對(duì)數(shù)函數(shù)值域?yàn)镽的意義

Q 提問： 對(duì)于問題“若函數(shù)f（x）=log0.5（ax2+2x+1）的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍”，我的解法是：因?yàn)樵趯?duì)數(shù)函數(shù)中要求真數(shù)ax2+2x+1>0，所以a>0，Δ=4-4a<0，解得a>1.而正確答案是0≤a≤1.請(qǐng)問我錯(cuò)在哪里？

A 回答： 問題要求的是“對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)镽時(shí)，a的取值范圍”，而你求的是“對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽時(shí)，a的取值范圍”，這是兩碼事，所以你的解法當(dāng)然有錯(cuò).

先來討論對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽的情況.

因?yàn)樵趯?duì)數(shù)函數(shù)中要求真數(shù)恒大于0，函數(shù)f（x）=log0.5（ax2+2x+1）的定義域?yàn)镽，說明當(dāng)x取任意值時(shí)，g（x）=ax2+2x+1>0恒成立，即真數(shù)ax2+2x+1恒大于0.

要強(qiáng)調(diào)的是，真數(shù)ax2+2x+1恒大于0時(shí)，意味著函數(shù)g（x）=ax2+2x+1的圖象開口向上且不與x軸相交，g（x）不可能取到所有正數(shù)，所以此時(shí)真數(shù)必定不能取到所有正數(shù)值.

下面我們來探討對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)镽的情況.

若要使對(duì)數(shù)函數(shù)f（x）=log0.5（ax2+2x+1）的值域?yàn)镽，真數(shù)ax2+2x+1對(duì)應(yīng)的函數(shù)g（x）=ax2+2x+1應(yīng)能取到所有正數(shù)值.

若a>0，Δ=4-4a<0，則g（x）=ax2+2x+1>0恒成立，二次函數(shù)g（x）的圖象開口向上且與x軸無交點(diǎn)，g（x）能取到的最小正數(shù)值為g（x）min=g-=1-. 因?yàn)閒（x）=log0.5（ax2+2x+1）在-∞，-上為增函數(shù)，在-，+∞上為減函數(shù)，所以f（x）max=log0.5g（x）min=log0.5g-，即 f（x）存在最大值，這說明它的值域不為R.

若a>0，Δ=4-4a≥0，則二次函數(shù)g（x）的圖象開口向上且與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)，故g（x）能取到所有正數(shù).當(dāng)真數(shù)能取到所有正數(shù)時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)镽，即f（x）=log0.5（ax2+2x+1）的值域?yàn)镽.解得0

若a=0，則g（x）=2x+1.當(dāng)x>-時(shí)，g（x）>0恒成立，由函數(shù)圖象可知，此時(shí)g（x）=2x+1能取到所有正數(shù)，f（x）的值域?yàn)镽.

若a<0，則二次函數(shù)g（x）的圖象開口向下. 當(dāng)Δ=4-4a<0時(shí)，g（x）<0，對(duì)數(shù)函數(shù)f（x）=log0.5（ax2+2x+1）不成立；當(dāng)Δ=4-4a≥0時(shí)，g（x）與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)間（x）max=g-=1-，故g（x）不能取到所有正數(shù)，f（x）的值域不為R.

綜上可得，只有當(dāng)0≤a≤1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)f（x）的值域?yàn)镽，此時(shí)真數(shù)ax2+2x+1能取到所有正數(shù)值.

要使對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)镽，真數(shù)應(yīng)能取到所有正數(shù)值.

Q 提問： 對(duì)于問題“若函數(shù)f（x）=log0.5（ax2+2x+1）的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍”，我的解法是：因?yàn)樵趯?duì)數(shù)函數(shù)中要求真數(shù)ax2+2x+1>0，所以a>0，Δ=4-4a<0，解得a>1.而正確答案是0≤a≤1.請(qǐng)問我錯(cuò)在哪里？

A 回答： 問題要求的是“對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)镽時(shí)，a的取值范圍”，而你求的是“對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽時(shí)，a的取值范圍”，這是兩碼事，所以你的解法當(dāng)然有錯(cuò).

先來討論對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽的情況.

因?yàn)樵趯?duì)數(shù)函數(shù)中要求真數(shù)恒大于0，函數(shù)f（x）=log0.5（ax2+2x+1）的定義域?yàn)镽，說明當(dāng)x取任意值時(shí)，g（x）=ax2+2x+1>0恒成立，即真數(shù)ax2+2x+1恒大于0.

要強(qiáng)調(diào)的是，真數(shù)ax2+2x+1恒大于0時(shí)，意味著函數(shù)g（x）=ax2+2x+1的圖象開口向上且不與x軸相交，g（x）不可能取到所有正數(shù)，所以此時(shí)真數(shù)必定不能取到所有正數(shù)值.

下面我們來探討對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)镽的情況.

若要使對(duì)數(shù)函數(shù)f（x）=log0.5（ax2+2x+1）的值域?yàn)镽，真數(shù)ax2+2x+1對(duì)應(yīng)的函數(shù)g（x）=ax2+2x+1應(yīng)能取到所有正數(shù)值.

