多目標(biāo)系統(tǒng)最優(yōu)控制方法研究*

杜振華 諶海云 曾 歡 石明江

1. 西南石油大學(xué)電氣信息學(xué)院，成都610500

2. 中海油節(jié)能環(huán)保服務(wù)有限公司，天津300457

多目標(biāo)系統(tǒng)最優(yōu)控制主要研究存在多個(gè)目標(biāo)泛函時(shí)，在給定的狀態(tài)約束條件下尋求最優(yōu)控制律并達(dá)到?jīng)Q策者所需的最優(yōu)。在工程實(shí)際中，多個(gè)指標(biāo)之間往往相互沖突、相互矛盾，一方利益的獲得會(huì)導(dǎo)致另一方利益的受損。決策者則會(huì)通過(guò)自身的經(jīng)驗(yàn)給予各個(gè)指標(biāo)不同的權(quán)重。這種傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法偏離了實(shí)際數(shù)值意義上的最優(yōu)。

從上世紀(jì)90年代起，一些學(xué)者提出了針對(duì)二次性能指標(biāo)的多目標(biāo)最優(yōu)控制，諸如Khargnnekar 和Rotea 的凸優(yōu)化方法［1］，Salukvadze 的向量值法［2］，Shtessel 的比例損耗原理及我國(guó)學(xué)者張成科的小波逼近法［3］。這些傳統(tǒng)方法的數(shù)值計(jì)算十分復(fù)雜，且對(duì)問(wèn)題性質(zhì)有著要求。

進(jìn)化計(jì)算的發(fā)展對(duì)復(fù)雜問(wèn)題的尋優(yōu)提供了有效方法，本文將現(xiàn)代控制論與多目標(biāo)進(jìn)化算法結(jié)合，通過(guò)構(gòu)建免疫克隆選擇算法求解多目標(biāo)情況下的最優(yōu)控制問(wèn)題。并針對(duì)具有較多先驗(yàn)知識(shí)的決策者，提出了一種用層次分析法分配多目標(biāo)之間權(quán)重的方法。

1 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

隨著空間技術(shù)的發(fā)展及最短時(shí)間問(wèn)題的提出，最優(yōu)控制理論逐漸發(fā)展起來(lái)，其基本數(shù)學(xué)模型如下:

一個(gè)被控系統(tǒng)可以用下式表征

式中，x 描述被控對(duì)象的n個(gè)獨(dú)立變量，u 為控制量，f(x，u，t)是描述被控對(duì)象動(dòng)態(tài)特征的n 維矢值函數(shù)。則存在一個(gè)容許控制ui(t)，i = 1，2，…，r;ui(t)≤M，使得性能指標(biāo)取極小。

那么多目標(biāo)的系統(tǒng)則表述為:

尋求最優(yōu)控制律ui(t)，i = 1，2，…，r，同時(shí)使得如下指標(biāo)取極小值

2 層次分析法

層次分析法(Analytical Hierachy Process，AHP)是一種整理和綜合人們主觀判斷的客觀分析方法，也是一種定性與定量分析相結(jié)合的系統(tǒng)分析方法，它在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用較為普遍，但對(duì)于控制系統(tǒng)而言也可以借鑒這一方法。對(duì)于具有大量先驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)的工程師而言，已經(jīng)對(duì)多個(gè)目標(biāo)之間相互比對(duì)的重要程度有了主觀意見(jiàn)，就可以采用層次分析法客觀的確定主觀決策的權(quán)重大小。

層次分析法的重點(diǎn)就是建立判斷矩陣并求解判斷矩陣的最大特征根λmax對(duì)應(yīng)的歸一化特征向量W，然后對(duì)判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，如果檢驗(yàn)通過(guò)，則該特征向量就是各目標(biāo)的加權(quán)系數(shù)。下面以一個(gè)三性能指標(biāo)的二階積分系統(tǒng)為例說(shuō)明層次分析法在優(yōu)化控制中的使用方法。

假設(shè)如下一個(gè)二階積分系統(tǒng)

