李偉明，時(shí)亞州，王 君，王 磊

（上海航天精密機(jī)械研究所，上海 201600）

0 引言

為掌握研究對(duì)象的動(dòng)力學(xué)特性，需對(duì)其進(jìn)行各種試驗(yàn)分析，而有限元分析則對(duì)試驗(yàn)分析有效的補(bǔ)充。但因有限元建模過(guò)程中不準(zhǔn)確的模型簡(jiǎn)化以及材料、幾何參數(shù)的不確定性等導(dǎo)致有限元模型的建模精度無(wú)法保證，使有限元模型的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)的測(cè)試結(jié)果間存在較大差異，這就需要用模型修正技術(shù)修正結(jié)構(gòu)的有限元模型，提高其精度及可靠性［1］。有限元模型修正中，模型自由度數(shù)常遠(yuǎn)大于試驗(yàn)測(cè)試的自由度數(shù)，由此產(chǎn)生了有限元模型自由度與試驗(yàn)測(cè)試模型不匹配，因此需在模型修正前對(duì)有限元模型與試驗(yàn)測(cè)試模型進(jìn)行自由度匹配。自由度匹配有兩種方法：一種是模型縮聚法，將有限元模型的自由度進(jìn)行等效縮減，使之與試驗(yàn)測(cè)試模型自由度一一對(duì)應(yīng)，縮聚后模型的保留自由度信息中包含被縮聚自由度的信息，模型縮聚可有效降低計(jì)算規(guī)模，提高計(jì)算效率；另一種是模態(tài)擴(kuò)展方法，通過(guò)插值技術(shù)對(duì)試驗(yàn)測(cè)試獲得的模態(tài)振型進(jìn)行擴(kuò)階，使其自由度數(shù)等于有限元模型的自由度數(shù)［2－6］。目前，多數(shù)理論研究和實(shí)際應(yīng)用集中在前者，算法也較成熟。模態(tài)擴(kuò)展法雖然會(huì)增加一定的計(jì)算量，但在對(duì)試驗(yàn)?zāi)B(tài)插值過(guò)程中，可一定程度對(duì)試驗(yàn)?zāi)B(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行降噪和平滑，有助于提高試驗(yàn)數(shù)據(jù)的精確性。

為獲得高精度的某貯箱結(jié)構(gòu)有限元模型，本文用ICMCM法對(duì)有限元模型修正進(jìn)行了研究［7－8］。

1 改進(jìn)的ICMCM

假定已通過(guò)某種自由度匹配技術(shù)完成了有限元模型與試驗(yàn)測(cè)試模型的自由度匹配過(guò)程。令有限元模型與試驗(yàn)測(cè)試模型間存在關(guān)系

式中：K，M分別為有限元模型的剛度陣和質(zhì)量陣；K＊，M＊分別為試驗(yàn)測(cè)試模型對(duì)應(yīng)的剛度陣和質(zhì)量陣；αn，βn為第n個(gè)有限元單元的剛度和質(zhì)量修正因子；Ne為有限元單元數(shù)。

對(duì)無(wú)阻尼的自由振動(dòng)系統(tǒng)，其有限元模型第i階特征方程為

同樣，設(shè)試驗(yàn)測(cè)試模型為無(wú)阻尼的自由振動(dòng)系統(tǒng)，其第j階特征方程為

式（4）左乘（Φi）T得

考慮（）TKΦi為一標(biāo)量，同時(shí)利用到剛度陣與質(zhì)量陣的對(duì)稱性，則有

類似可有

將式（7）、（8）代入式（5）得

式（6）減去式（9）得

將式（1）、（2）代入式（10），整理后有

將式（12）代入式（11）得

求解式（13），得到參數(shù)的修正量αn，βn后，參考式（1）、（2）即可獲得修正后的參數(shù)。

2 某貯箱有限元模型修正

用MSC.Patran軟件建立某貯箱結(jié)構(gòu)有限元模型如圖1所示。建模后，模型共有梁?jiǎn)卧?2個(gè)，板單元404個(gè)，節(jié)點(diǎn)389個(gè)，自由度總數(shù)2 334。該貯箱結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，內(nèi)部有兩層加筋梁，在結(jié)構(gòu)連接部位存在大量的焊接及鉚接部位，導(dǎo)致有限元建模的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)對(duì)象的測(cè)試結(jié)果間存在較大誤差，初始有限元模型建模精度不高，對(duì)此需用有限元模型修正技術(shù)對(duì)初始有限元模型進(jìn)行修正，提高模型的可靠性。為模擬試驗(yàn)測(cè)試對(duì)象的狀態(tài)，需對(duì)仿真試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷膮?shù)添加隨機(jī)擾動(dòng)，其中對(duì)模型中存在較大誤差的5組連接部位及其附近單元參數(shù)添加較大擾動(dòng)。這5組連接部位如圖2所示。

圖1 某貯箱結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Model of a cabin structure

