楊作義

解析幾何是用代數(shù)的方法解決幾何問題，思路直接，但運算量大，如果能夠挖掘問題中的平面幾何要素，利用平面幾何知識來協(xié)助求解，往往會事半功倍.

當問題涉及求兩條線段長度的和（或差）的最值時，

可聯(lián)系三角形的三邊關系

例1 已知橢圓+=1內(nèi)有兩點A（2，2），B（3，0），P為橢圓上一點，則PA+PB的最大值是 .

分析： 使用解析幾何知識列式計算，過程相當繁雜，若根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊來求解，則快捷許多.

解： 如圖1所示，B為橢圓+=1的右焦點，設橢圓的左焦點為F（-3，0），則AF==.由橢圓方程可知a=5，所以PF+PB=2a=10.

結合三角形三邊關系可知：PA+PB=PA+10-PF≤AF+10=10+，當且僅當P與AF的延長線與橢圓的交點P′重合時取等號，所以PA+PB的最大值是10+.

評注： 解例1的關鍵是把PA+PB轉化為PA-PF+10，涉及求兩條線段長度之差的最值，自然聯(lián)想到三角形的性質(zhì).思考方向是：活用定義，化折為直.

當問題中有正三角形、直角三角形時，

不妨考慮用其邊角關系

例2 過拋物線y2=8x的焦點F作傾斜角為60°的直線，若此直線與拋物線交于A，B兩點，弦AB的中垂線與x軸交于點P，則線段PF的長等于 .

（A） （B）

（C） （D） 8

分析： 例2的常規(guī)解法是設法求出線段AB的中垂線方程，再求出點P的坐標，進而求出PF的長，過程復雜且運算量大.若從平面幾何角度入手，則較為簡單.

解： 如圖2所示，拋物線的準線l交x軸于點E，AB的中垂線交自身于點Q，作AD=BF.因為Q為AB的中點，所以AQ=BQ，F(xiàn)Q=DQ.

作AM⊥l于點M，BN⊥l于點N，BB′⊥x軸于點B′.由拋物線知識可知：AF=AM，BF=BN，∠MAF=∠AFP=60°，所以△AMF是正三角形，∠AFM=60°，從而∠MFE=60° .因為∠FBN=120°，所以∠NFB=30° .又因為∠EFB=∠AFP=60°，所以∠EFN=30°.

因為EF=4，所以AF=MF==8，NE=EF·tan∠EFN=，BF===. 而QF=FD=（AF-BF）=， 所以FP==.故答案為A.

評注： 在例2的解法中，由拋物線的定義實現(xiàn)了拋物線上點到焦點和到準線距離之間的相互轉化，然后通過挖掘圖象中的正三角形和直角三角形等條件，利用其邊角關系，從“形”出發(fā)求“數(shù)”. 思維途徑是：構建直角三角形，尋找邊角關系.

當問題中含有相似三角形時，

用好相似比

例3 設定點F到定直線l的距離為p（p>0），動點M在定直線l上，動點N在MF的延長線上，且滿足=，建立適當?shù)淖鴺讼担髣狱cN的軌跡方程.

分析： 首先要建立適當?shù)淖鴺讼?，然后利用已知條件，構建相似三角形，確定動點的運動規(guī)律.

解： 如圖3所示，以l為y軸、過點F垂直于l的直線為x軸建立平面直角坐標系，則有F（p，0）.設N（x，y），過N作NQ垂直y軸于點Q.

因為=，所以=.由題意可知△MOF∽△MQN，所以====，化簡得：（p2-1）x2-2p3x+p2y2+p4=0 （x>0）.

評注： 若建立坐標系后直接求解例3，運算會比較煩瑣.而運用相似三角形的相似比來解題，就使問題大大簡化了.這類題的思維方向是：比例式？圯相似三角形？圯化歸轉化.

當問題涉及直線與圓的位置關系時，

應用圓心到直線的距離關系

例4 已知x，y滿足x2+y2-4x+4y+4≤0，求x+2y的值的取值范圍.

分析： 配方后可得（x-2）2+（y+2）2≤4，其幾何意義為以（2，-2）為圓心、2為半徑的圓及其內(nèi)部.設z=x+2y，則x+2y-z=0表示平面內(nèi)的平行直線系，示意圖如圖4所示.問題轉化為求直線與圓相交或相切時z的取值范圍.

