黃遠(yuǎn)燦，陳冬方

(北京理工大學(xué)機(jī)電學(xué)院，北京100081)

0 引言

在空間飛行器軌道轉(zhuǎn)移任務(wù)中，飛行器受到導(dǎo)航誤差、軌道攝動(dòng)、推力誤差、入軌狀態(tài)誤差等各種誤差因素的影響，將會(huì)偏離設(shè)計(jì)軌道，無(wú)法準(zhǔn)確地按照設(shè)定的軌道達(dá)到目標(biāo)位置。尤其在遠(yuǎn)距離轉(zhuǎn)移時(shí)，必須在軌道轉(zhuǎn)移機(jī)動(dòng)過(guò)程中進(jìn)行中途多次修正，從而使飛行器準(zhǔn)確到達(dá)目標(biāo)范圍。為了防止飛行器最終軌跡偏離目標(biāo)點(diǎn)太大，在飛行過(guò)程中要求實(shí)際軌跡逼近目標(biāo)軌跡，但因飛行器攜帶燃料質(zhì)量有限(即軌道機(jī)動(dòng)能力有限)，所以軌道修正需要結(jié)合燃料和狀態(tài)誤差問(wèn)題，進(jìn)行綜合優(yōu)化控制。

針對(duì)軌道轉(zhuǎn)移或攔截的優(yōu)化控制問(wèn)題，一些國(guó)內(nèi)外學(xué)者已進(jìn)行了相關(guān)研究［1-7］。所應(yīng)用的優(yōu)化方法一般根據(jù)飛行器推進(jìn)方式進(jìn)行設(shè)計(jì)。一種為大推力脈沖控制，另一種為有限推力或小推力的連續(xù)型推進(jìn)方式。文獻(xiàn)［1］中設(shè)計(jì)了一種受限的二次型優(yōu)化脈沖控制，其方法主要以最小能量的指標(biāo)優(yōu)化控制軌道交會(huì)。文獻(xiàn)［2］將優(yōu)化能量的脈沖控制用于軌道攔截中。針對(duì)固定時(shí)間的軌道中段攔截問(wèn)題，文獻(xiàn)［3］設(shè)計(jì)了一種連續(xù)的二次型調(diào)節(jié)器優(yōu)化控制。針對(duì)深空軌道小推力優(yōu)化設(shè)計(jì)，文獻(xiàn)［6］給出了基于偽光譜方法的有限推力軌道轉(zhuǎn)移優(yōu)化設(shè)計(jì)。上述文獻(xiàn)優(yōu)化控制指標(biāo)主要是針對(duì)能量最小化，但未對(duì)軌跡誤差指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化。如果在飛行任務(wù)中，對(duì)飛行軌道進(jìn)行適當(dāng)?shù)男拚罱K能減小飛行器與終端目標(biāo)的偏差。故對(duì)軌跡誤差的優(yōu)化控制，是值得繼續(xù)探討的問(wèn)題，本文主要考慮以大推力脈沖推進(jìn)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化控制。文獻(xiàn)［8］提出了一種固定時(shí)間間隔的二次型脈沖控制策略，其發(fā)展了離散二次型優(yōu)化方法設(shè)計(jì)調(diào)節(jié)器，簡(jiǎn)化控制器計(jì)算，使得工程應(yīng)用化加強(qiáng)。因此本文利用該方法進(jìn)行了軌道轉(zhuǎn)移優(yōu)化策略設(shè)計(jì)。

對(duì)于空間飛行器控制模型選擇，主要有用于近圓軌道交會(huì)控制的CW(Clohessy-Wiltshire)模型［9］;用于橢圓軌道交會(huì)攔截控制的TH(Tschauner-Hempel)模型［10］。本文考慮地球非球形攝動(dòng)因素的影響，基于攝動(dòng)方法建立線性控制模型，通過(guò)控制使得跟蹤軌跡更接近于目標(biāo)軌跡。為方便計(jì)算，同時(shí)對(duì)控制模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化。

為此，本文通過(guò)分析軌道轉(zhuǎn)移中各種誤差因素，利用攝動(dòng)法建立控制模型，考慮地球非球形攝動(dòng)因素建立目標(biāo)軌跡。然后綜合控制輸入和最小化狀態(tài)誤差的優(yōu)化指標(biāo)，采用固定時(shí)間間隔的線性二次型離散脈沖優(yōu)化控制方法。最后，針對(duì)空間兩點(diǎn)位置的軌道轉(zhuǎn)移任務(wù)，仿真驗(yàn)證了方法的有效性。

1 軌道轉(zhuǎn)移控制模型

1.1 問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

在空間飛行器軌道轉(zhuǎn)移運(yùn)行中，如果考慮轉(zhuǎn)移時(shí)間固定，則空間兩點(diǎn)之間存在一條飛行軌道。僅考慮空間飛行器與地球之間的運(yùn)動(dòng)，那么可以簡(jiǎn)化為二體問(wèn)題模型，但實(shí)際運(yùn)行中飛行器受外部多種攝動(dòng)因素的影響，其中主要有地球非球形攝動(dòng)、日月引力、大氣阻力、太陽(yáng)光壓的影響。根據(jù)Cowell的攝動(dòng)力公式［11］，系統(tǒng)方程如下:

