嚴建鋼 楊士鋒

(海軍航空工程學院，山東 煙臺264001)

1 引言

戰(zhàn)斗是具有主觀能動性的雙方之間進行的對抗。為了取得優(yōu)勢并利用優(yōu)勢取得勝利，戰(zhàn)斗雙方總是力圖采取一些對方預料之外的策略。正因為如此，在戰(zhàn)斗中，并不是所有的情況都可以預料得到:有些情況預料到了但沒有發(fā)生，有些情況沒有預料到卻發(fā)生了。預備隊就是為了應付這些意外情況而專門組建的預備力量，對于預備隊的運用是作戰(zhàn)決策迫切需要研究與解決的問題。

目前，關于預備隊預留問題的把握，主要是根據(jù)我軍豐富的作戰(zhàn)經(jīng)驗，按照總兵力的一定比例進行掌握與控制［1］。這種方法處理問題簡單，宏觀性強，對指導我軍作戰(zhàn)確實起到了很大的作用。但是，在敵方兵力變化或在己方兵力緊張的情況下，這種按一定比例預留的原則是否還適用呢?本文針對這個問題，根據(jù)蘭徹斯特方程、作戰(zhàn)理論以及運籌學原理，提出了戰(zhàn)爭(戰(zhàn)斗)預備隊力量使用最佳方案的概念，并建立了預備隊最佳預留模型，解決了在有限資源的情況下合理使用戰(zhàn)爭(戰(zhàn)斗)各種力量的問題，使有限的資源發(fā)揮最大的效益。

2 留預備隊思想的數(shù)理剖析

本文以一個實際的數(shù)值例子，用多戰(zhàn)場的蘭徹斯特方程來說明留預備隊的策略是一種好的策略［2，3］。

2.1 問題描述

假定甲、乙雙方發(fā)生一場戰(zhàn)斗，乙方擬向甲方進攻，可能的戰(zhàn)場有三個:主要進攻方向1，也即主要防御方向1;次要進攻方向2，也即次要防御方向2;甲方的大本營3。在大本營處交戰(zhàn)有利于乙方進攻而不利于甲方堅守，所以乙方只要在主要進攻方向1 或次要進攻方向2 上有一處突破，就可長驅直入進攻甲方的大本營3，而甲方則要分兵把守主要防御方向1 與次要防御方向2，使其不能突破防線，一旦發(fā)現(xiàn)有一處吃緊，就可將留在大本營的預備隊派往該處防守?，F(xiàn)在進一步假定雙方都為單兵種作戰(zhàn)，乙方集中全部初始兵力于主要進攻方向1 或者次要進攻方向2，在另一個方向的佯攻或牽制等部隊不明顯地反映在模型中。事先甲方并不知道乙方的企圖究竟是在哪一個方向進攻，甲方初始兵力x0中分x10于主要防御方向1，x20于次要防御方向2，留x30= x0-x10-x20于大本營。一旦發(fā)現(xiàn)乙方向主要進攻方向1 攻擊時，甲方就將預備隊x30全部派往方向1，在T1時間后即可到位作戰(zhàn);一旦發(fā)現(xiàn)乙方向次要進攻方向2 攻擊時，甲方就將預備隊x30全部派往方向2，在T2時間內即可到位作戰(zhàn)。大本營的直接保衛(wèi)、警戒部隊等另行留出，也不明顯地反映在模型中。已經(jīng)部署到次要防御方向2 的部隊x20由于種種原因，不能增援方向1。同樣已經(jīng)部署到主要防御方向1 上的部隊也不能增援方向2。

如果取x30=0，就是不留預備隊;如果取x10=x20=0，就是固守大本營，不在主要防御方向1 與次要防御方向2 部署防御力量。這兩種極端情況可以作為一般情況的對比，現(xiàn)在的問題是如何分配x10、x20與x30，使甲方在抗擊乙方進攻時效果更好。

2.2 蘭徹斯特建模分析

進一步假定在三個不同戰(zhàn)場交戰(zhàn)的蘭徹斯特方程如下:

初始兵力x0=10000，y0=12000，T1= T2=

ln1.25。

例子中所有參數(shù)的選擇，特別是戰(zhàn)場1 與戰(zhàn)場2 參數(shù)的一致性，都是為了說明問題與討論方便起見精心選取的，但其結論仍不失普遍性?，F(xiàn)討論以下三種方案。