解： 把已知的不等方程配方得（x-2）2+（y+2）2≤4，設z=x+2y. 由題意可得，直線l：x+2y-z=0與圓（x-2）2+（y+2）2=4的圖象有公共點，故圓心（2，-2）到直線l的距離d==≤2，解得-2-2≤z≤-2+2，所以x+2y的取值范圍為[-2-2，-2+2].

評注： 處理直線與圓的位置關系問題，一般都用幾何法，常常通過圓心到直線的距離關系求解. 其思維流程為：尋找關系？圯計算距離？圯列式求解.

當問題涉及三角形的內(nèi)心時，

考慮使用角平分線的性質(zhì)定理

例5 已知M是橢圓+=1上任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的左右焦點，I是△MF1F2的內(nèi)切圓圓心.求證：點M，I的縱坐標之比為定值.

分析： 內(nèi)心是三角形內(nèi)角平分線的交點，若由角平分線的直線方程求交點，會導致煩瑣的計算，而角平分線定理與比例有關，可簡化運算.

證明： 如圖5所示，連結MI并延長交F1F2于點N，則M，I的縱坐標之比轉化為.由角平分線的性質(zhì)定理和等比定理得：=====，所以== （定值）.

評注： 求解例5的時候要靈活使用角平分線定理和等比定理. 這類問題的思維過程可以歸納為：聯(lián)想定理？圯合理轉化？圯適量計算.

【練一練】

（1） 過拋物線y2=4x的焦點F作弦AB，若弦AB所在直線的傾斜角為60°，則的值為 .

（2） 過雙曲線-=1（a>0，b>0）的右焦點F作圓x2+y2=a2的切線FM（切點為M），交y軸于點P. 若M為線段FP的中點，則雙曲線的離心率是 .

（A） （B）

（C） 2 （D）

（3） 求由直線y=0，x=1，y=x相交所成的三角形內(nèi)切圓的方程.

【參考答案】

（1） 解： 如圖6所示，分別作出點A，B在拋物線準線l上的投影A′，B′，則AA′⊥l，BB′⊥l；直線AC垂直BB′的延長線于點C.

設AF=m，BF=n.根據(jù)拋物線知識可知：BF=BB′=n，AF=AA′=B′C=m，BC=B′C-BB′=m-n，AB=m+n. 在直角△ABC中，cos60°===，解得=3，即=3.

（2） 解： 如圖7所示，OM=a，OF=c，OM⊥PF且M為PF的中點，所以△OPF是等腰直角三角形，∠PFO=45°，所以OF==OM，即c=a. 所以e==. 答案為A.

（3） 解： 如圖8所示，三條直線之間的交點分別記為O，A，B.作△OAB的內(nèi)切圓C，切點分別為D，E，F(xiàn)，記圓心為C（a，b），半徑為b.易知OB=AB=1，OA=，OB=OD+DB，即a+b=1 （①）.

結合圓的切線長定理知：OA=OF+AF=OD+AE=OD+AB-EB，即a+1-b=，得a-b=-1 （②）.

由①②兩式解得：a=，b=. 所以圓C的方程是：x-2+y-2=2.

解析幾何是用代數(shù)的方法解決幾何問題，思路直接，但運算量大，如果能夠挖掘問題中的平面幾何要素，利用平面幾何知識來協(xié)助求解，往往會事半功倍.

當問題涉及求兩條線段長度的和（或差）的最值時，

可聯(lián)系三角形的三邊關系

例1 已知橢圓+=1內(nèi)有兩點A（2，2），B（3，0），P為橢圓上一點，則PA+PB的最大值是 .

分析： 使用解析幾何知識列式計算，過程相當繁雜，若根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊來求解，則快捷許多.

解： 如圖1所示，B為橢圓+=1的右焦點，設橢圓的左焦點為F（-3，0），則AF==.由橢圓方程可知a=5，所以PF+PB=2a=10.

結合三角形三邊關系可知：PA+PB=PA+10-PF≤AF+10=10+，當且僅當P與AF的延長線與橢圓的交點P′重合時取等號，所以PA+PB的最大值是10+.

評注： 解例1的關鍵是把PA+PB轉化為PA-PF+10，涉及求兩條線段長度之差的最值，自然聯(lián)想到三角形的性質(zhì).思考方向是：活用定義，化折為直.

當問題中有正三角形、直角三角形時，

不妨考慮用其邊角關系

例2 過拋物線y2=8x的焦點F作傾斜角為60°的直線，若此直線與拋物線交于A，B兩點，弦AB的中垂線與x軸交于點P，則線段PF的長等于 .