式中:anon為地球非球形攝動(dòng);a3SL為日月引力攝動(dòng);aAD為大氣阻力;aSR為太陽(yáng)光壓;aoth為其他影響因素。

與此同時(shí)，從現(xiàn)有的工程經(jīng)驗(yàn)可知，為了達(dá)到較好的控制目標(biāo)，空間飛行器在實(shí)際飛行中還需要考慮飛行器自身的一些影響因素。如自身導(dǎo)航測(cè)量誤差、姿態(tài)控制發(fā)動(dòng)機(jī)、軌道控制發(fā)動(dòng)機(jī)的攝動(dòng)、入軌狀態(tài)誤差等各種誤差。通常將這類誤差分為兩種:一種為常值偏差或量測(cè)值偏差，如慣導(dǎo)量測(cè)偏差;另一種為基于白噪聲的隨機(jī)干擾，如飛行器工作時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)的開(kāi)關(guān)機(jī)擾動(dòng)等。所以實(shí)際計(jì)算模型如下:

式中:athr為發(fā)動(dòng)機(jī)干擾;ab為量測(cè)偏差;aON為其他噪聲干擾。

對(duì)于部分已知的攝動(dòng)(如地球非球形攝動(dòng)等)，在計(jì)算目標(biāo)軌道時(shí)，可考慮列入目標(biāo)實(shí)際軌道求解，得出一條較為精確的目標(biāo)軌道。

對(duì)于控制方式，本文采用脈沖控制方式，即大推力脈沖式機(jī)動(dòng)轉(zhuǎn)移。發(fā)動(dòng)機(jī)在非常短暫的時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生大推力，使空間飛行器獲得脈沖速度。

式中:r(t)，r(t+τ)分別為脈沖控制前、后的位置;v(t)，v(t+τ)分別為控制前、后的速度;Δv為速度變化量的大小。

1.2 控制系統(tǒng)模型

為方便控制策略的應(yīng)用，本文采用了線性控制模型?？紤]軌道轉(zhuǎn)移的一般性，參照文獻(xiàn)［12］的攝動(dòng)制導(dǎo)方法，建立控制模型方程。

依據(jù)二體問(wèn)題模型，建立慣性地心坐標(biāo)系［13］，系統(tǒng)模型方程如下:

假定以實(shí)際軌跡與目標(biāo)軌跡的狀態(tài)之差作為控制狀態(tài)變量，有:

其中:

式中:r，v為實(shí)際位置和實(shí)際速度;ro，vo為目標(biāo)位置和目標(biāo)速度。

從上式線性化可得，系統(tǒng)方程可寫為如下形式:

其中:

考慮到f1～f6＜2×10－6，隨距離地心越遠(yuǎn)系數(shù)變得越小。將A陣簡(jiǎn)化為:

控制輸入u(t)為:

從而得到本文中的線性控制系統(tǒng)方程式(6)。

2 脈沖優(yōu)化控制方法

根據(jù)線性脈沖控制系統(tǒng)理論［14］可知，本文考慮如下類型的脈沖線性系統(tǒng):

式中:k=1，…，N;A為n×n陣;Bδ為n×m陣;σ為脈沖時(shí)間間隔。

在本系統(tǒng)中，假定采樣間隔時(shí)間為σ，因此將式(9)離散化可得:

根據(jù)優(yōu)化性能指標(biāo)，該優(yōu)化問(wèn)題可以看作線性調(diào)節(jié)器問(wèn)題?？紤]狀態(tài)參數(shù)和控制參數(shù)的最優(yōu)值函數(shù)定義如下:

簡(jiǎn)化得:

假設(shè)(A，Bδ)穩(wěn)定，且(A，Q)可測(cè)，則離散時(shí)間的調(diào)節(jié)器為:

其中:

根據(jù)終端條件可得:

故求得最優(yōu)反饋控制率為:

3 目標(biāo)轉(zhuǎn)移軌道確定

如果基于二體理論假設(shè)，忽略攝動(dòng)影響，在固定時(shí)間內(nèi)的轉(zhuǎn)移，則可以用Lambert方法求解目標(biāo)軌道。而實(shí)際上因?yàn)閿z動(dòng)因素的存在，會(huì)造成與目標(biāo)軌道的偏移。為了減少實(shí)際轉(zhuǎn)移軌道與目標(biāo)軌道的偏差控制，減少飛行中控制燃料的消耗，需要對(duì)目標(biāo)軌道進(jìn)行較為精確的定軌。

