黨黎明，劉巨保，李治淼，王 艷

（東北石油大學(xué) 機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，黑龍江 大慶163318）

壓縮式封隔器三級(jí)膠筒多重非線性力學(xué)分析

黨黎明，劉巨保，李治淼，王 艷

（東北石油大學(xué) 機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，黑龍江 大慶163318）

分析了壓縮式封隔器膠筒在井下分層壓裂的密封性能。針對(duì)不同硬度膠筒組合和膠筒材料、幾何及雙重接觸三重非線性問題，根據(jù)力學(xué)基本理論，采用微元法建立膠筒變形齊次非線性方程組。將膠筒變形分為自由變形、單向約束變形和雙向約束變形3個(gè)階段。從而推導(dǎo)出各個(gè)階段不同硬度膠筒組合的變形公式，利用載荷迭代法求解膠筒在不同軸向力下的接觸壓力和壓縮量。為多級(jí)膠筒選擇和封隔器設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

壓縮式封隔器；膠筒；非線性；接觸壓力；壓縮量

目前大多數(shù)油田處于開發(fā)中后期，必須通過分層壓裂使非均質(zhì)、多油層的油田穩(wěn)產(chǎn)及增產(chǎn)，分層壓裂對(duì)現(xiàn)有封隔器提出了更高的要求。以前對(duì)于封隔器膠筒密封性能的研究主要集中在數(shù)值仿真和室內(nèi)試驗(yàn)，例如通過有限元軟件對(duì)壓縮膠筒坐封進(jìn)行模擬，提出了增加紫銅保護(hù)罩來(lái)提高密封性的結(jié)論［1-3］；設(shè)計(jì)膠筒與套管摩擦力測(cè)試實(shí)驗(yàn)裝置，測(cè)量不同軸向壓力下膠筒與套管間的摩擦力等［4-5］。目前理論研究主要集中在單膠筒和相同硬度膠筒上，將膠筒變形過程分為自由變形和約束變形2個(gè)階段，未考慮膠筒大變形的復(fù)雜過程，且無(wú)法計(jì)算不同硬度多膠筒坐封時(shí)膠筒任意部位的變形和接觸壓力［6-9］。因此，本文采用力學(xué)基本理論和橡膠大變形本構(gòu)關(guān)系，推導(dǎo)了封隔器多組不同硬度膠筒坐封過程中壓縮量和接觸壓力計(jì)算公式，利用微元法和載荷迭代法描述了膠筒自由變形、單向約束變形和雙向約束變形3個(gè)階段的變形情況。為封隔器多組膠筒結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與工程施工提供了理論依據(jù)。

1 封隔器膠筒工作原理與計(jì)算模型

封隔器在井下坐封時(shí)，膠筒承受由水力而產(chǎn)生的軸向載荷，使其軸向壓縮導(dǎo)致徑向擴(kuò)張來(lái)封隔環(huán)空。本文以3個(gè)不同硬度膠筒組合為例進(jìn)行研究，圖1為膠筒承載變形過程。

圖1 膠筒變形過程

當(dāng)封隔器下入套管后，膠筒與中心管無(wú)間隙，與套管之間存在環(huán)空間隙，如圖1a所示；當(dāng)膠筒在水力作用下將產(chǎn)生軸向壓縮變形，隨著水力壓力增加，首先是中膠筒外側(cè)最先接觸到套管且內(nèi)側(cè)離開中心管，如圖1b所示；接著膠筒逐步與中心管、套管接觸，如圖1c所示；最后膠筒與中心管、套管的接觸壓力越來(lái)越大，直至達(dá)到完全密封狀態(tài)，如圖1d所示。

根據(jù)膠筒受力變形過程，建立三級(jí)膠筒計(jì)算模型，膠筒處于中心管與套管之間。3個(gè)膠筒半徑都為R1，mm；彈性模量分別為E1、E2和E3，總高度為H1，mm；與中心管和套管摩擦因數(shù)分別為f1和f 2（一般取0.3），如圖2a所示。隨著壓力p不斷增加，膠筒與中心管和套管分別產(chǎn)生接觸壓力pi和p0，這些接觸壓力隨膠筒高度發(fā)生變化，并在接觸位置伴隨有摩擦力，如圖2b所示。

圖2 膠筒計(jì)算模型

膠筒坐封壓力由井下靜壓ps和封隔器n個(gè)活塞缸的總壓力p提供；當(dāng)膠筒與套管接觸后，封隔器與套管的環(huán)空充滿液體也為膠筒座封提供壓力，因此膠筒坐封軸向力為：

式中：p為井下作業(yè)壓力，MPa；ps為井下靜壓，MPa；n為活塞缸個(gè)數(shù)，本文取n＝3；As為封隔器活塞面積，mm2；A為膠筒與套管環(huán)空面積，mm2；當(dāng)膠筒與套管接觸時(shí)系數(shù)k＝1，其他情況k＝0。