其性能指標(biāo)為

首先根據(jù)Saaty 教授提出的標(biāo)度法(如表1 所示)對(duì)各目標(biāo)相對(duì)于其他目標(biāo)的兩兩比較重要性來(lái)確定判斷矩陣B。然后通過(guò)和積法(或方根法)求判斷矩陣B 的最大特征根λmax，再由式(8)和(9)求出一致性指標(biāo)CI 和一致性比率CR，檢驗(yàn)B 的一致性，最后求λmax的歸一化特征向量W。

表1 標(biāo)度法

采用和積法求取判斷矩陣B 的最大特征根λmax及其歸一化特征向量W，其步驟如下:

1) 將判斷矩陣B 的每一列元素作正規(guī)化處理

2) 將每一列經(jīng)正規(guī)化后的判斷矩陣按行相加

則W = (W1，W2，…，Wr)T即為B 的最大特征根λmax對(duì)應(yīng)的歸一化特征向量。

4) 計(jì)算判斷矩陣B 的最大特征根

判斷矩陣B 的滿意一致性可用一致性比率CR檢驗(yàn)

稱(chēng)CI 為判斷矩陣B 的一致性指標(biāo)，CI 越小，B的最大特征根λmax越接近完全一致性判斷矩陣的最大特征根。當(dāng)CR ＜0.1 時(shí)，則判斷矩陣B 具有滿意一致性。否則，判斷矩陣B 不具有滿意一致性，需要對(duì)判斷矩陣B 進(jìn)行調(diào)整。

按照上述方法對(duì)假設(shè)的二階積分系統(tǒng)的性能指標(biāo)進(jìn)行權(quán)值計(jì)算，首先根據(jù)3個(gè)指標(biāo)重要性的兩兩比較來(lái)建立判斷矩陣B，如表2 所示。然后用和積法進(jìn)行計(jì)算，可得λmax= 3.009 ，RI = 0.580 ，CI =0.005 ，CR = 0.09 ＜0.1 ，通過(guò)一致性檢驗(yàn)，得到各目標(biāo)的權(quán)值為W1= 0.540 ，W2= 0.163 ，W3=0.297 。

表2 判斷矩陣

則該二階積分系統(tǒng)的性能指標(biāo)為

3 交互式?jīng)Q策

在一些工程實(shí)際中，工程師對(duì)各指標(biāo)的重要程度不具有先驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)或者各專(zhuān)家關(guān)于指標(biāo)重要程度有分歧，則可通過(guò)交互式?jīng)Q策方法供決策者來(lái)協(xié)調(diào)多項(xiàng)指標(biāo)。

對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題而言，目標(biāo)解的好壞無(wú)法用傳統(tǒng)意義上的“好壞”來(lái)衡量，這意味著不能采用傳統(tǒng)的基于導(dǎo)數(shù)信息的優(yōu)化技術(shù)或傳統(tǒng)的啟發(fā)式隨機(jī)搜索方法(模擬退火、遺傳算法、人工免疫算法等)來(lái)求解該問(wèn)題。因此，多目標(biāo)優(yōu)化算法的提出是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，區(qū)別于傳統(tǒng)的計(jì)算方法，本文采用改進(jìn)的免疫克隆選擇多目標(biāo)優(yōu)化算法來(lái)求解這類(lèi)問(wèn)題。

3.1 多目標(biāo)優(yōu)化

多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題(MOP)可用如下數(shù)學(xué)表達(dá)式描述:

給定決策向量X = (x1，x2，…，xn)∈Ω，它滿足下列約束

設(shè)有r個(gè)優(yōu)化目標(biāo)，且這r個(gè)優(yōu)化目標(biāo)是相互矛盾的，一方收益會(huì)導(dǎo)致一方利益受損，則優(yōu)化目標(biāo)可以表示為

尋求X*= ()使得F(X*)最優(yōu)，且滿足式(10)的2個(gè)約束條件。在此基礎(chǔ)上給出如下幾個(gè)重要定義。

定義1 如果X 滿足約束條件(10)，則稱(chēng)X 為可行解。所有可行解組成的集合稱(chēng)為可行解集合，記為Ω。

定義2 設(shè)X 和X*是多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題候選解集中的任意2個(gè)非等值個(gè)體，假定X*是非支配的(Pareto－占優(yōu))，則需要滿足如下條件:

