美式期權(quán)定價(jià)模型的高階緊差分方法*

于國(guó)曉，謝樹(shù)森

（中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100）

期權(quán)定價(jià)理論的創(chuàng)建是近幾十年金融領(lǐng)域中最重要的發(fā)展之一。相對(duì)于歐式期權(quán)，美式期權(quán)可以提前實(shí)施，擁有更多的獲利機(jī)會(huì)，操作具有更大的靈活性，應(yīng)用更為廣泛，研究美式期權(quán)定價(jià)模型的數(shù)值方法更具有實(shí)際意義。關(guān)于美式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題數(shù)值方法研究已有很多工作，例如二叉樹(shù)方法［1］，有限元方法［2］、懲罰函數(shù)法［3］、移動(dòng)邊界法［4］等。

美式期權(quán)定價(jià)模型最終歸結(jié)為一個(gè)自由邊界問(wèn)題。本文對(duì)支付紅利的美式買入期權(quán)模型實(shí)施Frontfixing變換［5］，將自由邊界問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)非線性的定邊界問(wèn)題，構(gòu)造三層緊致差分格式對(duì)此非線性問(wèn)題進(jìn)行離散并進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)。與二叉樹(shù)方法［1］和一般差分方法［5］的數(shù)值結(jié)果比較證明本文算法是有效的。

1 美式買入期權(quán)定價(jià)模型

本文考慮由Black-Scholes方程推廣得到的支付紅利的美式買入期權(quán)模型。用C（S，t）表示美式買入期權(quán)價(jià)格，由文獻(xiàn)［2］可知美式買入期權(quán)定價(jià)模型如下：

其中：S為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格，K為期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格，T為期權(quán)的執(zhí)行時(shí)間，r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)率，q為期權(quán)執(zhí)行期間的紅利率，σ為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率，z＋＝max（z，0），自由邊界B＊（t）是最優(yōu)執(zhí)行邊界，且B＊（t）是未知的。本文進(jìn)一步假設(shè)世界風(fēng)險(xiǎn)是中性的，即q＞0。當(dāng)S在t時(shí)刻小于B＊（t），期權(quán)應(yīng)該持有，而當(dāng)S在t時(shí)刻大于或等于B＊（t）時(shí)，期權(quán)應(yīng)該被執(zhí)行，即C（S，t）＝SK。

令τ＝T－t，B（τ）＝B＊（T－τ），則上述倒向問(wèn)題變換為如下正向初邊值問(wèn)題：

上述變量替換成立，當(dāng)且僅當(dāng)B（τ）＞0。文獻(xiàn)［6-7］中說(shuō)明B（τ）是關(guān)于τ的非負(fù)單調(diào)增函數(shù)，并給出了B（τ）的取值范圍B（0）≤B（τ）≤KX，其中

引理1［2］對(duì)于給定的正實(shí)數(shù)ξ∈ （0，1），有

C（S，t）≤ξ，0≤S≤Ke－Y，0≤t≤T

其中：

2 高階緊致差分格式

令－εvyy＋c（τ）vy＝f。記為函數(shù)v在結(jié)點(diǎn)（yj，τn） 處 的 值，。由Taylor展開(kāi)式得

整理

令f＝－vτ－rv，可以得到

記表示的近似值，略去上式中的截?cái)嗾`差得到如下緊致差分方程：

差分格式（7）的截?cái)嗾`差為O（h4＋k2）。（7）式等價(jià)記為：

利用Fourier方法，增長(zhǎng)矩陣的特征值的模均小于等于1，差分格式是穩(wěn)定的。

下面討論邊界條件的差分離散。設(shè)上述緊致差分方程在j＝0時(shí)成立，即

又由邊界條件（5）直接四階差分離散可得：

由式（8）和（9）消去，整理可得

其中：

Bn＋1使用Bn，Bn－1，Bn－23點(diǎn)的插值逼近，即

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

算例1 取參數(shù)K＝10，r＝0.03，q＝0.07，σ＝0.2，T＝1，θ＝0.5。表1給出不同步長(zhǎng)期權(quán)價(jià)格C（S，t）近似解。并與二叉樹(shù)方法的數(shù)值結(jié)果［8］進(jìn)行比較?？梢钥闯鼍o致差分方法是收斂的。

