定位坐標(biāo)分量依賴(lài)于衛(wèi)星高度角的靈敏度分析

岳 俊，何 冰

(1.北京大學(xué)地球與空間科學(xué)學(xué)院，北京100871;2.武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，湖北武漢430079)

一、引 言

在GPS外業(yè)測(cè)量中，經(jīng)常會(huì)遇到遮擋導(dǎo)致高度角變大的情況，影響測(cè)量精度，要減小高度角通常要付出一定成本。本文通過(guò)大量統(tǒng)計(jì)分析出對(duì)測(cè)量精度影響最大的截止高度角，測(cè)量時(shí)使遮擋產(chǎn)生的高度角小于此截止高度角通常會(huì)得到較大的效益。本文的結(jié)果將為GPS外業(yè)觀測(cè)計(jì)劃的制訂提供參考。

DOP值通常到了一定高度角就會(huì)產(chǎn)生顯著變化，但僅通過(guò)DOP值的數(shù)值變化并不能正常反映其依賴(lài)于衛(wèi)星截止高度角的靈敏度。本文提出了GPS不可用率并用其衡量DOP值的變化，對(duì)GPS不可用率進(jìn)行小波濾噪和曲線擬合，求出其對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，以此計(jì)算各個(gè)DOP值的靈敏度。同時(shí)本文通過(guò)大量的數(shù)據(jù)處理，建立了5種DOP值之間的統(tǒng)計(jì)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?/p>

二、DOP值依賴(lài)于衛(wèi)星截止高度角的變化規(guī)律

獲得高精度定位結(jié)果的重要因素是可視衛(wèi)星擁有良好的幾何圖形結(jié)構(gòu)，尤其是對(duì)單點(diǎn)定位和定態(tài)測(cè)量而言?？梢?jiàn)性是指衛(wèi)星和接收機(jī)之間的通視。由于衛(wèi)星和用戶(hù)間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星的空間幾何圖形結(jié)構(gòu)會(huì)隨時(shí)間而變化。瞬時(shí)衛(wèi)星幾何圖形一般采用精度衰減因子(dilution of precision，DOP)進(jìn)行評(píng)定［1］。

由于DOP值的計(jì)算依賴(lài)于衛(wèi)星高度角，當(dāng)截止衛(wèi)星高度角變化時(shí)，可見(jiàn)衛(wèi)星數(shù)和DOP值隨之發(fā)生變化，DOP值在單歷元依賴(lài)于衛(wèi)星高度角的變化情況如圖1所示。

圖1 單歷元DOP值隨衛(wèi)星截止高度角的變化

由圖1及DOP值計(jì)算方法可知，只有截止高度角處存在，衛(wèi)星DOP才會(huì)發(fā)生變化，因此對(duì)于單歷元，截止高度角-DOP值二維圖為階越型。為了得到DOP值隨著高度角變化的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，對(duì)單天96個(gè)歷元的DOP值按角度取平均，得到圖2。

由圖2可以分析出，由于DOP值的計(jì)算方法，DOP值會(huì)隨著衛(wèi)星截止高度角的增大而顯著增大，如果直接對(duì)DOP值進(jìn)行擬合，將難以得出符合實(shí)際的定位坐標(biāo)分量精度依賴(lài)于衛(wèi)星高度角的靈敏度，因此本文擬從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度得出衛(wèi)星高度角的靈敏度。對(duì)此，本文提出“GPS不可用率”這個(gè)概念。

圖2 96歷元平均DOP值隨衛(wèi)星截止高度角的變化

GPS衛(wèi)星可用性是指GPS系統(tǒng)的服務(wù)可以使用的時(shí)間的百分比，由文獻(xiàn)［2］分析得知，GPS可用性將取決于精度要求的嚴(yán)格程度，其分析認(rèn)為PDOP≤6為GPS可用性的門(mén)限。由此可得，對(duì)于單歷元必有唯一一個(gè)門(mén)限高度角。對(duì)于多個(gè)歷元，每一個(gè)高度角均對(duì)應(yīng)一個(gè)GPS可用歷元數(shù)，將GPS可用歷元數(shù)除以總歷元數(shù)定義為GPS可用率，將歷元數(shù)減GPS可用歷元數(shù)除以總歷元數(shù)定義為GPS不可用率。

GPS不可用率隨著衛(wèi)星高度角的增加而增大，最小值為0，最大值為1。GPS不可用率越高，表明定位精度越低。從中可以找到GPS衛(wèi)星可用率隨著衛(wèi)星截止高度角變化的靈敏度，并計(jì)算靈敏度最大值，在全球范圍內(nèi)得出靈敏度的置信區(qū)間。