1)對(duì)于所有的子目標(biāo)，X*不比X 差，即fk(X*)≤fk(X)，(k = 1，2，…，r);

2)至少存在一個(gè)子目標(biāo)，使得X*比X 好，即?q ∈{1，2，…，r}， 至 少 有 一個(gè) 子 目 標(biāo) 使fq(X*)＜fq(X)。其中，r 為子目標(biāo)的數(shù)量，此時(shí)可用“ ＞”表示兩者的關(guān)系，即X*＞X。

定義3 若X*∈Ω，且不存在其他的使得成立，且其中至少一個(gè)是嚴(yán)格不等式，則稱(chēng)X*是minF(X)的Pareto最優(yōu)解

定義4 Pareto 最優(yōu)解集在其目標(biāo)函數(shù)空間中的表現(xiàn)形式稱(chēng)為Pareto 邊界(或稱(chēng)為Pareto front)，Pareto 最優(yōu)邊界PF*定義為:

3.2 免疫克隆選擇多目標(biāo)優(yōu)化算法

免疫是生物體的一種生理機(jī)能，生物依靠這種功能識(shí)別“自己”和“非己”成分，從而破壞和排斥進(jìn)入人體的抗原物質(zhì)，或人體本身所產(chǎn)生的損傷細(xì)胞和老化細(xì)胞等，以維持人體的健康。本文所用算法主要模仿了脊椎動(dòng)物的免疫應(yīng)答及免疫記憶過(guò)程。圖1 為人體免疫應(yīng)答過(guò)程的一個(gè)簡(jiǎn)化示意圖，為更清楚的描述這一過(guò)程與算法的對(duì)應(yīng)關(guān)系，現(xiàn)給出以下定義。

圖1 生物免疫應(yīng)答過(guò)程

抗原:抗原(antigen)是指能刺激機(jī)體免疫系統(tǒng)引發(fā)免疫應(yīng)答而產(chǎn)生抗體和致敏淋巴細(xì)胞，并能與之發(fā)送特異性結(jié)合而產(chǎn)生免疫效應(yīng)的物質(zhì)。在多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題中，抗原定義為目標(biāo)函數(shù)或目標(biāo)函數(shù)的變換函數(shù)。

抗體:抗體是指免疫系統(tǒng)受到抗原刺激后，B 淋巴細(xì)胞轉(zhuǎn)化為漿細(xì)胞并產(chǎn)生能與抗原發(fā)生特異性結(jié)合的免疫球蛋白(immunoglobulin，Ig)，該免疫球蛋白即為抗體。在人工免疫系統(tǒng)中一般指問(wèn)題的候選解，與進(jìn)化算法中的個(gè)體相似，抗體的集合稱(chēng)為抗體群。

設(shè)抗體a 代表一個(gè)候選解，a = (a1，a2，…，an)，那么一個(gè)規(guī)模為N 的抗體群定義為:A = {a1，a2，…，aN}。

抗體－抗原的親和力:抗體和抗原的作用是通過(guò)力或化學(xué)鍵實(shí)現(xiàn)的，抗體單個(gè)結(jié)合部位與單價(jià)抗原(或表位)的結(jié)合力稱(chēng)為親和力(affinity)。反映整體抗體分子與抗原之間總的結(jié)合力稱(chēng)為親合力(avidity)。在單目標(biāo)的人工免疫系統(tǒng)一般是指抗原的適應(yīng)度，在多目標(biāo)情況下可以是抗體的支配與非支配情況或序值。

抗體－抗體親和度:抗體與抗體間的結(jié)合能力稱(chēng)之為抗體－抗體親和度。在人工免疫系統(tǒng)中，一般指候選解間的距離。

克隆:克隆是指通過(guò)無(wú)性生殖而產(chǎn)生遺傳上均一的生物群，即具有完全相同的遺傳物質(zhì)組成的一群細(xì)胞或者生物個(gè)體。在多目標(biāo)情況下克隆主要實(shí)現(xiàn)候選解的復(fù)制，克隆比通常取5 ～10。