表1 在t＝0時(shí)，不同空間、時(shí)間步長(zhǎng)下的美式買入期權(quán)價(jià)格（C）Table 1 Values of an American call option by different mesh size at t＝0

算例2 取參數(shù)K＝10，r＝0.1，q＝0.05，σ＝0.2。由于美式買入期權(quán)沒(méi)有精確解，為了比較誤差，取文獻(xiàn)［5］中差分方法在步數(shù)分別取N＝4 096，M＝4 000所到的數(shù)值解為精確解v。

圖1～6，取θ＝0.5，給出T取不同值時(shí)，自由邊界B（τ）與B＊（t）數(shù)值解曲線，圖中exact表示文獻(xiàn)［5］中差分方法取N＝4 096，M＝4 000得到的自由邊界曲線。

圖7、8分別給出取θ＝0.5，T＝1時(shí)，函數(shù)V（y，T）和美式期權(quán)C（S，0）的數(shù)值解。

圖9、10分別給出θ＝0.5，T＝1，N＝64，M＝80時(shí)，函數(shù)V（y，τ）和期權(quán)價(jià)格C（S，t）的數(shù)值解。

表2給出T＝1時(shí)，緊致差分方法取不同θ值的誤差與收斂階。由數(shù)據(jù)可以看出θ取不同值時(shí)，誤差略有差異，緊致差分方法雖然達(dá)不到4階精度，但數(shù)值結(jié)果都要比文獻(xiàn)［5］差分法好得多。

表3給出自由邊界B（τ）計(jì)算較精確的情況下，緊 致差分法的收斂階可以達(dá)到接近四階。

圖1 T＝0.5時(shí)，自由邊界B（τ）圖像Fig.1 Early exercise price B（τ）at T＝0.5

圖2 T＝1時(shí)，自由邊界B（τ）圖像Fig.2 Early exercise price B（τ）at T＝1

圖3 T＝3時(shí)，自由邊界B（τ）圖像Fig.3 Early exercise price B（τ）at T＝3

圖4 T＝0.5時(shí)，自由邊界B＊（t）圖像Fig.4 Early exercise price B＊（t）at T＝0.5

圖5 T＝1時(shí)，自由邊界B＊（t）圖像Fig.5 Early exercise price B＊（t）at T＝1

圖6 T＝3時(shí)，自由邊界B＊（t）圖像Fig.6 Early exercise price B＊（t）at T＝3

圖7 τ＝T時(shí)，函數(shù)V的數(shù)值解Fig.7 Numerical solution of Vatτ＝T

圖8 τ＝0時(shí)，期權(quán)價(jià)格C數(shù)值解Fig.8 Numerical solution of option price Catτ＝0

圖9 函數(shù)V Fig.9 Numerical solution of function V

圖10 美式買入期權(quán)C Fig.10 Numerical solution of American call option C

表2 T＝1時(shí)，文獻(xiàn)［5］差分方法與緊致差分格式取不同θ值的數(shù)值結(jié)果比較Table 2 Comparison of errors for the scheme in［5］and the compact scheme with differentθat T＝1

表3 緊致差分格式收斂階Table 3 The rate of the compact difference scheme atτ＝T

4 結(jié)語(yǔ)

本文采用Front-fixing方法，對(duì)支付紅利的美式買入期權(quán)模型實(shí)施變量替換，將自由邊界問(wèn)題轉(zhuǎn)化為正向的非線性問(wèn)題，構(gòu)造3層緊致差分格式求解美式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題。通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明本文方法可以有效計(jì)算美式期權(quán)問(wèn)題。

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