圖2 存在較大誤差的連接部位Fig.2 Connection parts with large modeling errors

仿真試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜕珊?，提取模型的頻率及模態(tài)振型作為仿真試驗(yàn)數(shù)據(jù)。因真實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)不可避免會(huì)受測(cè)試噪聲的影響，為模擬噪聲干擾下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，需對(duì)仿真試驗(yàn)添加噪聲：頻率添加3%的噪聲；模態(tài)振型添加7%的噪聲［9］。修正前，有限元模型與仿真試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念l率以及模態(tài)置信準(zhǔn)則（MAC）的關(guān)系分別見表1、2。

與仿真試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，修正前初始有限元模型的前9階頻率誤差均已超過(guò)10%，MAC值對(duì)角線的第4，7個(gè)元素均小于0.4，有限元模型與仿真試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼裥驼`差極大，需進(jìn)行有限元模型修正提高初始模型的可靠性。

在真實(shí)試驗(yàn)測(cè)試中常只能測(cè)得少量低階的模態(tài)頻率及模態(tài)振型，故假設(shè)仿真試驗(yàn)中僅能測(cè)量得到試驗(yàn)的前9階模態(tài)。根據(jù)國(guó)際通用的有限元模型修正評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，修正時(shí)僅用1～6階模態(tài)頻率及其對(duì)應(yīng)的模態(tài)振型，7～9階不參與修正過(guò)程，用于驗(yàn)證模型修正的效果［10］。

因該貯箱模型結(jié)構(gòu)較大且復(fù)雜，設(shè)僅沿艙體自上而下的節(jié)點(diǎn)16，18，21，47，82，90，100，122，127，140，142，162，174，184，196，199，204，339的x，y，z三個(gè)方向的自由度可測(cè)，則測(cè)量自由度數(shù)為54，為有限元模型自由度總數(shù)2 334的2.31%。模型修正前，先對(duì)有限元模型與仿真試驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行自由度匹配，使兩者能在相同自由度下進(jìn)行修正。本文用ICMCM法分別配合使用模型縮聚法與模態(tài)擴(kuò)展法對(duì)貯箱進(jìn)行修正。修正對(duì)象選定為所有436個(gè)單元的楊氏模量，修正時(shí)添加5組連接部位及其附近單元楊氏模量相等的12個(gè)約束方程，最終修正參數(shù)為192個(gè)。修正過(guò)程中用約束最小二乘法求解修正公式［11］。

表1 修正前頻率比較Tab.1 Frequency comparison between initial finite element model and test data

2.1 采用模型縮聚的修正結(jié)果

此處使用4級(jí)逐級(jí)近似模型縮聚方法對(duì)有限元模型進(jìn)行縮聚，縮聚后有限元模型的自由度數(shù)為54，修正過(guò)程中使用縮聚后有限元模型全部的54階模態(tài)數(shù)據(jù)以及仿真試驗(yàn)的前6階模態(tài)數(shù)據(jù)，這樣共生成324個(gè)修正方程［2］。

表2 修正前MAC值比較Tab.2 MAC comparison between initial finite element model and test data

用上述數(shù)據(jù)對(duì)貯箱進(jìn)行修正，結(jié)果見表3、4。因待修正參數(shù)數(shù)量較大而修正方程的個(gè)數(shù)相對(duì)較少，修正結(jié)果并不理想。表3中使用的前6階頻率和用于校核模型修正效果的7～9階頻率較初始狀態(tài)均未好轉(zhuǎn)，而修正后的MAC值較初始狀態(tài)幾乎未發(fā)生改變。

表3 ICMCM法及模型縮聚修正的頻率Tab.3 Frequency using ICMCM method and model reduction

表4 用ICMCM法及模型縮聚修正的MACTab.4 MAC using ICMCM method and model reduction

2.2 采用模態(tài)擴(kuò)展的修正結(jié)果

用傳統(tǒng)的模態(tài)擴(kuò)展法，即直接使用有限元模型的模態(tài)振型數(shù)據(jù)補(bǔ)足試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷哪B(tài)振型，修正過(guò)程中有限元模型的試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷淖杂啥染鶠? 334。修正過(guò)程中僅使用有限元模型的前100階模態(tài)數(shù)據(jù)和仿真試驗(yàn)的前6階模態(tài)數(shù)據(jù)，共生成方程600個(gè)。

修正后有限元模型與仿真試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念l率見表5。由表可知：雖存在測(cè)試噪聲的干擾，修正后有限元模型的頻率值更逼近仿真試驗(yàn)值，修正時(shí)所用的前6階頻率的最大誤差由17.382 8%變?yōu)?.935 3%，平均誤差由15.570 7%變?yōu)?.023 2%；7～9階頻率的最大誤差由17.194 5%變?yōu)?.477 2%，平均誤差由15.669 7%變?yōu)?.989 5%。

ICMCM法及模態(tài)擴(kuò)展修正的MAC見表6。由表可知：修正后前6階模態(tài)MAC值對(duì)角線元素的最小值由0.234 3變?yōu)?.993 3，平均值由0.848 76變?yōu)?.997 2；7～9階模態(tài)MAC值對(duì)角線元素最小值由0.363 5 變 為 0.854 7，平 均 值 由 0.513 3 變 為0.883 2。其中修正前有限元模型第4階模態(tài)及第7～9階模態(tài)對(duì)應(yīng)的MAC值均小于0.6，修正后這些階模態(tài)對(duì)應(yīng)的MAC值均已大于0.85。

