摘 要：著名數(shù)學(xué)教育家提出的教學(xué)觀點(diǎn)值得我們?nèi)パ芯?，最起碼要反思自己的教學(xué)有沒(méi)有做到，而這一反思又是建立在對(duì)“三原則”有所理解的基礎(chǔ)上的，事實(shí)證明，如果僅限于字面的理解而忽略了與實(shí)際教學(xué)的結(jié)合，那這樣的理解是不能稱(chēng)之為真正的理解的.

關(guān)鍵詞：三原則；啟示

G·波利亞是著名數(shù)學(xué)家，其教育思想對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)教育有著相當(dāng)廣泛的影響，筆者日前在閱讀其有關(guān)數(shù)學(xué)教學(xué)的論述中，汲取了其關(guān)于學(xué)習(xí)三原則的論述，感覺(jué)對(duì)實(shí)際教學(xué)有著很大的啟發(fā)作用，這三條原則分別如下：第一，要注重學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程；第二，要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的猜想與發(fā)現(xiàn)；第三，學(xué)習(xí)者要了解學(xué)習(xí)的方法與途徑. 粗看起來(lái)，這些觀點(diǎn)與當(dāng)下課程改革的一些觀點(diǎn)有一致的地方，但從另一個(gè)角度來(lái)看，當(dāng)一位著名的數(shù)學(xué)教育家都提出這樣樸素的教學(xué)觀點(diǎn)時(shí)，就值得我們?nèi)パ芯苛? 最起碼的要反思自己的教學(xué)有沒(méi)有做到這三點(diǎn)，而這一反思又是建立在對(duì)這三個(gè)原則有所理解的基礎(chǔ)上的，事實(shí)證明，如果僅限于字面的理解而忽略了與實(shí)際教學(xué)的結(jié)合，那這樣的理解是不能稱(chēng)之為真正的理解的. 因此，筆者在對(duì)這三個(gè)原則進(jìn)行仔細(xì)揣摩的基礎(chǔ)上，將其與自己的教學(xué)實(shí)踐、與觀摩過(guò)的優(yōu)秀同行的教學(xué)課例、與對(duì)未來(lái)數(shù)學(xué)教學(xué)的一些暢想聯(lián)系在一起，形成了一個(gè)相對(duì)系統(tǒng)的理解.本文將這一理解呈現(xiàn)出來(lái)，以期與高中數(shù)學(xué)教學(xué)同行交流.

■原則一：要注重學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)是不太關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程的，到新DIHE37vLq9nlaAnI0ykWBQ==課程改革之后，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程更多地也只是一種理念，在實(shí)際教學(xué)中并沒(méi)有得到真正的落實(shí). 這其中有兩個(gè)原因：一方面是由于高考的壓力，教師教學(xué)的重點(diǎn)還是落在培養(yǎng)學(xué)生的解題能力上，大題量的訓(xùn)練仍然是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主線；另一方面，由于教師能力方面的原因，即使想去關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，也不知道從哪里關(guān)注，應(yīng)當(dāng)如何關(guān)注 .因此，波利亞這一學(xué)習(xí)原則背后還有許多值得我們琢磨和研究的地方.

以筆者觀摩到的一節(jié)數(shù)學(xué)課為例，教師講解的是“拋物線弦的性質(zhì)”復(fù)習(xí)課這一內(nèi)容. 這一內(nèi)容是高二年級(jí)學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容，教學(xué)過(guò)程基本經(jīng)歷了這樣一些環(huán)節(jié)：首先，教師向?qū)W生呈現(xiàn)了一個(gè)問(wèn)題：某直線l與給定的拋物線y2=2px（p>0）相交于A，B兩點(diǎn). 如果直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M（t，0），試證明：OA·OB為定值.