由于文獻(xiàn)［2］僅給出了 GPS可用性選擇的PDOP門(mén)限值，對(duì)10周數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，構(gòu)建VDOP、HDOP、TDOP、GDOP與 PDOP的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系，以此求出 GPS 可用性選擇的 VDOP、HDOP、TDOP、GDOP門(mén)限值。

取截止高度角為40°，對(duì)10周共70天6720個(gè)歷元的數(shù)據(jù)進(jìn)行DOP值數(shù)據(jù)擬合。數(shù)據(jù)擬合如圖3所示。

圖3 DOP值數(shù)據(jù)擬合

由DOP值擬合曲線方程可以得知，PDOP值為6 時(shí)，HDOP、VDOP、TDOP、GDOP 分別為 2.394 5、5.492 7、4.601 1、7.561 4，滿(mǎn)足 DOP 值的基本關(guān)系方程。將這些值分別取為門(mén)限D(zhuǎn)OP值，由5個(gè)門(mén)限D(zhuǎn)OP值對(duì)應(yīng)的門(mén)限高度角所計(jì)算出來(lái)的GPS不可用率隨衛(wèi)星的變化如圖4所示。

由圖4可得，通過(guò)取5種DOP值的門(mén)限值計(jì)算出來(lái)的GPS不可用率幾乎相同，證明GPS不可用率的概念有其重要的價(jià)值，在單個(gè)DOP值計(jì)算中，如果截止高度角內(nèi)的衛(wèi)星數(shù)小于4則無(wú)法計(jì)算出來(lái)，通過(guò)計(jì)算GPS不可用率這個(gè)統(tǒng)計(jì)值可以得到GPS定位精度隨著高度角的變化值。

三、基于小波濾波和曲線擬合的靈敏度計(jì)算

在得到DOP值概率分布離散形式后，由于數(shù)據(jù)處理過(guò)程的不完善等因素，必然會(huì)存在高頻的噪聲，因此需要對(duì)采集到的離散的概率分布函數(shù)進(jìn)行濾波降噪。本文中采用小波變換的方式進(jìn)行去噪處理。

圖4 5種DOP值計(jì)算得出的GPS衛(wèi)星不可用率隨衛(wèi)星截止高度角的變化

在小波分析中，尺度函數(shù)φ(x)表示低頻整體部分，小波函數(shù)ψ(x)表示高頻細(xì)節(jié)部分，通常采用塔式Mallat算法進(jìn)行小波分解和重構(gòu)。設(shè)有離散信號(hào)，將其加載到尺度函數(shù)上得到，則 有 如 下 Mallat 算 法 卷 積 表達(dá)式［3］

式1表示小波分解，式2表示小波重構(gòu)。式中，cj-1表示分辨率2j-1上的近似信息;dj-1表示位于分辨率2j-1～2j之間的細(xì)節(jié)信息。

設(shè)長(zhǎng)度為N的信號(hào)fn被噪聲en污染，所測(cè)得的含噪數(shù)據(jù)為xn=fn+en。對(duì)含噪數(shù)據(jù)用Mallat算法進(jìn)行分解，得到低頻的整體部分和高頻的小波部分［4］。對(duì)高頻部分做閾值處理，閥值為

式中，μ為閾值;σ為估計(jì)的噪聲標(biāo)準(zhǔn)差。

分解與重構(gòu)結(jié)果如圖5、圖6所示(以GDOP為例)。

在經(jīng)過(guò)小波變換后，由于衛(wèi)星分布的不連續(xù)性等因素的影響，離散點(diǎn)陣的簡(jiǎn)單勾連所得到的曲線其變化仍然不是特別平滑，故需要對(duì)其進(jìn)行擬合。根據(jù)上述小波重構(gòu)得到的未擬合的概率分布函數(shù)可知，其在0—15°范圍內(nèi)不可用率為0，在50°以后不可用率累計(jì)保持為1。故在選擇最優(yōu)的擬合函數(shù)的時(shí)候除了需要考慮擬合函數(shù)與原函數(shù)殘差較小外，還需要保證擬合函數(shù)的微分函數(shù)在0—15°和50°以上函數(shù)值近似等于0。根據(jù)上述條件，結(jié)合實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)確定采用23階多項(xiàng)式模型擬合該概率分布函數(shù)為最佳。擬合后的概率分布函數(shù)及其概率密度函數(shù)如圖7、圖8所示。

圖5 小波分解

圖6 一維小波重構(gòu)

圖7 擬合后的概率分布函數(shù)

圖8 概率密度函數(shù)