由于膠筒屬于大變形不可壓縮的超彈性材料，本構(gòu)上屬性非線彈性問題，應(yīng)力應(yīng)變呈非線性函數(shù)，通過實(shí)驗(yàn)得出膠筒橡膠材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖3所示，加載和卸載曲線相同，卸載后無(wú)殘余變形，這類材料在承載時(shí)多伴有大應(yīng)變、大轉(zhuǎn)動(dòng)及大位移。由此可見，本文所建立的膠筒受力變形分析模型屬于幾何、材料、接觸三重非線性問題。

圖3 膠筒材料應(yīng)力-應(yīng)變曲線

2 三組膠筒多重非線性計(jì)算方法

2.1 膠筒變形求解方程

膠筒為軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)，在軸向力和內(nèi)外壓力作用下產(chǎn)生變形，并與套管、中心管產(chǎn)生隨機(jī)接觸摩擦。為解決膠筒幾何非線性，本文沿膠筒高度將膠筒分為若干個(gè)小微元，取任一微元Δz進(jìn)行研究，如圖4所示，膠筒內(nèi)、外表面產(chǎn)生接觸壓力記為pi和po。

圖4 膠筒任意微元模型

由厚壁圓筒理論的平衡方程得膠筒任意半徑r處的徑向應(yīng)力σr、環(huán)向應(yīng)力σθ、軸向應(yīng)力σz為

式中：a為膠筒變形后內(nèi)徑，mm；當(dāng)a＝R0（中心管外半徑）時(shí)，p0≥0；b為膠筒變形后外徑，mm；當(dāng)b＝Rt（套管內(nèi)半徑）時(shí)，pi≥0。

將式（1）～（4）代入平衡方程，結(jié)合本構(gòu)方程和幾何方程得出膠筒變形方程組：

通過式（2）～（4）求出σr、σθ和σz，利用第四強(qiáng)度理論求得等效應(yīng)力σ4，然后從圖3中查出不同應(yīng)力對(duì)應(yīng)的應(yīng)變，求得膠筒不同狀態(tài)下的彈性模量Ei＝σ4／ε，Ei為每個(gè)膠筒的彈性模量，MPa，i＝1，2，3；k1＝1／（b2－a2）；k2＝a2pi－b2p o

由以上可以看出σz、k1、k2和E都是和a、b、pi和po有關(guān)的等式，而a和b又是ur的函數(shù)，ur又與pi、po和uz相互影響或制約。所以要通過式（5）～（7）組成的齊次非線性方程組求解膠筒內(nèi)、外表面接觸壓力pi和po以及軸向位移uz和徑向位移ur4個(gè)未知數(shù)是不可能的。

本文為了求解這個(gè)齊次非線性方程組，根據(jù)封隔器膠筒壓縮變形過程與套管和中心管的雙向接觸邊界條件，將膠筒變形過程分為自由變形、單向約束變形和雙向約束變形3個(gè)階段。對(duì)每個(gè)階段膠筒變形進(jìn)行分析，使齊次方程組變?yōu)榉驱R次方程組，可以求解。

封隔器膠筒變形過程邊界條件：

2.2 求解方程方法

將載荷分成若干等份，采用載荷迭代方法來(lái)分析膠筒各個(gè)階段不同性質(zhì)的非線性變形。實(shí)際上是把一個(gè)復(fù)雜非線性加載過程，分割成若干個(gè)非線性程度不太嚴(yán)重的加載微段，然后對(duì)每一加載微段進(jìn)行迭代求解，此方法可以避免膠筒某些非線性大變形被忽略，提高解的精確度，計(jì)算迭代過程如圖5所示。

軸向壓力每步增加Δp，一直增加到pz（規(guī)定壓差），隨著p增加，當(dāng)urb＝Rt－R1時(shí)膠筒處于臨界自由狀態(tài)；p繼續(xù)增加直到ura＝0時(shí)，膠筒由單向約束變形階段進(jìn)入雙向約束變形階段；當(dāng)p＝pz時(shí)，計(jì)算結(jié)束。

圖5 計(jì)算迭代方法框圖

2.2.1 自由變形階段

當(dāng)urb＜Rt－R1時(shí)，即膠筒與套管沒接觸，與中心管可能接觸即po＝0，F(xiàn)f2＝0；當(dāng)ura＞0時(shí)，即膠筒與中心管分離定義為自由變形階段。隨著p的逐漸增加，求出pi（若pi＜0，取pi＝0）、urb和uz1；當(dāng)ur＝Rt－R1時(shí)膠筒與套管剛好接觸。

由式（5）積分代入邊界uΔz｜z＝Hp－Δz＝0得：

式中：Hp為三級(jí)膠筒每次壓縮前高度，mm；n＝3；Hn＋1＝0。

由式（6）積分得：

由式（7）得：

由式（9）～（10）得：

由中心管接觸邊界條件知：ura＞0，pi＝0；ura＝0，pi≥0；取ura＝0得：

由上式得到接觸壓力pi后代入式（12）得膠筒橫向伸長(zhǎng)量urb，最終得出膠筒總的壓縮量uz1為所有微元變化量uΔz之和。

2.2.2 單向約束變形階段

當(dāng)ura＞0，urb＝Rt－R1時(shí)，po＞0，F(xiàn)f2≠0，這時(shí)膠筒與套管接觸而與中心管分離定義為單向約束變形階段。隨著p的逐漸增加，求出po、ura、uz2；當(dāng)ura＝0時(shí)膠筒與中心管接觸。