克隆操作Rcc 定義為:當(dāng)對(duì)第it 代群體A(it)={a1(it)，a2(it)，…，aN(it)}進(jìn)行克隆操作時(shí)，可以表示為:

3.2.1 算法編程及測(cè)試

(1)編碼

對(duì)于連續(xù)變量而言，二進(jìn)制編碼存在嚴(yán)重缺陷，傳統(tǒng)的二進(jìn)制編碼，在處理個(gè)體擁擠距離時(shí)，通常是采用相似度函數(shù)進(jìn)行判別。但是相似度函數(shù)的判別結(jié)果有時(shí)和實(shí)際情況大相徑庭。例如1000000000和0111111111 這2個(gè)個(gè)體，在表現(xiàn)型空間中是相鄰的點(diǎn)，具有最小的歐氏距離，但是在基因型空間中卻具有很大的Hamming 距離。因此本文采用實(shí)數(shù)編碼。

對(duì)于函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，實(shí)數(shù)編碼最為有效，并且已經(jīng)證實(shí)，在函數(shù)優(yōu)化和約束優(yōu)化領(lǐng)域，實(shí)數(shù)編碼比二進(jìn)制和Gray 編碼更為有效。實(shí)數(shù)編碼的遺傳算子大體上有4 類(lèi):傳統(tǒng)算子、算數(shù)算子、基于方向的算子和隨機(jī)算子。本文采用傳統(tǒng)算子。

(2)進(jìn)化算子

高斯變異(Gaussian Mutation)是改進(jìn)算法對(duì)重點(diǎn)搜索區(qū)域大局部搜索性能的另一種變異操作方法。所謂高斯變異操作是指進(jìn)行變異操作時(shí)，用符合均值為m，方差為δ2的正太分布的一個(gè)隨機(jī)數(shù)來(lái)替換原有基因值。高斯變異的具體操作過(guò)程是:

1)每個(gè)染色體上都進(jìn)行變異操作，變異的基因位選擇方式為

2)對(duì)每一個(gè)變異點(diǎn)，以概率pm 從對(duì)應(yīng)基因的取值范圍內(nèi)取一隨機(jī)數(shù)來(lái)取代原有基因值。新基因由下式計(jì)算得到:

設(shè)xk為變異點(diǎn)，其取值范圍是，則令

當(dāng)問(wèn)題的抗體約束范圍較廣時(shí)，高斯變異方法所得的Pareto 最優(yōu)解分布的均勻性會(huì)變差。因此，在這種情況可以使用均勻變異算子。均勻變異是用抗體約束范圍內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)來(lái)取代變異基因位，其MATLAB 程序表述為如下:

算法中，chrom 表示需要進(jìn)行變異操作的抗體，pm 為變異概率，bound 為變異基因位的取值范圍，通常以矩陣形式描述。

3)選擇算子

克隆選擇操作是從抗體各自克隆增殖后的子代中選擇優(yōu)秀的個(gè)體，從而形成新的抗體群。一個(gè)抗體能否被選擇到下一代中，主要取決于其是否為非支配抗體。這樣就需要將抗體群劃分為支配抗體群和非支配抗體群，這也是算法的主要時(shí)間復(fù)雜度所在。本文采用擂臺(tái)法進(jìn)行非支配操作，其時(shí)間復(fù)雜度為O(rmN)。

擂臺(tái)法構(gòu)造進(jìn)化群體的Pareto 最優(yōu)解集時(shí)，每一輪從構(gòu)造集中選一個(gè)解作為擂臺(tái)主，其余個(gè)體依次打擂臺(tái)，失敗者則被淘汰出局，勝者成為新的擂臺(tái)主，并繼續(xù)該輪比較。一輪比較后，最后的擂臺(tái)主即為非支配個(gè)體。按這種方法進(jìn)行下一輪的比較，直到構(gòu)造集中的被支配個(gè)體都被淘汰出局。算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(rmN)，式中r 為目標(biāo)數(shù)，m 為非支配個(gè)體數(shù)，N 為群體大小，比起NSGA－II 算法的復(fù)雜度(O(rN2))有所降低。

