朱小慧

運(yùn)用勾股定理及其逆定理可以解決生活中的許多問題，如圓柱的側(cè)面展開圖問題、航海問題、梯子問題、折疊問題、判斷垂直的問題，等等，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出正確的圖形.在解決實(shí)際問題的過程中，主要體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

一、 旗桿問題

例1 小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高度.

【解析】關(guān)鍵是通過讀題，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，畫出正確的圖形，借助勾股定理求出相關(guān)數(shù)據(jù).本題中的“當(dāng)他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面”為審題時(shí)的難點(diǎn)，需要實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的積累.

以AB表示旗桿，BC表示地面，AC表示拉開剛好尾部觸地的繩子.

由題意知AC-AB=1，BC=5，

設(shè)AB=x，則AC=x+1，

在直角三角形ABC中，

x2+52=（x+1）2，

解之得x=12.

∴旗桿的高度為12米.

說明：勾股定理本身公式很容易理解，所以考查該知識(shí)點(diǎn)時(shí)，問題的難點(diǎn)往往會(huì)在題意的理解和圖形的識(shí)別上. 本題的關(guān)鍵就是根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)畫出圖形，所以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一定要注重實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的獲得.

二、 梯子問題

例2 如圖1，一架長(zhǎng)為10 m的梯子AB斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8 m. 如果梯子的頂端下滑1 m，那么它的底端是否也滑動(dòng)1 m？

【解析】關(guān)鍵是知道實(shí)際問題中的不變量：梯子的長(zhǎng)度.本題中的“垂直距離”為審題時(shí)的難點(diǎn)，需要對(duì)應(yīng)圖形中的線段

例4 （2013·東營市）如圖4，圓柱形容器中，高為1.2 m，底面周長(zhǎng)為1 m，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3 m的點(diǎn)B處有一蚊子，此時(shí)一只壁虎正好在容器外壁離容器上沿0.3 m與蚊子相對(duì)的點(diǎn)A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為______m（容器厚度忽略不計(jì)）.

【解析】關(guān)鍵是知道壁虎與蚊子在圓柱展開圖中的位置. 壁虎在圓柱展開圖矩形兩邊中點(diǎn)的連線上. 如圖5所示，要求壁虎捉蚊子的最短距離，實(shí)際上是在EF上找一點(diǎn)P，使PA+PB最短. 過A作EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B與EF的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，過B作BM⊥AA′于點(diǎn)M，在Rt△A′MB中，A′M=1.2，BM=，∴A′B=1.3，∵A′B=AP+PB，∴壁虎捉蚊子的最短距離為1.3 m.

說明：此類最短路徑問題著重考查實(shí)際問題中正確運(yùn)用勾股定理. 善于觀察題目的信息，畫出正確的圖形是解題的關(guān)鍵.

四、 吸管擺放問題

例5 如圖6，一直圓柱狀的玻璃杯，由內(nèi)部測(cè)得其底部半徑為6 cm，高為16 cm，一支24 cm長(zhǎng)的吸管任意斜放在杯中，則吸管露出杯口外的長(zhǎng)度（不考慮吸管的粗細(xì)）至少是_______cm.

【解析】吸管擺放的兩個(gè)特殊位置：一是露出部分最長(zhǎng)，一是露出最短.本題問的是“吸管露出杯口外的長(zhǎng)度至少是多少”，也就是露出部分最短是多少.結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)畫出符合題意的圖形.圖7中AB為玻璃杯內(nèi)層底部直徑，CB為杯高，AD為吸管.通過畫圖將問題轉(zhuǎn)化為求圖中CD的長(zhǎng).

在Rt△ABC中，

∵AB=12，CB=16，

又∵AB2+BC2=AC2，

∴AC2=400 ，

∴AC=20.

因此CD=24-20=4（cm）.

說明：吸管擺放問題的解題突破口是化立體為平面. 本題是根據(jù)題意要求將所給出的復(fù)雜的立體圖形，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的直角三角形圖形，再用勾股定理解題.

（作者單位：江蘇省鎮(zhèn)江市外國語學(xué)校）