齊 琦， 陳明生， 吳先良， 劉 藝

（1.合肥師范學院 電子信息工程學院，安徽 合肥 230061；2.合肥師范學院 計算機科學與技術系，安徽 合肥 230061）

矩量法（MOM）是求解微分方程和積分方程的一種重要方法［1］，自提出后已廣泛應用于計算電磁學。然而，隨著電大尺寸目標的計算需求增加，MOM的諸多缺陷也被人們發(fā)現(xiàn)，如計算時間較長，內(nèi)存占用較大等。為了克服該方法的缺陷，多種快速算法應運而生。具有代表性的有自適應積分法（AIM）［2］、共軛梯度快速傅里葉變換法（CG－FFT）［3］、快速多極子法（FMM）等［4－7］，其中FMM效果尤為顯著。

MOM在電磁散射計算問題中，需將散射體表面離散成多個單元來表示電流元，通過格林函數(shù)來嚴格表述場單元與源單元之間的相互作用，生成一個稠密的阻抗矩陣。而FMM則采用遠場近似的思想，避免阻抗矩陣的直接生成，從而節(jié)約了計算時間和內(nèi)存消耗。雖然FMM在計算復雜度上有了很大的優(yōu)化，但是對于較大的電大尺寸目標的計算，仍需較多的時間和內(nèi)存。因此，如何進一步優(yōu)化成為必要的研究課題。

離散小波變換（DWT）［8］作為一種強大的數(shù)學工具，在計算電磁學中，常應用于阻抗矩陣的稀疏化預處理。本文將該技術與FMM結合，在計算遠場組作用時加入DWT，使得矩陣中的某些元素比其他元素小，并忽略它們以使解聚和聚集矩陣稀疏化，從而加速積分方程的求解；通過對不同幾何形態(tài)的二維電大理想導體目標的電磁散射特性進行分析，驗證了DWT－FMM 方法的正確性。

1 導體目標的矩量法解

在外加電場激勵二維導體圓柱的情況中，柱體產(chǎn)生了感應面電流Jz，同時所有的線性電流元Jzdl又疊加產(chǎn)生了一個散射場，即

由導體表面C上電場切向分量為0的邊界條件

得到積分方程：

其中，（ρ）為已知的激勵源；Jz為未知的感應面電流；k為波數(shù)。采用脈沖函數(shù)為基函數(shù)將積分方程離散，并以狄拉克函數(shù)作檢驗函數(shù)。為此，將柱體輪廓C分為N個單元ΔCn。脈沖函數(shù)的定義為：

對Jz采用脈沖基函數(shù)展開得到：

將（5）式代入（3）式，并在每個 ΔCm的中點（xm，ym）滿足所得方程，便得到矩陣方程：

其中，Zmn為阻抗矩陣；an為待求的表面電流系數(shù)向量。Zmn中的元素按（7）式計算：

其中，ΔCn為每個單元的長度；γ＝1.781 07為歐拉常數(shù)。若阻抗矩陣是非奇異的，即Zmn－1存在，則電流系數(shù)向量可由（8）式解得：

并由（9）式求得目標的RCS，即

2 DWT技術的一般應用

在求解大型稠密的矩陣方程問題中，為了降低計算的復雜度，將矩陣稀疏化是慣用的思路。DWT是一種有效的稀疏化方法，在計算電磁學中，常用于MOM的阻抗矩陣預處理技術。以（6）式為例進行小波變換得：

其中，W是小波變換矩陣，為正交陣；WH表示W(wǎng)的共軛轉(zhuǎn)置；WWH＝I，I為單位矩陣。經(jīng)（10）式處理后可以得到：

由于小波變換的性質(zhì)，在變換后的阻抗矩陣中，有很大一部分元素與另一部分相比，會顯得很小。這些很小的元素是矩陣中的高頻分量，包含的信息量很小。若此時設定一個合適的閾值，將小于閾值的矩陣元素全部置0，阻抗矩陣便得到了稀疏。在得到矩陣方程（11）式的解后，對其作小波逆變換an＝WH，便得到了原方程（6）式的近似解。