分析各項(xiàng)攝動(dòng)力的影響，在空間中高空軌道上攝動(dòng)影響因素最大的為地球非球形攝動(dòng)力。目標(biāo)軌道定軌則可以根據(jù)軌道的攝動(dòng)因素精確分析軌道的受力情況，進(jìn)而求得軌道的飛行軌跡。

求解方法為:已知空間兩點(diǎn)的位置和軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間，則該問(wèn)題為非線性方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題求解?？紤]地球非球形攝動(dòng)J2項(xiàng)的影響，使用打靶法，設(shè)置給定誤差限制|r*－ro|＜ε，ε＞0，通過(guò) Lambert算法解出初值和末端值。以該初值作為飛行軌道的初值進(jìn)行數(shù)值迭代求解，從而獲得較為精確的目標(biāo)參考軌跡。如要求更高的目標(biāo)軌跡的精度，可根據(jù)實(shí)際工程需求，考慮多種攝動(dòng)的影響因素，進(jìn)行精確定軌。

4 數(shù)值仿真

本仿真以式(2)為模型，考慮系統(tǒng)中各種誤差、攝動(dòng)因素的影響，驗(yàn)證脈沖控制策略的正確和有效性。首先通過(guò)建立地心直角坐標(biāo)系，假定空間中轉(zhuǎn)移位置兩點(diǎn)為:x0［3.201×106m，6.073×106m，3.402 ×106m］，xf［－2.185 ×107m，3.616 ×107m，2.442×104m］，以及固定轉(zhuǎn)移時(shí)間t=15 000 s。

根據(jù)給定的位置和時(shí)間，求解目標(biāo)軌跡的位置和速度。首先利用Lambert方法求出初速度和末速度，根據(jù)打靶法，加入地球攝動(dòng)J2項(xiàng)，反求出目標(biāo)軌跡。仿真中加入日月引力、大氣阻力攝動(dòng)的影響。發(fā)動(dòng)機(jī)的影響為執(zhí)行控制時(shí)，加入的干擾為athr=1×10－3m/s2;加入隨機(jī)噪聲干擾為 aON=1 ×10－4m/s2;慣導(dǎo)測(cè)量誤差為ab=1×10－4m/s2;位置測(cè)量誤差為±300 m;速度測(cè)量誤差為±2 m/s。

控制策略為每2 000 s執(zhí)行一次控制，控制中系數(shù)矩陣 R，Q 分別為:R=10I(3×3)，Q=I(6×6)。

根據(jù)文獻(xiàn)［14］可知，線性脈沖系統(tǒng)控制可達(dá)的最小脈沖控制次數(shù)為p=［m/n］。在本系統(tǒng)中m=6，n=3，通過(guò)計(jì)算可得p=2，所以在仿真計(jì)算中，每次脈沖間隔執(zhí)行兩次控制。相比文獻(xiàn)［5］中的方法，本文提出的周期脈沖控制方法在控制器的計(jì)算上不需每步均進(jìn)行計(jì)算，從而減少了計(jì)算時(shí)間，簡(jiǎn)化了工程計(jì)算量。仿真結(jié)果如圖1～圖3所示。

圖1 轉(zhuǎn)移參考軌跡與實(shí)際軌跡Fig.1 Trajectory of actual and target orbit

圖1 顯示實(shí)際軌跡和目標(biāo)參考軌跡的運(yùn)行圖?？梢钥闯?，飛行過(guò)程中受到各種干擾的影響，控制器能有效地修正運(yùn)行軌跡。圖2中顯示實(shí)際運(yùn)行軌跡和目標(biāo)軌跡的位置和速度狀態(tài)差值，在末位置較好地跟蹤了目標(biāo)軌跡。在末端時(shí)刻與終點(diǎn)的狀態(tài)位置和速度三個(gè)方向的偏差為:［585.9 m，－17.9 m，－447.4 m，0.463 m/s，0.243 m/s，－ 0.643 m/s］，距離終點(diǎn)位置為732 m，飛行器達(dá)到了預(yù)定目標(biāo)區(qū)域。圖3顯示飛行中速度控制改變量的大小。

圖2 位置和速度的變化Fig.2 Change graph with position and velocity

圖3 脈沖速度控制變化Fig.3 Control of impulsive velocity

5 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)于空間軌道轉(zhuǎn)移的修正問(wèn)題，本文提出了一種簡(jiǎn)化的二次型脈沖優(yōu)化控制方法。在考慮攝動(dòng)和測(cè)量誤差等因素條件下，利用攝動(dòng)制導(dǎo)的方法建立系統(tǒng)控制模型，同時(shí)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性簡(jiǎn)化。文中給出的仿真驗(yàn)證測(cè)試說(shuō)明，最終誤差達(dá)到遠(yuǎn)程軌道轉(zhuǎn)移中段要求的控制范圍。控制策略簡(jiǎn)化了計(jì)算量，提高了飛行器控制實(shí)時(shí)計(jì)算性能，可用于軌道轉(zhuǎn)移任務(wù)中間段的修正控制。

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