王華閣
(新鄉(xiāng)醫(yī)學(xué)院 基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)院,河南 新鄉(xiāng) 453003)
在《復(fù)變函數(shù)與積分變換》教材中,在復(fù)變函數(shù)這部分內(nèi)容中,定積分的計(jì)算方法多種多樣,我們可以針對(duì)具體的定積分題型,選擇合適的積分方法。 在這里,我們針對(duì)每種積分類型的特點(diǎn),通過(guò)相應(yīng)的例題,給出具體的解法。
對(duì)于積分曲線C 為不封閉曲線的定積分,可以考慮參數(shù)方程法進(jìn)行計(jì)算。 用參數(shù)方程法計(jì)算定積分可以根據(jù)不同情況由兩種方法進(jìn)行計(jì)算。
由z=x+iy,f(z)=u(x,y)+iv(x,y),可得
解:設(shè)f(z)=z2=(x2-y2)+2ixy,u=x2-y2,v=2xy。
設(shè)曲線C1的參數(shù)方程為
對(duì)于例1,我們可以化為參變量的定積分,按照這種方法進(jìn)行計(jì)算。
解:設(shè)曲線C1的參數(shù)方程為
從而,
設(shè)C 是一條簡(jiǎn)單正向閉曲線,f(z)在以C 為邊界的有界閉區(qū)域D 上解析,則
設(shè)D 為由外線路C0和內(nèi)線路C0,C1,C2,…,Cn圍成的多連通 區(qū) 域,f(z)在D 內(nèi)及邊界曲線C0,C1,C2,…,Cn上解析,則這里C 為多連通區(qū)域D 的所有正向邊界,方向?yàn)镃0取逆時(shí)針?lè)较颍琧k(k=1,2,L,n)取順時(shí)針?lè)较颉?/p>
例3:C 為矩形區(qū)域0≤x≤3,0≤y≤2 的正向邊界, 證明:
證明:在矩形區(qū)域里做正向圓周R:z-(2+i)=reiθ(θ:2π→0),則在圖中的復(fù)連通區(qū)域內(nèi)解析,從而根據(jù)柯西定理的推論有:
定理3:設(shè)f(z)在簡(jiǎn)單正向閉曲線C 及所圍區(qū)域D 內(nèi)處解析,z0為D 內(nèi)任一點(diǎn),則我們把這個(gè)公式稱為柯西積分公式。
定理3 說(shuō)明f(z0)可由函數(shù)在C 上的積分來(lái)確定,但實(shí)際上,我們通常把這個(gè)公式進(jìn)行變形,可以用這個(gè)公式來(lái)計(jì)算積分
用柯西積分公式進(jìn)行計(jì)算時(shí), 先對(duì)曲線C 的解析性做判斷,然后按照下列步驟進(jìn)行:首先注意C 應(yīng)該為正向閉曲線,若f(z)在C 所圍的區(qū)域里解析,則根據(jù)柯西定理,若f(z)在C 所圍的區(qū)域里不解析,再分以下兩種情況:
(1)當(dāng)f(z)有一個(gè)不解析點(diǎn)z0時(shí),考慮能否把f(z)化成,其中g(shù)(z)在C 內(nèi)解析,則由柯西積分公式可得,
(2)當(dāng)f(z)有n 個(gè)不解析點(diǎn)時(shí),做以不解析點(diǎn)為圓心的正向圓周C1,…,Cn,半徑足夠小,則由柯西定理的推論,
解:當(dāng)C 為|z-2|=1 時(shí),
定理4:設(shè)f(z)在簡(jiǎn)單正向閉曲線C 及其所圍區(qū)域D 內(nèi)處解析,z0為D 內(nèi)任一點(diǎn), 則0,1,2…)
解:因?yàn)閏osπz 在復(fù)平面上處處解析,所以由定理4,
定理5(留數(shù)定理):設(shè)D 是復(fù)平面上的一個(gè)有界閉區(qū)域,若f(z)在D 內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)z1,z2,…,zn外處處解析,且它在D的邊界C 上也解析,則
利用留數(shù)定理計(jì)算定積分的步驟:
(1)找出C 所圍區(qū)域內(nèi)f(z)的所有孤立奇點(diǎn),設(shè)為z1,z2,…,zn。
(2)對(duì)每個(gè)孤立奇點(diǎn)zi,分別求Res(f,zi)。
(3)利用留數(shù)定理求定積分:
[1]蘇變萍,陳東立.復(fù)變函數(shù)與積分變換[M].北京:高等教育出版社,2010.
[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2007.
[3]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].北京:高等教育出版社,1988.