（A） （B）

（C） （D） 8

分析： 例2的常規(guī)解法是設法求出線段AB的中垂線方程，再求出點P的坐標，進而求出PF的長，過程復雜且運算量大.若從平面幾何角度入手，則較為簡單.

解： 如圖2所示，拋物線的準線l交x軸于點E，AB的中垂線交自身于點Q，作AD=BF.因為Q為AB的中點，所以AQ=BQ，F(xiàn)Q=DQ.

作AM⊥l于點M，BN⊥l于點N，BB′⊥x軸于點B′.由拋物線知識可知：AF=AM，BF=BN，∠MAF=∠AFP=60°，所以△AMF是正三角形，∠AFM=60°，從而∠MFE=60° .因為∠FBN=120°，所以∠NFB=30° .又因為∠EFB=∠AFP=60°，所以∠EFN=30°.

因為EF=4，所以AF=MF==8，NE=EF·tan∠EFN=，BF===. 而QF=FD=（AF-BF）=， 所以FP==.故答案為A.

評注： 在例2的解法中，由拋物線的定義實現(xiàn)了拋物線上點到焦點和到準線距離之間的相互轉化，然后通過挖掘圖象中的正三角形和直角三角形等條件，利用其邊角關系，從“形”出發(fā)求“數(shù)”. 思維途徑是：構建直角三角形，尋找邊角關系.

當問題中含有相似三角形時，

用好相似比

例3 設定點F到定直線l的距離為p（p>0），動點M在定直線l上，動點N在MF的延長線上，且滿足=，建立適當?shù)淖鴺讼担髣狱cN的軌跡方程.

分析： 首先要建立適當?shù)淖鴺讼?，然后利用已知條件，構建相似三角形，確定動點的運動規(guī)律.

解： 如圖3所示，以l為y軸、過點F垂直于l的直線為x軸建立平面直角坐標系，則有F（p，0）.設N（x，y），過N作NQ垂直y軸于點Q.

因為=，所以=.由題意可知△MOF∽△MQN，所以====，化簡得：（p2-1）x2-2p3x+p2y2+p4=0 （x>0）.

評注： 若建立坐標系后直接求解例3，運算會比較煩瑣.而運用相似三角形的相似比來解題，就使問題大大簡化了.這類題的思維方向是：比例式？圯相似三角形？圯化歸轉化.

當問題涉及直線與圓的位置關系時，

應用圓心到直線的距離關系

例4 已知x，y滿足x2+y2-4x+4y+4≤0，求x+2y的值的取值范圍.

分析： 配方后可得（x-2）2+（y+2）2≤4，其幾何意義為以（2，-2）為圓心、2為半徑的圓及其內(nèi)部.設z=x+2y，則x+2y-z=0表示平面內(nèi)的平行直線系，示意圖如圖4所示.問題轉化為求直線與圓相交或相切時z的取值范圍.

解： 把已知的不等方程配方得（x-2）2+（y+2）2≤4，設z=x+2y. 由題意可得，直線l：x+2y-z=0與圓（x-2）2+（y+2）2=4的圖象有公共點，故圓心（2，-2）到直線l的距離d==≤2，解得-2-2≤z≤-2+2，所以x+2y的取值范圍為[-2-2，-2+2].

評注： 處理直線與圓的位置關系問題，一般都用幾何法，常常通過圓心到直線的距離關系求解. 其思維流程為：尋找關系？圯計算距離？圯列式求解.

當問題涉及三角形的內(nèi)心時，

考慮使用角平分線的性質(zhì)定理

例5 已知M是橢圓+=1上任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的左右焦點，I是△MF1F2的內(nèi)切圓圓心.求證：點M，I的縱坐標之比為定值.

分析： 內(nèi)心是三角形內(nèi)角平分線的交點，若由角平分線的直線方程求交點，會導致煩瑣的計算，而角平分線定理與比例有關，可簡化運算.

證明： 如圖5所示，連結MI并延長交F1F2于點N，則M，I的縱坐標之比轉化為.由角平分線的性質(zhì)定理和等比定理得：=====，所以== （定值）.

評注： 求解例5的時候要靈活使用角平分線定理和等比定理. 這類問題的思維過程可以歸納為：聯(lián)想定理？圯合理轉化？圯適量計算.

【練一練】

（1） 過拋物線y2=4x的焦點F作弦AB，若弦AB所在直線的傾斜角為60°，則的值為 .