4)種群修剪

為保持種群良好的分布性和均勻性，需要對(duì)種群進(jìn)行修剪。其重要思想是:計(jì)算抗體之間的聚集距離，并以此分配適應(yīng)值，兩端個(gè)體分配無(wú)窮大適應(yīng)值，以此來(lái)選取非支配且聚集距離大的個(gè)體產(chǎn)生新的種群。這樣還能保證抗體規(guī)模維持在設(shè)定范圍內(nèi)，而不至于過(guò)渡繁殖。

5)依概率免疫記憶

對(duì)抗原進(jìn)行進(jìn)化操作時(shí)，按概率保留一定的非支配抗原作為精英，以此為算法必然收斂的前提。為驗(yàn)證算法的性能，選取了kur，MOP5 和MOP7 三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)。圖2 為免疫克隆選擇多目標(biāo)優(yōu)化算法的算法流程圖。圖3(a)～(c)分別為免疫克隆選擇多目標(biāo)優(yōu)化算法的kur，MOP5 和MOP7 函數(shù)測(cè)試結(jié)果。圖3(d)為NSGA－II 算法的MOP5 測(cè)試結(jié)果。相比而言，由于算法省去了二進(jìn)制到十進(jìn)制的轉(zhuǎn)換及交叉等操作，比起NSGA －II 的執(zhí)行時(shí)間更短。由圖3(c)和(d)比較可見(jiàn)針對(duì)3個(gè)目標(biāo)的測(cè)試結(jié)果，免疫克隆選擇多目標(biāo)優(yōu)化算法的Pareto 最優(yōu)解分布更廣泛，要優(yōu)于NSGA－II。

3.3 基于Pareto 最優(yōu)的多目標(biāo)系統(tǒng)最優(yōu)控制方法

用交互式?jīng)Q策方法來(lái)求解多目標(biāo)系統(tǒng)最優(yōu)控制問(wèn)題需要將算法與模型仿真相結(jié)合。在Matlab 環(huán)境下建立算法的M 文件，并通過(guò)語(yǔ)句assignin(ws，‘var’，val)和［t，x，y］= sim(model，timespan)建立多目標(biāo)免疫優(yōu)化算法與需求解問(wèn)題的Simulink 仿真模型之間的聯(lián)系。為說(shuō)明交互式?jīng)Q策法及免疫克隆選擇多目標(biāo)優(yōu)化算法在求解實(shí)際問(wèn)題時(shí)的有效性，本文以飛機(jī)增穩(wěn)控制器的設(shè)計(jì)為例進(jìn)行說(shuō)明。

3.3.1 示例

圖2 免疫克隆選擇多目標(biāo)優(yōu)化算法流程

圖3 算法測(cè)試結(jié)果

高性能飛機(jī)的飛行包線范圍很廣，要滿足高空高速，低空低速的要求，且在受到自然環(huán)境影響(如自然風(fēng))下仍能保證較好的穩(wěn)定度，僅依靠飛機(jī)的氣動(dòng)外形設(shè)計(jì)很難實(shí)現(xiàn)，因此需要在飛機(jī)中加入增穩(wěn)系統(tǒng)，以提高飛機(jī)的穩(wěn)定性和操縱性。這類(lèi)為增加和改善飛機(jī)穩(wěn)定性的控制系統(tǒng)稱(chēng)為增穩(wěn)系統(tǒng)(Stability Augmentation Systems，簡(jiǎn)稱(chēng)SAS)。由于本文只為說(shuō)明免疫算法對(duì)多目標(biāo)系統(tǒng)的優(yōu)化控制方法，故對(duì)SAS 這一多輸入多輸出系統(tǒng)做以下簡(jiǎn)化:1)飛機(jī)模型采用縱向小擾動(dòng)線性化模型，其線性化平衡點(diǎn)處于飛行包線內(nèi)低空高速區(qū)域;2)將問(wèn)題簡(jiǎn)化為狀態(tài)調(diào)節(jié)器，不考慮指令輸入;3)僅考慮垂直風(fēng)干擾，迎角的初始條件為5°的偏轉(zhuǎn)。使用王青在文獻(xiàn)［4］中提供的數(shù)據(jù)，建立以下?tīng)顟B(tài)空間模型