四、基于DOP值概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)的靈敏度分析

所謂靈敏度是指定位坐標(biāo)分量的精度隨著衛(wèi)星高度角變化的變化率。而對(duì)定位坐標(biāo)分量的精度進(jìn)行衡量的指標(biāo)即為各類(lèi)值，故靈敏度可以理解為各類(lèi)DOP值相對(duì)于角度變化量的變化率。如前所述DOP值在不加限制條件的情況下，其值隨角度的增大而加速增大，以此計(jì)算出來(lái)的靈敏度也必將隨著角度增加而增大，在90°時(shí)達(dá)到最大。但是這并沒(méi)有現(xiàn)實(shí)的意義，因?yàn)橐话愀叨冉谴笥?0°時(shí)即無(wú)法進(jìn)行實(shí)際觀測(cè)。所以本文設(shè)定了DOP值的閾值，并以此為基礎(chǔ)統(tǒng)計(jì)不同高度角時(shí)DOP值超過(guò)閾值的百分比，即衛(wèi)星的不可用率。然后通過(guò)研究衛(wèi)星的不可用率隨角度變化的概率分布函數(shù)及其概率密度函數(shù)，來(lái)間接確定衛(wèi)星靈敏度隨角度變化的規(guī)律。

根據(jù)上述在WUHN站以GDOP值計(jì)算所構(gòu)建的擬合后的概率分布函數(shù)圖像和概率密度函數(shù)可知:衛(wèi)星在0—15°范圍內(nèi)全部可用，在50°以上完全不可用，故靈敏度均為0，對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)在該范圍內(nèi)也應(yīng)趨近于0。在15—50°的范圍內(nèi)根據(jù)概率分布函數(shù)可知，衛(wèi)星的不可用率顯著增加，并在50°附近達(dá)到100%，根據(jù)概率密度函數(shù)可知衛(wèi)星不可用率的增長(zhǎng)率先增大后減小，在36.5°附近達(dá)到最大，故可認(rèn)為GDOP值所對(duì)應(yīng)的靈敏度在15°—50°的范圍內(nèi)先增大后減小，在36.5°附近最大。

通過(guò)上述分析可知在15°左右時(shí)開(kāi)始出現(xiàn)不可用衛(wèi)星，在36.5°左右定位坐標(biāo)的整體精度(對(duì)應(yīng)GDOP值)依賴(lài)于衛(wèi)星高度角的靈敏度達(dá)到最大。所以在實(shí)際的工程應(yīng)用中可以根據(jù)實(shí)際的觀測(cè)條件和精度要求，設(shè)定不同的衛(wèi)星高度角。根據(jù)上述結(jié)論，在要求整體精度最優(yōu)的情況下，如果受到條件的限制而不能以0—15°范圍內(nèi)的高度角進(jìn)行觀測(cè)，接收機(jī)觀測(cè)的截止高度角最大不應(yīng)超過(guò)36.5°。

對(duì)全球8個(gè)IGS站應(yīng)用上述模型，求出8個(gè)測(cè)站DOP值靈敏度最大值對(duì)應(yīng)高度角，其結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 全球多個(gè)測(cè)站的靈敏度最大值對(duì)應(yīng)高度角(°)

由表1可知，各個(gè)站所定位坐標(biāo)分量靈敏度最大值所對(duì)應(yīng)的高度角有一定區(qū)別，但是基本上在30°以上。通過(guò)本文所建立的模型，輸入測(cè)站對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)即可計(jì)算出其靈敏度最大的高度角。在GPS外業(yè)測(cè)量時(shí)，如果衛(wèi)星截止高度角高于30°，則測(cè)量誤差會(huì)顯著增大。測(cè)量時(shí)遇到遮擋應(yīng)盡量使遮擋后產(chǎn)生的高度角低于30°，將會(huì)獲得比較大的效益。

五、結(jié)束語(yǔ)

本文主要進(jìn)行了定位坐標(biāo)分量依賴(lài)于衛(wèi)星高度角的靈敏度分析，提出了全角度區(qū)間衡量DOP值的統(tǒng)計(jì)的指標(biāo)“GPS不可用率”，建立了5種DOP值之間的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系模型，并通過(guò)小波濾波、曲線擬合等方法成功獲得GPS不可用率隨截止高度角的變化及其概率密度函數(shù)，以此獲得了定位精度靈敏度最大時(shí)所對(duì)應(yīng)的截止高度角，并提出了GPS觀測(cè)時(shí)的注意事項(xiàng)，可為GPS外業(yè)觀測(cè)計(jì)劃的制訂提供參考。同時(shí)對(duì)比了多個(gè)IGS站應(yīng)用該模型的結(jié)果，可知影響模型結(jié)果的因素與測(cè)站地理位置、衛(wèi)星軌道整體布局的相對(duì)位置有關(guān)，這將作為后續(xù)研究的重點(diǎn)。

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