當(dāng)這一問(wèn)題呈現(xiàn)出來(lái)之后，相當(dāng)一部分學(xué)生都感覺(jué)到有困難，于是教師讓學(xué)生進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，而教師則仔細(xì)觀察學(xué)生的思路. 后來(lái)在課后評(píng)課時(shí)，這位教師說(shuō)到在參與學(xué)生的討論中發(fā)現(xiàn)了學(xué)生的思路在哪兒出了問(wèn)題，于是調(diào)整了當(dāng)時(shí)的教學(xué)思路，將原來(lái)設(shè)計(jì)好的講授法傳授學(xué)生的解題思路改變成了追溯這道習(xí)題的來(lái)源. 事實(shí)也確實(shí)如此，因?yàn)樗尸F(xiàn)出的教學(xué)設(shè)計(jì)與當(dāng)時(shí)的課堂是不一樣的，課堂上我們看到的是這樣的教學(xué)環(huán)節(jié).

教師：大家都覺(jué)得這道題目有困難，是因?yàn)闆](méi)有發(fā)現(xiàn)這道習(xí)題的本來(lái)面目.事實(shí)上這道習(xí)題與我們以前做過(guò)的一道題目是一脈同源的. 大家還能想出是哪一道題目嗎？

學(xué)生此時(shí)自然是想不到的，于是教師呈現(xiàn)了一道題目：某直線l：y=x-2與拋物線y2=2x相交于A，B兩點(diǎn)，求OA·OB的值.

這是一道學(xué)生比較熟悉的簡(jiǎn)單的題目，課堂上學(xué)生一下子就反映出來(lái)了本題的解題思路，可當(dāng)教師引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)這一習(xí)題與上面呈現(xiàn)的習(xí)題之間的關(guān)系時(shí)，學(xué)生還是表現(xiàn)出了一定的困難，于是教師進(jìn)一步進(jìn)行了引導(dǎo).

教師：本題中OA·OB的值最后的表達(dá)形式是什么？（強(qiáng)調(diào)不是答案的結(jié)果）

學(xué)生反映出表達(dá)形式，然后教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這一形式與變量無(wú)關(guān)，因此應(yīng)當(dāng)是一個(gè)定值.在學(xué)生理解的基礎(chǔ)上，教師又將原題進(jìn)行了改編：某直線l：y=x-2與拋物線y2=2x相交于A，B兩點(diǎn)，試證明OA·OB為一定值.

這一改編學(xué)生非常熟悉，基本能看出與原來(lái)那一題是一致的，于是教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo).

教師：大家認(rèn)為這兩道題實(shí)際上沒(méi)有改變，但大家想一想，如果我直接呈現(xiàn)改編后的問(wèn)題，你還能發(fā)現(xiàn)其與我們前面做過(guò)的習(xí)題是一致的嗎？

這一提問(wèn)可謂戳到了學(xué)生的痛處，因?yàn)檫@正是學(xué)生學(xué)習(xí)中忽視的地方：學(xué)習(xí)反思. 而教師也注意到了這一點(diǎn)，于是即時(shí)在課堂上呈現(xiàn)出了坐標(biāo)系上直線與拋物線相交的情況，由于直線的斜率是不固定的，因此畫(huà)面也就是動(dòng)態(tài)的，這一下子吸引了學(xué)生的注意力.隨后，教師又引導(dǎo)學(xué)生回到最初提出的那個(gè)問(wèn)題上：這個(gè)問(wèn)題與我們后來(lái)呈現(xiàn)問(wèn)題的不同點(diǎn)在哪兒？（“不同點(diǎn)”三個(gè)字加強(qiáng)了語(yǔ)氣）這一不同會(huì)導(dǎo)致什么新問(wèn)題的出現(xiàn)？在這兩個(gè)問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)之下，學(xué)生終于發(fā)現(xiàn)OA·OB的結(jié)果為t2-2pt，而其中的t與p均為常數(shù)，因此結(jié)果為定值.