圖4 免疫克隆選擇多目標(biāo)優(yōu)化算法求解LQR 控制器

式中，狀態(tài)向量x = ［υ，α，q，θ］T，各元素分別代表速度的變化百分比、迎角、俯仰角速率、俯仰角;u =［ξp，ξT］T，各元素分別代表升降舵的偏轉(zhuǎn)和油門(mén)桿的位置。LQR 全狀態(tài)反饋?zhàn)顑?yōu)調(diào)節(jié)器的性能指標(biāo)選取如下:

對(duì)于該問(wèn)題的性能給出3個(gè)指標(biāo)，分別為:升降舵控制輸入的最大值max(u)、迎角輸出的峰值時(shí)間tp和超調(diào)量σ 以及估計(jì)誤差的ITAE。如圖4 所示，為免疫克隆選擇算法結(jié)合多指標(biāo)飛機(jī)增穩(wěn)LQR控制器設(shè)計(jì)的流程圖。算法得到的抗原經(jīng)計(jì)算得到LQR 的反饋陣參數(shù)并賦給Simulink 環(huán)境下的控制器。用模型進(jìn)行仿真，將仿真后得到的性能指標(biāo)參數(shù)又返回給多目標(biāo)免疫算法，算法根據(jù)這一數(shù)值進(jìn)行免疫操作。整個(gè)計(jì)算過(guò)程以此循環(huán)，直到算法滿足終止條件。

圖5 為3個(gè)性能指標(biāo)的Pareto 最優(yōu)邊界。表3為從非支配集中任意選出的5 組抗體得到的控制器參數(shù)。圖7 為系統(tǒng)的Simulink 仿真模型。圖6 為從表3 中選取的第1 組控制參數(shù)和第5 組參數(shù)進(jìn)行仿真所獲得的迎角輸出曲線，由曲線可知，同樣獲得飛機(jī)增穩(wěn)控制的同時(shí)，系統(tǒng)的性能指標(biāo)的極小值取值有所不同，如圖6(a)對(duì)應(yīng)的控制器系統(tǒng)穩(wěn)定性及穩(wěn)定時(shí)間均劣于圖6(b)對(duì)應(yīng)的控制器，但是圖6(a)對(duì)應(yīng)的控制器所消耗的控制能量卻小于后者。因此，決策者可根據(jù)計(jì)算所得的控制器參數(shù)來(lái)協(xié)調(diào)多項(xiàng)系統(tǒng)指標(biāo)以達(dá)到最優(yōu)控制。

圖5 Parcto最優(yōu)邊界

表3 控制器可選參數(shù)

圖6 系統(tǒng)迎角仿真曲線

4 結(jié)論

圖7 增穩(wěn)系統(tǒng)的Simulink 仿真模型

對(duì)多目標(biāo)系統(tǒng)的最優(yōu)控制方法進(jìn)行了深入研究，并根據(jù)設(shè)計(jì)者先驗(yàn)知識(shí)的多少提出了2 種新的解決方法:層次分析法和交互式?jīng)Q策法。不同于以往解決方法，交互式?jīng)Q策法的數(shù)值計(jì)算難度小，且不依賴(lài)或很少依賴(lài)求解問(wèn)題。不論是線性或非線性、連續(xù)或非連續(xù)問(wèn)題均能夠求解其最優(yōu)控制參數(shù)，還能兼顧多項(xiàng)性能指標(biāo)。在所采用的算法方面，本文針對(duì)現(xiàn)有算法的不足，設(shè)計(jì)了免疫克隆選擇多目標(biāo)優(yōu)化算法來(lái)求解多目標(biāo)問(wèn)題，通過(guò)測(cè)試表明算法性能良好，能夠用于多目標(biāo)系統(tǒng)最優(yōu)控制參數(shù)的求解。本文所提方法不僅可以應(yīng)用在多指標(biāo)情況下的LQR 設(shè)計(jì)，還可以應(yīng)用在多指標(biāo)要求下的油田最優(yōu)采收率、煉油過(guò)程中的換熱和加催化等的控制以及直升機(jī)懸?？刂频戎T多方面。

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