上述模型修正結(jié)果表明：對(duì)待修正參數(shù)眾多的模型修正問(wèn)題，ICMCM法更適于結(jié)合模態(tài)擴(kuò)展方法進(jìn)行應(yīng)用。其中主要原因是在貯箱模型修正過(guò)程中選擇了192個(gè)參數(shù)進(jìn)行了修正，用模型縮聚后模型修正時(shí)，因模型縮聚使有限元模型規(guī)模變小，導(dǎo)致可供修正使用的有限元模型信息較少，故生成的修正方程數(shù)量有限，另外模型縮聚是一種近似方法，縮聚后的有限元模型不能完全反映縮聚前模型的動(dòng)力學(xué)特性，尤其是在試驗(yàn)數(shù)據(jù)受到噪聲干擾時(shí)，求解含待修正參數(shù)較多的修正方程的結(jié)果有時(shí)不理想；用模態(tài)擴(kuò)展方法進(jìn)行修正時(shí)，因擴(kuò)展后可供使用的模型信息較多，可生成的修正方程數(shù)量較多，故能用于求解數(shù)量較多的待修正參數(shù)。

表5 ICMCM法及模態(tài)擴(kuò)展修正的頻率Tab.5 Frequency using ICMCM method and modal expansion

表6 ICMCM法及模態(tài)擴(kuò)展修正的MACTab.6 MAC using ICMCM method and modal expansion

3 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)某貯箱模型的修正進(jìn)行了研究，分別用模型縮聚和模態(tài)擴(kuò)展方法與ICMCM法配合使用對(duì)貯箱進(jìn)行修正。該法無(wú)需進(jìn)行靈敏度分析并有較好的誤差判斷能力，提高了修正后模型的可靠性，且計(jì)算效率高，可同時(shí)修正大量參數(shù)。因修正時(shí)可供使用的仿真試驗(yàn)數(shù)據(jù)較多，用模態(tài)擴(kuò)展方式進(jìn)行修正獲得了理想的模型修正結(jié)果，在修正時(shí)所用的頻段和用于校核修正結(jié)果的頻段內(nèi)，模態(tài)頻率與MAC值的誤差均較初始狀態(tài)有明顯改進(jìn)。修正結(jié)果表明：在對(duì)修正參數(shù)較多的結(jié)構(gòu)進(jìn)行模型修正時(shí)，若不考慮修正計(jì)算時(shí)間，建議使用模態(tài)擴(kuò)展方法結(jié)合ICMCM法。本文研究證明ICMCM法可同時(shí)修正大量待修正參數(shù)，有較高修正精度。

［1］ MOTTERSHEAD J E，F(xiàn)RISWELL M I.Model updating in structural dynamics：a survey［J］.Journal of Sound and Vibration，1993，167（2）：347-375.

［2］ ZHANG D W，LI J.Succession-level approximate reduction（SAR）technique for structural dynamic model［C］／／Proceedings of 7th International Modal Analysis Conference.Las Vegas：［s.n.］，1989：29-37.

［3］ 朱安文，曲廣吉，高耀南.航天器結(jié)構(gòu)動(dòng)力模型修正中的縮聚方法［J］.中國(guó)空間科學(xué)技術(shù)，2003，23（2）：6-10.

［4］ O＇Callahan J.An efficient method of determining rotational degrees of freedom from analytical and experimental model data［C］／／Proceedings of 4th International Modal Analysis Conference.Las Vegas：1986：50-58.

［5］ 汪曉紅，周傳榮，徐慶華.結(jié)構(gòu)分析模型的修正與振型擴(kuò)充技術(shù)［J］.東南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2000，30（2）：143-147.

［6］ 秦仙蓉，張令彌，顧 明，等.改進(jìn)的基于模態(tài)參數(shù)的結(jié)構(gòu)計(jì)算模型修正算法［J］.同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)，2002，30（11）：1295-1299.

［7］ HU S L J，WANG S Q，LI H J.Cross-modal strain energy method for estimating damage severity［J］.Journal of Engineering Mechanics，2006，132（4）：429-437.

［8］ 王金明，李偉明，彭明峰.基于ICMCM法的GARTEUR結(jié)構(gòu)有限元模型修正研究［J］.振動(dòng)與沖擊，2011，30（5）：90-95.

［9］ 楊海峰.基于加速度頻響函數(shù)的結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)方法研究［D］.西安：西北工業(yè)大學(xué)，2007.

［10］ LINK M，F(xiàn)RISWELL M I.Working group 1：Generation of validated structural dynamic models-results of a benchmark study utilising the GARTEUR SMAG19test-bed［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2003，17（1）：9-20.

［11］ 桂 冰，戴 華.結(jié)構(gòu)計(jì)算模型修正的二次約束最小二乘算法［J］.振動(dòng)與沖擊，2006，25（2）：41-43.