縱觀這一教學(xué)過(guò)程，評(píng)課教師一致認(rèn)為教師當(dāng)時(shí)及時(shí)調(diào)整課堂教學(xué)的勇氣可嘉，因?yàn)檫@樣的調(diào)整是建立在對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行了觀察和把握的基礎(chǔ)上的，是建立在判斷出學(xué)生的學(xué)習(xí)出現(xiàn)了困難的基礎(chǔ)上的，而調(diào)整后的教學(xué)又及時(shí)兼顧了學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，既注意到了學(xué)生知識(shí)發(fā)生的過(guò)程，又注意到了學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展過(guò)程. 而授課教師也強(qiáng)調(diào)了他的調(diào)整依據(jù)之一，就是及時(shí)把握住了學(xué)生的問(wèn)題所在，知道應(yīng)當(dāng)通過(guò)“重現(xiàn)舊知識(shí)來(lái)鞏固新知識(shí)”的思路來(lái)幫學(xué)生完成學(xué)習(xí). 因此，在筆者看來(lái)，這一教學(xué)過(guò)程是注重學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的重要體現(xiàn)，因此也成為一節(jié)經(jīng)典課例被筆者記住.

■原則二：要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的猜想與發(fā)現(xiàn)

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，有一個(gè)重要特征需要得到我們的高度重視，那就是學(xué)生已經(jīng)具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)，而面對(duì)具有一定難度的高中學(xué)習(xí)內(nèi)容時(shí)，是應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生充分發(fā)揮猜想和發(fā)現(xiàn)的，因?yàn)檫@樣可以更好地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

事實(shí)上，在上面所舉的例子中還有一個(gè)教學(xué)細(xì)節(jié)值得強(qiáng)調(diào)，那就是教師在呈現(xiàn)了第二個(gè)例子，讓學(xué)生比較其與最初的例題的不同點(diǎn)之后，還設(shè)計(jì)了一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：讓學(xué)生自主探究，讓學(xué)生去設(shè)計(jì)問(wèn)題. 表面上看這是一個(gè)設(shè)計(jì)過(guò)程，實(shí)質(zhì)上卻是學(xué)生在原有理解的基礎(chǔ)上，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行猜想與發(fā)現(xiàn)的過(guò)程.這一過(guò)程在課堂上持續(xù)了不少于五分鐘，學(xué)生經(jīng)歷了最初的熱烈討論之后，不同小組紛紛提出了有意思的問(wèn)題，當(dāng)時(shí)筆者記下了其中的兩個(gè)問(wèn)題：（1）設(shè)直線l與某拋物線y2=2px（p>0）相交于A，B兩點(diǎn)，如果直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M（2，0），試證明：OA·OB為定值；（2）設(shè)直線l與某拋物線y2=2px（p>0）相交于A，B兩點(diǎn)，如果直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M（2，0），試判斷OA·OB是不是定值.

這兩個(gè)問(wèn)題看似與原問(wèn)題差不多，可只要仔細(xì)觀察，就會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生此時(shí)的想法是不一樣的：前一個(gè)學(xué)生給定了橫軸上的某個(gè)點(diǎn)，這是對(duì)原來(lái)第二個(gè)例子的順應(yīng)，同時(shí)又是對(duì)最初例題的同化；而后一個(gè)學(xué)生則是給出一個(gè)疑問(wèn)，而疑問(wèn)與直接證明的結(jié)論還是有差異的.那實(shí)質(zhì)一樣的兩個(gè)問(wèn)題，這個(gè)學(xué)生為什么會(huì)用疑問(wèn)的形式呢？由于筆者觀摩時(shí)剛好坐在這個(gè)學(xué)生身邊，課后跟其交流才知道其曾在一個(gè)類(lèi)似的疑問(wèn)情境中犯過(guò)錯(cuò)誤，因此印象深刻，才以疑問(wèn)的形式呈現(xiàn)出了問(wèn)題.

通過(guò)這兩個(gè)學(xué)生自己設(shè)計(jì)的問(wèn)題可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在由舊知轉(zhuǎn)向新知的過(guò)程中，只有讓其大膽地猜想與發(fā)現(xiàn)，才能激發(fā)他們心中原有的認(rèn)識(shí)，從而也才能將新舊知識(shí)牢固地聯(lián)結(jié)起來(lái).