若a>0，Δ=4-4a<0，則g（x）=ax2+2x+1>0恒成立，二次函數(shù)g（x）的圖象開口向上且與x軸無交點(diǎn)，g（x）能取到的最小正數(shù)值為g（x）min=g-=1-. 因?yàn)閒（x）=log0.5（ax2+2x+1）在-∞，-上為增函數(shù)，在-，+∞上為減函數(shù)，所以f（x）max=log0.5g（x）min=log0.5g-，即 f（x）存在最大值，這說明它的值域不為R.

若a>0，Δ=4-4a≥0，則二次函數(shù)g（x）的圖象開口向上且與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)，故g（x）能取到所有正數(shù).當(dāng)真數(shù)能取到所有正數(shù)時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)镽，即f（x）=log0.5（ax2+2x+1）的值域?yàn)镽.解得0

若a=0，則g（x）=2x+1.當(dāng)x>-時(shí)，g（x）>0恒成立，由函數(shù)圖象可知，此時(shí)g（x）=2x+1能取到所有正數(shù)，f（x）的值域?yàn)镽.

若a<0，則二次函數(shù)g（x）的圖象開口向下. 當(dāng)Δ=4-4a<0時(shí)，g（x）<0，對(duì)數(shù)函數(shù)f（x）=log0.5（ax2+2x+1）不成立；當(dāng)Δ=4-4a≥0時(shí)，g（x）與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)間（x）max=g-=1-，故g（x）不能取到所有正數(shù)，f（x）的值域不為R.

綜上可得，只有當(dāng)0≤a≤1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)f（x）的值域?yàn)镽，此時(shí)真數(shù)ax2+2x+1能取到所有正數(shù)值.

要使對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)镽，真數(shù)應(yīng)能取到所有正數(shù)值.

Q 提問： 對(duì)于問題“若函數(shù)f（x）=log0.5（ax2+2x+1）的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍”，我的解法是：因?yàn)樵趯?duì)數(shù)函數(shù)中要求真數(shù)ax2+2x+1>0，所以a>0，Δ=4-4a<0，解得a>1.而正確答案是0≤a≤1.請(qǐng)問我錯(cuò)在哪里？

A 回答： 問題要求的是“對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)镽時(shí)，a的取值范圍”，而你求的是“對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽時(shí)，a的取值范圍”，這是兩碼事，所以你的解法當(dāng)然有錯(cuò).

先來討論對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽的情況.

因?yàn)樵趯?duì)數(shù)函數(shù)中要求真數(shù)恒大于0，函數(shù)f（x）=log0.5（ax2+2x+1）的定義域?yàn)镽，說明當(dāng)x取任意值時(shí)，g（x）=ax2+2x+1>0恒成立，即真數(shù)ax2+2x+1恒大于0.

要強(qiáng)調(diào)的是，真數(shù)ax2+2x+1恒大于0時(shí)，意味著函數(shù)g（x）=ax2+2x+1的圖象開口向上且不與x軸相交，g（x）不可能取到所有正數(shù)，所以此時(shí)真數(shù)必定不能取到所有正數(shù)值.

下面我們來探討對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)镽的情況.

若要使對(duì)數(shù)函數(shù)f（x）=log0.5（ax2+2x+1）的值域?yàn)镽，真數(shù)ax2+2x+1對(duì)應(yīng)的函數(shù)g（x）=ax2+2x+1應(yīng)能取到所有正數(shù)值.

若a>0，Δ=4-4a<0，則g（x）=ax2+2x+1>0恒成立，二次函數(shù)g（x）的圖象開口向上且與x軸無交點(diǎn)，g（x）能取到的最小正數(shù)值為g（x）min=g-=1-. 因?yàn)閒（x）=log0.5（ax2+2x+1）在-∞，-上為增函數(shù)，在-，+∞上為減函數(shù)，所以f（x）max=log0.5g（x）min=log0.5g-，即 f（x）存在最大值，這說明它的值域不為R.

若a>0，Δ=4-4a≥0，則二次函數(shù)g（x）的圖象開口向上且與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)，故g（x）能取到所有正數(shù).當(dāng)真數(shù)能取到所有正數(shù)時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)镽，即f（x）=log0.5（ax2+2x+1）的值域?yàn)镽.解得0

若a=0，則g（x）=2x+1.當(dāng)x>-時(shí)，g（x）>0恒成立，由函數(shù)圖象可知，此時(shí)g（x）=2x+1能取到所有正數(shù)，f（x）的值域?yàn)镽.

若a<0，則二次函數(shù)g（x）的圖象開口向下. 當(dāng)Δ=4-4a<0時(shí)，g（x）<0，對(duì)數(shù)函數(shù)f（x）=log0.5（ax2+2x+1）不成立；當(dāng)Δ=4-4a≥0時(shí)，g（x）與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)間（x）max=g-=1-，故g（x）不能取到所有正數(shù)，f（x）的值域不為R.

綜上可得，只有當(dāng)0≤a≤1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)f（x）的值域?yàn)镽，此時(shí)真數(shù)ax2+2x+1能取到所有正數(shù)值.

要使對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)镽，真數(shù)應(yīng)能取到所有正數(shù)值.