W的構造過程如下：

小波濾波器具有α階消失矩，其系數(shù)為h（k），k＝0，1，2，…，2α－1，k取其他值時，h（k）＝0，濾波器寬度為m＝2α。

其中，HN、GN是（N／2）×N的矩陣，分別由長度為N的向量［h（2α－1），…，h（2），h（1），h（0），0，…，0］和［－h(huán)（0），h（1），－h(huán)（2），…，（－1）j＋1h（j），…，h（2α－1），0，…，0］以2為周長圓周移位得到，由其結構可知，W是一個非常稀疏的矩陣，且隨著N的增大，其稀疏化程度會越來越高。

3 DWT－FMM

在外加電場Eiz激勵二維理想導體圓柱的情況中，傳統(tǒng)FMM將柱體輪廓上的N個單元分成G組，每組包含M個單元，即N＝GM。對于任意一組，其余的組可以分為近場組和遠場組2類。通常定義2組的中心點距離小于半個波長的為近場組，否則為遠場組。在一般的二維電大目標情況中，定義每組相鄰的左右2組為其近場組，如圖1所示。

圖1 遠場組示意圖

FMM利用遠場近似思想避免稠密阻抗矩陣的直接生成，將遠場作用過程分解成聚集、轉(zhuǎn)移、發(fā)散3個步驟：① 聚集是將Gl內(nèi)M個單元所對應的等效電流聚集在組的中心位置，其目的是為了獲得具有轉(zhuǎn)移特性的新函數(shù)組，即Gl內(nèi)所有等效電流對遠場組的作用能夠由通過轉(zhuǎn)移這組新函數(shù)完成；②轉(zhuǎn)移是將聚集所得到的一組函數(shù)由Gl的中心位置轉(zhuǎn)移到Gl′的中心位置；③ 發(fā)散是將轉(zhuǎn)移到Gl′中心位置的那組函數(shù)發(fā)散到組內(nèi)的所有M個單元對應的等效電流上，從而計算出Gl和Gl′的遠場相互作用。任意組Gl′的單元j受到其所有遠場組Gl內(nèi)任意單元i作用的總和Fbj按（13）式計算：

其中

本文所提出的DWT－FMM技術是對傳統(tǒng)FMM中解聚和發(fā)散2個步驟進行優(yōu)化。在每組中，總是存在一些與中心點作用比較小的單元，在發(fā)散和解聚的計算過程中忽略這些弱作用單元仍能得到較為滿意的結果。由上述可知，組Gl與Gl′的遠場作用矩陣由（15）式得到：

對（15）式中的解聚和發(fā)散矩陣做單邊DWT，則有：

若在（16）式中令：

則（16）式變化為：

將和中小于給定閾值的元素置0，從而矩陣得到了稀疏。

4 數(shù)值仿真結果

為了驗證該方法的有效性，本文分別對理想導體圓柱和方柱的RCS特性進行計算。將頻率為300MHz的TM波垂直入射到半徑為10m的無限長電大理想導體圓柱和邊長為20m的無限長電大理想導體方柱上。文中定義矩陣的壓縮率是矩陣中現(xiàn)有非零元素的個數(shù)與壓縮前非零元素個數(shù)的比值。DWT－FMM方法有著較為可觀的壓縮率，見表1所列。

表1 矩陣壓縮率

以圓柱中任意一組的解聚矩陣來查看其壓縮前后的情況，如圖2所示，黑色部分代表非零元素，可以看出，壓縮后的矩陣中非零元素只占了很小的比例。

圖2 解聚矩陣

將2種方法所得到的目標RCS進行對比，如圖3、圖4所示。顯然，DWT－FMM的精確性是優(yōu)秀的。

圖3 方柱RCS

圖4 圓柱RCS

5 結束語

本文應用小波變換的特性使得快速多極子中的解聚和聚集矩陣得到了充分的稀疏，提高了傳統(tǒng)快速多極子的效率。計算結果表明，DWTFMM方法在計算電大導體目標電磁散射特性時，有效降低了計算復雜度，對電腦內(nèi)存的消耗有著可觀的改善。

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