馬 琪， 王 奇， 王 銳

（安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230039）

1 引言

多種群捕食－食餌模型周期解的存在性已被廣泛研究［1－6］。在文［3］中，王和范研究了一類帶收獲項的捕食－食餌模型周期解的存在性。在文［6］，徐等研究了以下模型周期解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性

受以上文獻啟發(fā)，本文研究一類具Holling－II型功能反應(yīng)與收獲項的兩種群時滯捕食－食餌模型周期解的存在性：

初始條件為：

其中，x1（t），x2（t）分別表示食餌與捕食者的種群密度，ri（t）表示食餌與捕食者的內(nèi)稟增長率，ai（t）表示各種群內(nèi)部的競爭率，hi（t）分別表示xi（t）各自的收獲項，τ1，τ3表示食餌對捕食者的負反饋作用，τ2表示捕食者的出生率，并且除了r2＜0外，函數(shù)r1，ai，bi，hi，

m，i＝1，2，τj，j＝1，2，3均為定義在R＋上嚴格正的連續(xù)有界ω－周期函數(shù)。

2 預(yù)備知識

引理2.1［7］令L是指標為0的Fredholm映射，Ω是中X的有界開集，并且令N在上是L－緊的。假設(shè)：

（1）對λ∈ （0，1），x∈?Ω∩DomL，

Lx≠λNx；

（2）對x∈?Ω∩DomL，QNx≠0；

（3）deg｛JQN，Ω∩KerL，0｝≠0。

對于連續(xù)有界ω－周期函數(shù)f（t），記：

3 正周期解的存在性

定理3.1 若以下條件成立：

則（1）至少存在一個正的ω－周期解。

證明：作變換ui（t）＝lnxi（t），i＝1，2，則有：

顯然，若系統(tǒng)（2）有ω－周期解，則系統(tǒng)（1）有正的ω－周期解。下證系統(tǒng)（2）至少有一個

ω－周期解。先驗證引理2.1（1）。記

X ＝Y(jié) ＝ ｛u∈ （R，R2）：ui（t＋ω）＝ui（t）｝，

i＝1，2，并定義如下的范數(shù)

易見，QN 與Kp（I－Q）N是連續(xù)的，又QN 是有界的，所以N在Ω×（0，1）內(nèi)是L緊的。數(shù)。再令：

故，

其基為 （1，0）T，（0，1）T，則

此外，可見

是Y中的緊集。定義算子P，Q：

則P，Q是連續(xù)的算子并且有：

那么算子L｜DomL∩KerP的逆Kp可以定義如下：

則：QN：X→Y，Kp（I－Q）N：X→X 。定義如下：

為應(yīng)用引理2.1，需要找有界開子集Ω?？紤]算子方程Lx ＝λN（u，λ），λ∈ （0，1），得：

設(shè)u∈X 是系統(tǒng)（3）的ω－周期解，將（3）在 ［0，ω］上進行積分，有：

由（3）（4）（5）知：

又u∈X ，所以存在ξi，ηi∈ ［0，ω］，i＝1，2使得：

聯(lián)合（4）（7）得到：

可得

由（6）（8），有：

聯(lián)合（5）（7）（9）得：

可得

聯(lián)立（6）（10）有：

另一方面，由（5）知，

可得

聯(lián)立（6）（10）有：

聯(lián)立（9）（13），得：

類似以上證明有，

即

而：

再由（15）和條件 （H1），得：

將上式與（9）聯(lián)立，解得：

聯(lián)立（6）和（16），得：

綜合上式與（11），有：

顯然，R1，R2是與λ無關(guān)的常數(shù)，定義正數(shù)M＝R1＋R2＋R0，其中R0足夠大，使得 （α＊，β＊）T為以下代數(shù)方程的解：

取Ω＝｛u∈X：‖u‖＜M｝，則Ω為有界開集，引理2.1（1）驗證完畢。

下面驗證引理2.1（2）。當 （u1，u2）T

∈?Ω ∩ R2，（u1，u2）T為R2中的常向量，且

最后驗證引理2.1（3）。定義算子φ：DomL×［0，1］→X，

當u∈?Ω∩R2，u為R2中的常向量，且

類似于（14），（17）的證明，得：

（u1，u2）T∈?Ω ∩ KerL，φ（u1，u2，μ）≠0。

由拓撲度理論，存在同構(gòu)映射

有：

代數(shù)方程

有解（u＊1，u＊2）T，其中，

易見，

因此有：

那么，集合 ｛Kp（I－Q）Nx｜x∈是等度連續(xù)且一致有界的，由Arzela－Ascoli定理，知：

Kp（I－Q）N→X是緊的，所以，N是L緊的。引理2.1（3）也驗證完畢。

至此，有界開子集Ω滿足引理2.1的所有條件，故系統(tǒng)（2）存在ω－周期解，即，系統(tǒng)（1）存在正的ω－周期解。

注：和論文［6］比較，模型（1）在m＝m（t）及有收獲項的情形下仍然得到周期解的存在性結(jié)論。

［1］G.R.Liu，J.R.Yan，Positive periodic solutions for a neutral delay ratio－dependent predator－prey model with a Holling type II functional response［J］.Nonl.Anal.：RWA，2011，12：3252－3260.

［2］J.Zhou，Positive steady state solutions of a Leslie－Gower predator－prey model with Holling type II functional response and density－dependent diffusion［J］.Nonl.Anal.：TMA，2013，82：47－65.

［3］L.L.Wang，Y.H.Fan，Multiple periodic solutions for a non－autonomous delayed predator－prey model with harvesting terms［J］.Appl.Math.Comput.，217，2011：9552－9561.

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［5］G.J.Lin，Y.G.Hong.Periodic solutions in non autonomous predator prey system with delays［J］.Nonl.Anal.：RWA，2009，10：1589－1600.

［6］R.Xu，M.A.Chaplin，F(xiàn).A.Davidson，Periodic solutions for a predator－prey model with Holling－type functional response and time delay［J］.Appl.Math.Comput.，2005，161：637－654.

［7］R.E.Gains，J.L.Mawhin，Coincidence Degree and Nonlinear Differential Equations［M］，Springer－Verlag，Berlin，1977.