由式（5）積分代入邊界uΔz｜z＝Hp－Δz＝0得：

由式（6）積分得：

由式（7）得：

由式（15）～（16）得：

由中心管接觸邊界條件知：urb＝Rt－R1，po≥0；取urb＝Rt－R1得：

由（19）式得出接觸壓力po代入（17）式得膠筒橫向伸長(zhǎng)量ura；最終得出膠筒總的壓縮量uz2為所有微元變化量uΔz之和。

2.2.3 雙向約束變形階段

當(dāng)ura＝0且urb＝Rt－R1時(shí)，膠筒與中心管和套管都接觸，即po≠0，pi≠0定義為雙向約束變形階段。隨著p的逐漸增加，求出po、pi、uz；當(dāng)p達(dá)到規(guī)定壓力pz封隔器完全坐封。

由式（5）代入積分邊界條件uΔz｜z＝Hp－Δz＝0得：

式中：k3＝apif1＋bpof2由式（6）積分得：

代入邊界條件ur｜r＝a＝0得：

代入邊界條件ur｜r＝b＝0得：

由式（7）得：

由式（21）～（24）知，c＝0；代入（22）～（23）式后，（22）×b－（23）×a得：（1＋μ）（pi－po）ab＝0

由上式得po＝pi，代入式（22）得：

由（25）式得到接觸壓力po和pi，代入（20）式，最終得出膠筒總的壓縮量uz為所有微元變化量uΔz之和。

3 實(shí)例

某油井深3 800多m，下放套管規(guī)格為?139.7 mm（5?2英寸），井溫大約150℃，靜壓1 MPa，需要工作壓力83 MPa，通過Y344-115型封隔器進(jìn)行壓裂作業(yè)。工具結(jié)構(gòu)如圖6所示，基本參數(shù)如表1。上、下膠筒初始彈性模量為9.14 MPa，中膠筒為5.30 MPa，膠筒泊松比均為0.5。計(jì)算封隔器膠筒變形情況。

圖6 壓縮式封隔器結(jié)構(gòu)

表1 Y344-115型封隔器幾何參數(shù) mm

利用上述膠筒變形理論進(jìn)行計(jì)算，在工作壓差為83 MPa時(shí)，三級(jí)膠筒總的壓縮量為62.63 mm，膠筒與套管的最大接觸壓力為88.99 MPa。每個(gè)膠筒的變形和接觸壓力如表2。

表2 每個(gè)膠筒變形計(jì)算結(jié)果

4 結(jié)論

1） 本文考慮油井靜壓和膠筒材料非線性、幾何非線性及雙重接觸非線性，在研究膠筒變形時(shí)采用微元法，利用載荷迭代方法求解三級(jí)膠筒各個(gè)階段的接觸壓力和壓縮量。

2） 封隔器膠筒變形理論公式不僅適用于單級(jí)膠筒變形，也適用于不同硬度和不同高度的多級(jí)膠筒組合變形分析。

3） 將膠筒變形分為3個(gè)階段，既詳細(xì)地描述了封隔器坐封過程，又解決了齊次非線性方程組無(wú)法解的難題。通過實(shí)例計(jì)算得出壓縮式封隔器在靜壓1 MPa和工作壓力83 MPa下膠筒的壓縮量和接觸壓力，為封隔器設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

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Multiple Nonlinear Mechanical Analysis of Compressed Packing Level 3 Rubber

DANG Li-ming，LIU Ju-bao，LI Zhi-miao，WANG Yan
（College of Mechanical Science and Engineering，Northeast Petroleum University，Daqing 163318，China）

Compressed packing r ubber is the sealing unit of the separate-fracturing.Considering different har dness r ubber barrel co mbination and its characteristics of material nonlinear，geo metry nonlinear and double contact nonlinear，the defor mation homogeneous nonlinear equations of t he packer by t he infinitesi mal met hod and t he basic t heor y of mechanics is built up.Def or mation of r ubber barrel is divided into three steps：free def or mation before the packer rubber contacted casing pipe，one-way and t wo-way restrained def or mation after t he packer r ubber contacted casing pipe.The contact pressure and compressed length of each step is calculated by load iterative method.It provide str ong theoretical basis f or selecting multilevel r ubber barrel and designing co mpressed packing.

co mpressed packing；r ubber barrel；nonlinear；contact pressure；co mpressed lengt h

TE931.202

A

1001-3482（2014）06-0005-06

2013-12-12

黨黎明（1988-），男，陜西合陽(yáng)縣人，碩士研究生，2011年畢業(yè)于東北石油大學(xué)，現(xiàn)從事非線性計(jì)算力學(xué)研究，E-mail：li mingxingguang＠126.co m。