2.2.1 方案1

甲方不留預備隊，即取x10= x20=5000，x30=0。

假定乙方集中全力從主要方向1 進攻，則在戰(zhàn)場1 的蘭徹斯特方程的解為:

在這種部署下，甲方不能有效抵抗乙方的進攻，可以證明，該方案下甲方最多能有效抵抗乙方初始兵力y0=10000 的進攻。

2.2.2 方案2

甲方全部留在大本營，即取x10= x20=0，x30=10000。

這時乙方可輕易通過戰(zhàn)場1、2 中任意一個方向進攻，直接到甲方大本營決戰(zhàn)，此時在戰(zhàn)場3 的蘭徹斯特方程的解為:

甲方對兵力適當配置，取x10= x20=3000，x30=4000。

假定乙方將全部兵力用于戰(zhàn)場1，則開始時戰(zhàn)場1 的蘭徹斯特方程的解為:

戰(zhàn)斗開始后，甲方知道戰(zhàn)場1 吃緊就將全部預備隊x30派往戰(zhàn)場1，經(jīng)時間T1=ln1.25 后到達戰(zhàn)場1。在預備隊到達前的瞬間:

當預備隊到達后，甲方實力變?yōu)?

乙方實力不變。從T1時刻起算，戰(zhàn)場1 處的蘭徹斯特方程的解為:

顯然這時乙方不能突破主攻方向，甲方有效地抵抗了乙方的進攻。這種情況下，若乙方在主要進攻方向1 與次要進攻方向2 上分兵進攻顯然效果更差。

對以上三種作戰(zhàn)部署方案的分析說明，無論是傾巢分兵把守還是全部留守，都不能抵御敵方的進攻，只有適當留預備隊才是克敵制勝之道。這一結論與軍事常識中留預備隊的戰(zhàn)術是一致的［4-6］。

3 預備隊投入時的作戰(zhàn)模型

為了說明預備隊的使用對作戰(zhàn)勝負的關鍵作用，盡量減少雙方戰(zhàn)術優(yōu)劣等其他因素對作戰(zhàn)的影響，可將雙方兵力都看作一個整體，使用單兵種作戰(zhàn)的蘭徹斯特方程。假設甲、乙雙方交戰(zhàn)，甲方投入兵力的初始值為x0，且一次性投入戰(zhàn)斗;乙方共有兵力為y0，且分期分批投入，這就是一個預留預備隊的問題。針對這一特點，下面討論一方留有預備隊的作戰(zhàn)模型。

設乙方留有一部分預備隊兵力，在一定時間T內，按一定補充速度K投入戰(zhàn)斗，其他條件不變，那么雙方的作戰(zhàn)模型為:

這時乙方兵力的初始條件y00為:總的投入兵力y0與在此模型下作戰(zhàn)時間T內補充兵力K·T之差。即:

定理1:設甲、乙雙方作戰(zhàn)，甲方全力展開攻擊乙方，乙方留取一定的兵力作為預備隊，逐次展開增援，雙方的初始實力為x(0)= x0，y(0)= y00=y0-K·T，則留預備隊的作戰(zhàn)模型(1)有唯一解為:

［7］中定理3.1，可得到式(3)。

設:

則由式(1)得:

變形為:

式(4)在形式上與參考文獻［7］中定理3.1 完全相同，從參考文獻［7］的定理3.2 知，甲方要取得勝利，必須是使

成立，而留預備隊作戰(zhàn)模型，甲方獲勝條件是:

即:

將式(2)代入得:

將參考文獻［8］中3.6 代入得:

設:

再設:

式(9)說明在乙方留有預備隊逐次展開增援的情況下，甲方獲勝的條件發(fā)生了變化，這是一個重要的發(fā)現(xiàn)，對研究是否留預備隊以及怎樣留提供了依據(jù)。

4 預備隊預留的最佳模型

式(9)與式(5)相比，差別在于不等式右邊反映乙方實力的數(shù)值發(fā)生了變化，說明了留不留預備隊確實影響雙方作戰(zhàn)實力的表現(xiàn)程度，從而影響作戰(zhàn)進程與結果，這是一個重要的作戰(zhàn)決策問題。

對式(7)進一步分析可以得出許多有價值的信息。式(9)與式(5)相比的變化項是:

式(10)中，K與a分別是乙方預備隊的增援速度、甲方攻擊乙方的威力系數(shù)，它們都是大于0 的參數(shù)，那么式(10)的符號就取決于B的取值情況。

當B ＜1 時，式(10)始終是一個大于0 的數(shù)，說明乙方總的作戰(zhàn)實力是增加了，按照這種方式預留預備隊是一種好的策略。

當B ＞1 時，式(10)始終是一個小于0 的數(shù)，說明乙方總的作戰(zhàn)實力是減小了，按照這種方式預留預備隊是一種壞的策略，不但沒有增加實力，反而減小己方的作戰(zhàn)能力，把可能到手的勝利拱手讓給了對方，得不償失。

當B =1 時，式(10)始終為0，雙方的實力都沒有發(fā)生變化，這種預留預備隊的方案是好是壞，不能籠統(tǒng)地下結論，必須根據(jù)具體情況加以分析。

從以上三種情況分析可以看出，B值全面反映了留預備隊可能出現(xiàn)的各種情況，下面根據(jù)式(8)，分析各種預留預備隊方案的利與弊。

從式(8)中可以看出B值的取值情況又取決于R值，而R值取決于式(7)，即:

定義1:甲、乙雙方按照單兵種對單兵種交戰(zhàn)，雙方的殺傷系數(shù)為a、b，雙方初始投入兵力為x0、y0，稱R為交戰(zhàn)雙方實力差強度函數(shù)。當＞0 時，稱R為正強度函數(shù);當時，稱R為負強度函數(shù);當時，稱R為無差別度函數(shù)。

實力差強度函數(shù)R的大小直接反映B的取值情況，根據(jù)式(8)看出B值隨R函數(shù)呈自然對數(shù)規(guī)律變化，可以通過調整R值的大小，來調整B值的大小。

定義2:甲、乙雙方交戰(zhàn)，一方全力以赴展開兵力交戰(zhàn)，一方按照一定的預留兵力持續(xù)展開進行交戰(zhàn)，由實力差強度函數(shù)R確定的B，我們稱為預備隊預留值比較函數(shù)，由此確定的模型(9)稱為預備隊預留判斷模型。

通過對預備隊預留判斷模型(9)的分析，可以得到在一定的作戰(zhàn)態(tài)勢下是否留預備隊，留多少。如不具備條件，是否調整兵力投入，預留一定數(shù)量的預備隊，達到最佳作戰(zhàn)效果。下面用定理的形式給出。

定理2:設甲、乙雙方作戰(zhàn)，甲方全力展開攻擊乙方，乙方留取一定的兵力作為預備隊，逐次展開增援，雙方的初始實力為x(0)= x0，y(0)= y00=y0-K·T，則當時，可以預留一部分兵力為預備隊，其預留兵力yl為:

式(12)中K可以根據(jù)作戰(zhàn)的實際需要，由指揮員確定。當B =ln ■R ＞1 時，不宜留預備隊，如特別需要留有一部分預備隊，則通過調整兵力的投入y0，使yl達到:

當B =ln ■R =1 時，可以根據(jù)戰(zhàn)場的實際情況確定留不留預備隊和預留預備隊的具體方案。

定理2 說明了一個非常重要的戰(zhàn)術思想，在兵力一定的情況下留不留預備隊主要取決于交戰(zhàn)雙方實力差強度函數(shù)R。R值較大時，說明戰(zhàn)場上力量弱的一方承受壓力較大，如果這時再分配一定比例的兵力留作預備隊，勢必加大己方戰(zhàn)場上的壓力，預備隊預留值比較函數(shù)B增加，總體上削弱己方總的作戰(zhàn)能力，影響全局作戰(zhàn)的效果。只有在強度函數(shù)R值較小時，說明戰(zhàn)場上力量弱的一方承受壓力較小，如果這時分配一定比例的兵力留作預備隊持續(xù)展開攻擊對方，預備隊預留值比較函數(shù)B減少，總體上增加己方總的作戰(zhàn)能力，可以使作戰(zhàn)資源的能力充分發(fā)揮出來，取得最佳的作戰(zhàn)效果。

5 結論

利用比較函數(shù)B確定預備隊預留的策略，不但考慮了己方兵力的情況，而且還考慮了敵方的兵力情況，將敵我雙方的兵力綜合起來進行定量考慮，使預備隊的預留兵力建立在科學分析計算的基礎上，做到了定性與定量、經(jīng)驗與理論相結合。本文中比較函數(shù)B的推導是建立在蘭徹斯特“平方率”方程基礎上，如果能夠建立信息化條件下的蘭徹斯特方程，比較函數(shù)B也適用于信息化條件下預備隊預留方案的制定。

參考文獻

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