后來(lái)，筆者在自己的課堂上也用了類(lèi)似的題材. 當(dāng)筆者讓學(xué)生從簡(jiǎn)單的實(shí)例出發(fā)，去猜想或發(fā)現(xiàn)本題材還可以設(shè)計(jì)出什么問(wèn)題時(shí)，學(xué)生的反應(yīng)也比較熱烈. 學(xué)生提出了這樣的一些問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系中，如果某直線l與拋物線y2=2x相交于A，B兩點(diǎn)，且直線過(guò)點(diǎn)M（4，0），則OA·OB=8是真命題；寫(xiě)出這一命題的逆命題，并判斷它是真命題還是假命題，闡述理由.

事實(shí)證明，在高中數(shù)學(xué)課堂上幫學(xué)生鋪墊好知識(shí)基礎(chǔ)和認(rèn)知基礎(chǔ)，然后讓學(xué)生去大膽猜想與發(fā)現(xiàn)，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)很多有意思的問(wèn)題. 而這些問(wèn)題由于來(lái)自于學(xué)生的發(fā)散性思維，因此也客觀上培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力. 同時(shí)，這些問(wèn)題還可以成為高中數(shù)學(xué)原創(chuàng)題的一部分，價(jià)值非凡.

■原則三：學(xué)習(xí)者要了解學(xué)習(xí)的方法與途徑

波利亞的這一學(xué)習(xí)原則提醒高中數(shù)學(xué)教師要將筆者上文提到的“學(xué)習(xí)反思”納入數(shù)學(xué)課堂. 因?yàn)橹挥凶寣W(xué)生通過(guò)對(duì)自身學(xué)習(xí)的反思，學(xué)生才能尋找到了解自身實(shí)際需要的學(xué)習(xí)方法與途徑. 高中學(xué)生已經(jīng)具有一定的學(xué)習(xí)反思能力，因此在高中數(shù)學(xué)課堂上，學(xué)習(xí)反思應(yīng)當(dāng)成為常態(tài).

在上例的課堂教學(xué)中，筆者就進(jìn)行了嘗試. 筆者給學(xué)生一個(gè)任務(wù)：結(jié)合本節(jié)課學(xué)習(xí)的三個(gè)環(huán)節(jié)——陌生例題的出現(xiàn)、熟悉例題的復(fù)習(xí)、自己的猜想與發(fā)現(xiàn)以及聯(lián)系過(guò)程，反思一下怎樣才能更好地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)舊知與新知的關(guān)系.

這一任務(wù)對(duì)學(xué)生而言是有些陌生的，但這并不妨礙學(xué)生的思考. 后來(lái)有學(xué)生說(shuō)：其實(shí)我們只要分析一下，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這些問(wèn)題都是圍繞直線與拋物線關(guān)系命題的，因此關(guān)鍵在于理解同一平面直角坐標(biāo)系上直線與拋物線的關(guān)系，且當(dāng)直線經(jīng)過(guò)某確定點(diǎn)時(shí)是其中一個(gè)特殊情況就行了. 也有學(xué)生提出：如果過(guò)于籠統(tǒng)地談直線與拋物線的關(guān)系，那范圍就太廣了，就本題而言，還是把兩者的關(guān)系通過(guò)x軸一個(gè)固定點(diǎn)確定下來(lái)才好.

這樣的反思過(guò)程，其實(shí)就是一個(gè)總結(jié)的過(guò)程，學(xué)生在總結(jié)過(guò)程中不僅獲得了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，也獲得了對(duì)如何學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí).

綜上所述，G·波利亞學(xué)習(xí)三原則對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)意義是十分強(qiáng)的.在筆者看來(lái)，第一個(gè)原則是另外兩個(gè)原則的基礎(chǔ)（因此筆者也著墨最多），在教師的教學(xué)設(shè)計(jì)中只有對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程有了足夠的預(yù)設(shè)，才能在實(shí)際教學(xué)中游刃有余. 而學(xué)生的猜想與發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)方法及途徑的了解才會(huì)得到落實(shí). 當(dāng)然，筆者也深深感覺(jué)到這三個(gè)描述樸素的原則背后還有相當(dāng)豐富的思想，這需要在以后的教學(xué)中更多地反思才能發(fā)現(xiàn).