（2） 過雙曲線-=1（a>0，b>0）的右焦點F作圓x2+y2=a2的切線FM（切點為M），交y軸于點P. 若M為線段FP的中點，則雙曲線的離心率是 .

（A） （B）

（C） 2 （D）

（3） 求由直線y=0，x=1，y=x相交所成的三角形內(nèi)切圓的方程.

【參考答案】

（1） 解： 如圖6所示，分別作出點A，B在拋物線準線l上的投影A′，B′，則AA′⊥l，BB′⊥l；直線AC垂直BB′的延長線于點C.

設AF=m，BF=n.根據(jù)拋物線知識可知：BF=BB′=n，AF=AA′=B′C=m，BC=B′C-BB′=m-n，AB=m+n. 在直角△ABC中，cos60°===，解得=3，即=3.

（2） 解： 如圖7所示，OM=a，OF=c，OM⊥PF且M為PF的中點，所以△OPF是等腰直角三角形，∠PFO=45°，所以OF==OM，即c=a. 所以e==. 答案為A.

（3） 解： 如圖8所示，三條直線之間的交點分別記為O，A，B.作△OAB的內(nèi)切圓C，切點分別為D，E，F(xiàn)，記圓心為C（a，b），半徑為b.易知OB=AB=1，OA=，OB=OD+DB，即a+b=1 （①）.

結合圓的切線長定理知：OA=OF+AF=OD+AE=OD+AB-EB，即a+1-b=，得a-b=-1 （②）.

由①②兩式解得：a=，b=. 所以圓C的方程是：x-2+y-2=2.

解析幾何是用代數(shù)的方法解決幾何問題，思路直接，但運算量大，如果能夠挖掘問題中的平面幾何要素，利用平面幾何知識來協(xié)助求解，往往會事半功倍.

當問題涉及求兩條線段長度的和（或差）的最值時，

可聯(lián)系三角形的三邊關系

例1 已知橢圓+=1內(nèi)有兩點A（2，2），B（3，0），P為橢圓上一點，則PA+PB的最大值是 .

分析： 使用解析幾何知識列式計算，過程相當繁雜，若根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊來求解，則快捷許多.

解： 如圖1所示，B為橢圓+=1的右焦點，設橢圓的左焦點為F（-3，0），則AF==.由橢圓方程可知a=5，所以PF+PB=2a=10.

結合三角形三邊關系可知：PA+PB=PA+10-PF≤AF+10=10+，當且僅當P與AF的延長線與橢圓的交點P′重合時取等號，所以PA+PB的最大值是10+.

評注： 解例1的關鍵是把PA+PB轉化為PA-PF+10，涉及求兩條線段長度之差的最值，自然聯(lián)想到三角形的性質(zhì).思考方向是：活用定義，化折為直.

當問題中有正三角形、直角三角形時，

不妨考慮用其邊角關系

例2 過拋物線y2=8x的焦點F作傾斜角為60°的直線，若此直線與拋物線交于A，B兩點，弦AB的中垂線與x軸交于點P，則線段PF的長等于 .

（A） （B）

（C） （D） 8

分析： 例2的常規(guī)解法是設法求出線段AB的中垂線方程，再求出點P的坐標，進而求出PF的長，過程復雜且運算量大.若從平面幾何角度入手，則較為簡單.

解： 如圖2所示，拋物線的準線l交x軸于點E，AB的中垂線交自身于點Q，作AD=BF.因為Q為AB的中點，所以AQ=BQ，F(xiàn)Q=DQ.

作AM⊥l于點M，BN⊥l于點N，BB′⊥x軸于點B′.由拋物線知識可知：AF=AM，BF=BN，∠MAF=∠AFP=60°，所以△AMF是正三角形，∠AFM=60°，從而∠MFE=60° .因為∠FBN=120°，所以∠NFB=30° .又因為∠EFB=∠AFP=60°，所以∠EFN=30°.

因為EF=4，所以AF=MF==8，NE=EF·tan∠EFN=，BF===. 而QF=FD=（AF-BF）=， 所以FP==.故答案為A.

評注： 在例2的解法中，由拋物線的定義實現(xiàn)了拋物線上點到焦點和到準線距離之間的相互轉化，然后通過挖掘圖象中的正三角形和直角三角形等條件，利用其邊角關系，從“形”出發(fā)求“數(shù)”. 思維途徑是：構建直角三角形，尋找邊角關系.

當問題中含有相似三角形時，

用好相似比

例3 設定點F到定直線l的距離為p（p>0），動點M在定直線l上，動點N在MF的延長線上，且滿足=，建立適當?shù)淖鴺讼?，求動點N的軌跡方程.

