一尺為實，以密率除之凡十二遍，所求律呂真數(shù)，比古四種術(shù)尤簡捷而精密”;(［14］，19頁)“是故各律皆以黃鐘正數(shù)十寸乘之為實，皆以應(yīng)鐘倍數(shù)十寸〇五分九厘四毫六絲三忽〇九纖……為法除之，即得其次律也。十二律黃鐘為始，應(yīng)鐘為終，終而復(fù)始，循環(huán)無端?！?［1］，10頁)“密率”應(yīng)鐘倍率作為“公比數(shù)”半音音程是實現(xiàn)黃鐘還原、周而復(fù)始的唯一方法。［24］

5 朱載堉新法密率之全面推廣

朱載堉創(chuàng)立新法密率，從黃鐘正率出發(fā)，依據(jù)密率源流圖幾何直觀計算出蕤賓倍率后，確定十二律成等比排列，按照蕤賓、南呂、應(yīng)鐘、黃鐘四項等比級數(shù)求解法，最終得到公比應(yīng)鐘倍率即新法密率，據(jù)此可算出十二律全部數(shù)值:“是故各律皆以黃鐘正數(shù)十寸乘之為實，皆以應(yīng)鐘倍數(shù)十寸〇五分九厘四毫六絲三忽〇九纖……為法除之，即得其次律也。是故新法不用三分損益，別造密率，其詳如左(積算旁通圖)。”(［1］，11～15頁)積算旁通圖從黃鐘倍律積算二起算，又新造密律二種:以黃鐘之率二十兆、黃鐘之率十億以密率除之，逐一求解各律律長。

令L表示長律，l表示短律，則長短相生表示如下:

若以x表示長生短系數(shù)，“隔八相生”黃鐘生林鐘為例，則有:

新法密率“隔八相生”系數(shù)x即為五度音程弦長比1/27/12①短生長，再降八度即2/27/12。，據(jù)此從黃鐘出發(fā)計算到第十二律仲呂再按密率五度隔八生一律(短生長)到黃鐘，實現(xiàn)黃鐘還原。這顯然優(yōu)于三分損益舊法之“仲呂極不生”②《淮南子·天文訓(xùn)》卷三。。通過(2)式可以看出密率五度相生系數(shù)500 000 000/749 153 538，這顯然是對五度音程弦長比1/27/12的一個近似展開，以便于各律間的相生計算。而之所以不直接運(yùn)用1/27/12這個系數(shù)，與上文中有關(guān)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)情形類似，其計算過程仍是需要證明的③指數(shù)運(yùn)算另一定律:ax/ay=ax-y。。需要指出的是，若此近似展開只近似到百萬位其比值500/749就非常接近三分損益律的五度弦長比2:3(即500/750)，即錢德明(Jean Joseph Marie Amiot，1718～1793)的提出的中國古代“749”定律法④錢德明1780年出版中國律學(xué)著作中介紹過此方法，但未指明出處，被認(rèn)為是近似等程律。。庫特納發(fā)現(xiàn)錢德明關(guān)于中國古代律學(xué)的著作在介紹這種調(diào)律法時并沒有提出文獻(xiàn)出處，但他通過查閱朱載堉的《律學(xué)新說》與《律呂精義》中關(guān)于等程律隔八相生的篇章，認(rèn)為錢德明介紹的“749”定律法來自于朱載堉的《律呂精義》。［25］庫特納對朱載堉乃至中國古代律學(xué)的深入探究是非常值得肯定的，但他據(jù)此認(rèn)為朱載堉的等程律隔八相生就是“749”調(diào)律法，這顯然是一種誤解。對此，引朱載堉在《律學(xué)新說》僅一句話就可以解釋:“約率所謂七百四十九，即密率所謂七億四千九百萬有奇也。有奇是以密，無奇是以疏，此自然之理耳?！?［14］，135頁)

朱載堉給出新法密率四種相生次序及方法后，又著意于橫、斜、縱三種累黍尺下的四種相生計算:“橫黍百分律，依新法算:黃鐘長十寸;斜黍九十分律，依新法算:黃鐘長九寸;縱黍八十一分律，依新法算:黃鐘長八寸一分”(［1］，17～40頁)他繼續(xù)按照橫、縱、斜三種累黍尺度完成四種相生共計十二次計算全部實現(xiàn)黃鐘還原后，終于宣告:“是以新法不用三分損益，不拘隔八相生，然而相生有序，循環(huán)無端，十二律呂，一以貫之。此蓋二千余年之所未有，自我圣朝始也，學(xué)者宜盡心焉?！?［1］，40頁)在探求新律道路上，朱載堉始終堅持通過測音試驗來度量弦線、律管的長短，因為定律的需要才借助算術(shù)方法，而不是因算術(shù)需要去限定律與度，這種觀點現(xiàn)在看來都完全合乎律學(xué)計算之物理本質(zhì)。［26］

