盧方芳
(湖北文理學院 數(shù)計學院,湖北 襄陽 441053)
理工科專業(yè)均開設概率與統(tǒng)計作為公共必修課,要求是掌握關(guān)于原理的證明還有模型的構(gòu)造過程。 根據(jù)二類本科院校的實際情況, 應該進行適當?shù)膽眯越虒W, 而不是按照原來的要求,掌握邏輯證明過程。
在完成概率論部分及統(tǒng)計基本概念的教學后,就進入?yún)?shù)估計。在本校使用的教材中主要是點估計和區(qū)間估計兩種,中間還有點估計的評判標準[1]。 點估計一般課本中介紹兩種方法:矩估計和極大似然估計。 這兩種方法需要進行積分、級數(shù)和求導,Excel 不能解決這類問題,所以這部分仍然需要運用高等數(shù)學的知識進行理解和解答。本文主要是利用Excel 中的函數(shù)簡化區(qū)間估計的計算過程。
正態(tài)總體有兩個參數(shù),均值μ 和方差σ2。
總體X~N(μ,σ2),均值的估計有兩種情況,(1)σ2已知,均值μ 置信度1-α 的置信區(qū)間為σ2未知,均值μ 置信度1-α 的置信區(qū)間為其中為樣本均值,s 為樣本標準差,n 為樣本容量為標準正態(tài)分布的分位數(shù)為自由度為n-1 的T 分布的分位數(shù)。
來自正態(tài)總體的樣本為x1,x2,…xn在數(shù)理統(tǒng)計的基本概念中關(guān)于樣本均值、 樣本方差的計算還有分位數(shù)的查找都已進行了說明,但是如果樣本容量較大的話計算比較麻煩。 在理解原理的基礎上,利用軟件計算可以簡化過程,減少學生學習的抵觸情緒。
大部分實際情況下σ2都是未知的,主要介紹這部分。
例:設某種磚頭的抗壓強度X~N(μ,σ2),今隨機抽取20 塊磚頭,測得數(shù)據(jù)(單位:kg·cm-2)如下:64,69,49,92,55,97,41,84,88,99,84,66,100,98,72,74,87,84,48,81。 求μ 置信度為的95%置信區(qū)間,α=0.05。
分析:首先需要計算樣本均值xˉ和樣本標準差s,在Excel 中輸入20 個數(shù)據(jù),利用統(tǒng)計函數(shù)AVERAGE,STDEV[2]計算出xˉ=76.6,s=18.14 097。 然后根據(jù)函數(shù)TINV(α,n-1)得出本題的分位數(shù)t0.025(19)=2.093 024,再就是按照區(qū)間估計的公式計算相應的結(jié)果。 利用計算公式76.6-2.093 024*18.140 97/SQRT(20),算出置信區(qū)間的下限為68.109 77, 將上面公式里的減號改成加號得到上限85.090 23, 所以μ 置信度為95%的置信區(qū)間是(68.11,85.09)。
如果是σ2已知的情況,就不用計算樣本標準差,使用標準正態(tài)分布的分位數(shù),使用的函數(shù)為NORMSINV(α/2)。 當樣本容量大于46 時,T 分布近似于標準正態(tài)分布,也就是說這個時候公式里的T 分布分位數(shù)由標準正態(tài)分布的分位數(shù)代替。
總體X~N(μ,σ2),對于方差σ2的估計,一般理工科課本都只涉及到μ 未知的情況,已知方差σ2置信度1-α 的置信區(qū)間為其中分別是自由度為n-1 的χ2分布的分位數(shù)。
使用1 中例題的數(shù)據(jù),計算σ2置信度為95%的置信區(qū)間,α=0.05。
分析:按照公式,需要計算樣本方差,也就是樣本標準差的平方,這部分已經(jīng)計算得s2=329.094 7。 再就是需要χ2分布的兩個分位數(shù),利用函數(shù)CHIINV(,自 由 度),得 出(19)=32.852 33,χ20.975(19)=8.906 517。再利用計算公式得出置信區(qū)間下限190.330 5,上限702.047 8,所以σ2置信度為95%的置信區(qū)間是(190.330 5,702.047 8)。 如果是要σ 的置信區(qū)間,只需要將上限下限開方就可以。
統(tǒng)計學部分的公式其實比較容易理解,但是通常計算起來比較麻煩,利用軟件計算,可以簡化過程,省掉大量的計算時間,那么就可以在課堂上增加更多的知識點, 或者給出更為實際的例題給學生練習,提高學生的學習興趣。 數(shù)理統(tǒng)計對大部分的理工科專業(yè)來說是一種工具,如果學習過于枯燥,會降低學生學習的積極性,這樣也不利于后面知識的掌握。 課堂中使用Excel 教學,也可以提高學生的應用能力。 對于數(shù)學專業(yè)的學生,需要學習的內(nèi)容會更多,計算量也會更大,使用軟件同樣可以提高學習的效率,而不會使他們覺得統(tǒng)計學就是不停地簡單計算,一點實用性都沒有。
[1]韓旭里,謝永欽.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].復旦大學出版社,2010.
[2]李朋編.Excel 統(tǒng)計分析實例精講[M].科學出版社,2006.