分析： 首先要建立適當?shù)淖鴺讼担缓罄靡阎獥l件，構建相似三角形，確定動點的運動規(guī)律.

解： 如圖3所示，以l為y軸、過點F垂直于l的直線為x軸建立平面直角坐標系，則有F（p，0）.設N（x，y），過N作NQ垂直y軸于點Q.

因為=，所以=.由題意可知△MOF∽△MQN，所以====，化簡得：（p2-1）x2-2p3x+p2y2+p4=0 （x>0）.

評注： 若建立坐標系后直接求解例3，運算會比較煩瑣.而運用相似三角形的相似比來解題，就使問題大大簡化了.這類題的思維方向是：比例式？圯相似三角形？圯化歸轉化.

當問題涉及直線與圓的位置關系時，

應用圓心到直線的距離關系

例4 已知x，y滿足x2+y2-4x+4y+4≤0，求x+2y的值的取值范圍.

分析： 配方后可得（x-2）2+（y+2）2≤4，其幾何意義為以（2，-2）為圓心、2為半徑的圓及其內(nèi)部.設z=x+2y，則x+2y-z=0表示平面內(nèi)的平行直線系，示意圖如圖4所示.問題轉化為求直線與圓相交或相切時z的取值范圍.

解： 把已知的不等方程配方得（x-2）2+（y+2）2≤4，設z=x+2y. 由題意可得，直線l：x+2y-z=0與圓（x-2）2+（y+2）2=4的圖象有公共點，故圓心（2，-2）到直線l的距離d==≤2，解得-2-2≤z≤-2+2，所以x+2y的取值范圍為[-2-2，-2+2].

評注： 處理直線與圓的位置關系問題，一般都用幾何法，常常通過圓心到直線的距離關系求解. 其思維流程為：尋找關系？圯計算距離？圯列式求解.

當問題涉及三角形的內(nèi)心時，

考慮使用角平分線的性質(zhì)定理

例5 已知M是橢圓+=1上任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的左右焦點，I是△MF1F2的內(nèi)切圓圓心.求證：點M，I的縱坐標之比為定值.

分析： 內(nèi)心是三角形內(nèi)角平分線的交點，若由角平分線的直線方程求交點，會導致煩瑣的計算，而角平分線定理與比例有關，可簡化運算.

證明： 如圖5所示，連結MI并延長交F1F2于點N，則M，I的縱坐標之比轉化為.由角平分線的性質(zhì)定理和等比定理得：=====，所以== （定值）.

評注： 求解例5的時候要靈活使用角平分線定理和等比定理. 這類問題的思維過程可以歸納為：聯(lián)想定理？圯合理轉化？圯適量計算.

【練一練】

（1） 過拋物線y2=4x的焦點F作弦AB，若弦AB所在直線的傾斜角為60°，則的值為 .

（2） 過雙曲線-=1（a>0，b>0）的右焦點F作圓x2+y2=a2的切線FM（切點為M），交y軸于點P. 若M為線段FP的中點，則雙曲線的離心率是 .

（A） （B）

（C） 2 （D）

（3） 求由直線y=0，x=1，y=x相交所成的三角形內(nèi)切圓的方程.

【參考答案】

（1） 解： 如圖6所示，分別作出點A，B在拋物線準線l上的投影A′，B′，則AA′⊥l，BB′⊥l；直線AC垂直BB′的延長線于點C.

設AF=m，BF=n.根據(jù)拋物線知識可知：BF=BB′=n，AF=AA′=B′C=m，BC=B′C-BB′=m-n，AB=m+n. 在直角△ABC中，cos60°===，解得=3，即=3.

（2） 解： 如圖7所示，OM=a，OF=c，OM⊥PF且M為PF的中點，所以△OPF是等腰直角三角形，∠PFO=45°，所以OF==OM，即c=a. 所以e==. 答案為A.

（3） 解： 如圖8所示，三條直線之間的交點分別記為O，A，B.作△OAB的內(nèi)切圓C，切點分別為D，E，F(xiàn)，記圓心為C（a，b），半徑為b.易知OB=AB=1，OA=，OB=OD+DB，即a+b=1 （①）.

結合圓的切線長定理知：OA=OF+AF=OD+AE=OD+AB-EB，即a+1-b=，得a-b=-1 （②）.

由①②兩式解得：a=，b=. 所以圓C的方程是：x-2+y-2=2.