朱載堉等程律計算精度達(dá)到25位，他用自制的八十一檔大算盤完成了包括開方運(yùn)算在內(nèi)的大量計算，使得新法密率計算程序得以實踐、計算結(jié)果高度精確。20世紀(jì)80年代美國華裔教授沈柏宏曾用現(xiàn)代計算機(jī)CDC CYBER-174⑤美國控制數(shù)據(jù)公司CDG(Control Data Cyber)20世紀(jì)70年代初生產(chǎn)的第四代電子數(shù)字計算機(jī)系統(tǒng)。驗證了朱載堉的計算結(jié)果，他驚訝的說:“這的確是個謎，四百年前的人，怎么能算的這么精確!”(［16］，109頁)這無疑是算盤與現(xiàn)代計算機(jī)跨越時空的一次較量，其重要意義在于朱載堉新法密率理論體系在數(shù)值分析思想上的對應(yīng)及完備性。

6 余論

運(yùn)籌帷幄在中國有著悠久的歷史傳統(tǒng)，朱載堉繼承并發(fā)揚(yáng)了這種傳統(tǒng)，他精于律、歷、算學(xué)等，在創(chuàng)立新律之初，重視這些學(xué)科之間的交叉關(guān)系，統(tǒng)籌規(guī)劃，放眼全局，最終創(chuàng)立了新法密率。綜合前述，朱載堉融合各學(xué)科之間的關(guān)系，清晰演繹算法流程的思路和縝密程序，可以得到如下流程圖:

圖5 朱載堉新法密率數(shù)值算法流程圖

等程律數(shù)值算法流程圖將《律呂精義·內(nèi)篇》內(nèi)容之相互關(guān)聯(lián)以圖表形式展現(xiàn)出來，從中可看到各章節(jié)的鮮明主題。圖5中“內(nèi)容方法”一欄，是各個章節(jié)的主題，“章節(jié)次序”和“步驟”被這些主題聯(lián)系起來，從而直觀體現(xiàn)出朱載堉工作的清晰脈絡(luò)，追溯他創(chuàng)立等程律的思想軌跡。這些步驟既展現(xiàn)出朱載堉運(yùn)用數(shù)值分析思維解決律學(xué)難題之縝密、超前組織模式，更體現(xiàn)他一絲不茍、敢于質(zhì)疑的治學(xué)精神。通過進(jìn)一步對朱載堉與西方斯蒂芬等人所創(chuàng)等程律路徑差異進(jìn)行比較研究，將更有利于逐個消除中、西方等程律創(chuàng)立過程的各種疑問，增進(jìn)中、西方在該理論上的相互交流與融通。

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2 戴念祖.朱載堉—明代的科學(xué)和藝術(shù)巨星［M］.鄭州:大象出版社，2008.67.

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6 沈約.宋書·律歷志［M］//歷代天文律歷等志匯編.北京:中華書局，1976.1667

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11 王光祈.東西樂制之研究［M］.上海:中華書局，1926.76

12 戴念祖.中國物理學(xué)史大系聲學(xué)史［M］.長沙:湖南教育出版社，2001.188～221

13 楊蔭瀏.三律考［J］.音樂研究，1982，6(1):30～39

14 朱載堉.律學(xué)新說［M］.馮文慈點注.北京:人民音樂出版社，1986.

15 劉安.淮南子［M］.高誘注.北京:中華書局，1954

16 陳萬鼐.朱載堉研究［M］.臺北:臺北故宮博物院，1992.52

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18 阮元校刻.十三經(jīng)注疏上冊·周禮注疏冬官考工記第六［M］.北京:中華書局，1980.278～279

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20 錢寶琮.中國數(shù)學(xué)史［M］.北京:科學(xué)出版社，1964.46～51

21 朱載堉.算學(xué)新說［M］//萬有文庫本.第一集735號.上海:商務(wù)印書館，1931.

22 Stevin Simon.L’arithmetique［M］.Leyden，1585.

23 Stevin Simon.Vande Spoegheling der Singconst［M］//Edited by Fokker A D.The Principal Works of Simon Stevin:Engineering，Music，Civic Life．vol．5．Amsterdam:C.V.Swets ＆ Zeitlinger，1966.445 ～496

24 劉復(fù).十二等律的發(fā)明者朱載堉［C］//國立中央研究院編.慶祝蔡元培先生六十五歲生日論文集，1933.279～310

25 Kuttner F A.The 749-Temperament of Huai Nan Tzu(+123B.C.)［J］.Asian Music．1975，6(12):88 ～112

26 黃國璽.朱載堉十二平均律理論創(chuàng)建中的律學(xué)數(shù)學(xué)方法［J］.音樂探索，1986，12(4):19～21