張爾光

（韶關(guān)市人大機(jī)關(guān)，廣東 韶關(guān)512000）

筆者研究結(jié)果表明，任何一個(gè)正整數(shù)方冪（n＞1）均可表為數(shù)學(xué)方陣。正整數(shù)方冪方陣的各種數(shù)的循序逐增現(xiàn)象，反映了正整數(shù)方冪方陣的循序逐增規(guī)律性，而費(fèi)馬定理與此規(guī)律有著密切聯(lián)系。

1 正整數(shù)2次冪方陣的循序逐增規(guī)律

筆者認(rèn)為，要想弄清楚正整數(shù)方冪方陣的循序逐增規(guī)律性，應(yīng)從對(duì)正整數(shù)2次冪方陣的研究入手，弄清楚正整數(shù)方冪方陣與正整數(shù)方冪的三角矩陣之間的關(guān)系，注重對(duì)正整數(shù)方冪方陣的各種數(shù)的循序逐增現(xiàn)象的研究，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)矩陣的各種數(shù)的循序逐增規(guī)律。

1.1 任何一個(gè)正整數(shù)平方均可表為由“1”組成的方陣或三角矩陣

筆者在《地圖與數(shù)學(xué)的組合、排列及三角矩陣》一文（見(jiàn)《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究》2011年第19期）中，經(jīng)證明得出結(jié)論：任何一個(gè)正整數(shù)（n＞1）的2次冪均可表為一個(gè)由“1”組成的方陣，而且這個(gè)方陣既可表為一個(gè)由“1”組成的三角矩陣，也可表為兩個(gè)由“1”組成的三角矩陣。

根據(jù)正整數(shù)2次冪的方陣和三角矩陣的規(guī)律，遵循組合數(shù)“循序逐增”的基本原理，正整數(shù)的2次冪的方陣和三角矩陣可以圖1來(lái)表示。其定理為

圖1 n2的方陣和三角矩陣圖

從“n2的方陣和三角矩陣圖”看出，正整數(shù)2次冪的方陣，其方陣元素“1”是曲尺形排列，雖與三角矩陣的表達(dá)方式不同，但兩者表達(dá)的意思（或叫內(nèi)容）相同?？梢?jiàn)，正整數(shù)方冪方陣與正整數(shù)方冪三角矩陣是等同關(guān)系。據(jù)此，為著論證的方便，筆者在下文論證正整數(shù)方冪方陣時(shí)，則以三角矩陣的表達(dá)方式來(lái)替代，并用之于證明方陣的各種數(shù)的循序逐增的規(guī)律。

1.2 方陣（三角矩陣）的各種數(shù)的概念

圖2 三角矩陣（方陣）的各種數(shù)的概念解釋圖

本文所說(shuō)的方陣（三角矩陣）的各種數(shù)，是指矩陣的邊線(xiàn)數(shù)、中線(xiàn)數(shù)、同行數(shù)列相加之和（見(jiàn)圖2圖解）。所說(shuō)的各種數(shù)的循序逐增現(xiàn)象，是指這些數(shù)及數(shù)列差反映出來(lái)的規(guī)律有序的東西。

從圖2看出，邊線(xiàn)數(shù)，是指三角矩陣的左斜邊線(xiàn)數(shù)和右斜邊線(xiàn)數(shù)，左斜邊線(xiàn)數(shù)即是方陣的第一列數(shù)，右斜邊線(xiàn)數(shù)即是方陣的第一行數(shù)；中線(xiàn)數(shù)，是指位于三角矩陣中間的數(shù)，即是方陣的左上角至右下角的斜線(xiàn)數(shù)；同行數(shù)列相加之和，是指三角矩陣同一行的數(shù)列各數(shù)相加后的得數(shù)，即是方陣的曲尺形行列數(shù)各數(shù)相加后的得數(shù)。

規(guī)律1 正整數(shù)2次冪方陣的同行數(shù)列相加之和是循序逐增的兩個(gè)正整數(shù)平方差的依次排列。

從圖1看出，正整數(shù)2次冪方陣（三角矩陣），其同行數(shù)列相加之和是循著奇數(shù)“1,3,5,7,9,…”的次序排列。這“1,3，5,7，9,…”，既是奇數(shù)，又是與正整數(shù)的2次冪有著密切聯(lián)系的數(shù)：1是12-02之差，3是22-12之差，5是32-22之差，7是42-32之差，9是52-42之差，此后依次類(lèi)推?？梢?jiàn)，正整數(shù)2次冪方陣，其同行數(shù)列相加之和為循序逐增的兩個(gè)正整數(shù)的平方差（即“n2-(n-1)2”之差）的依次排列，亦是循序逐增的兩個(gè)正整數(shù)的同次方差（即“nk-(n-1)k”之差）的依次排列。這表明正整數(shù)方冪方陣是一個(gè)循序逐增的擴(kuò)展過(guò)程。此規(guī)律是正整數(shù)方冪方陣的核心規(guī)律。

規(guī)律2 正整數(shù)2次冪方陣的同行數(shù)列相加之和的數(shù)列差是循序逐增的兩組“兩個(gè)正整數(shù)平方差”之差。

從“n2的方陣和三角矩陣圖”的同行數(shù)列相加之和可知，正整數(shù)2次冪方陣的同行數(shù)列相加之和的數(shù)列差依次為“2,2,2,…”。此數(shù)列差“2”，是不同的前后兩組“兩個(gè)正整數(shù)平方差”之間的差。正整數(shù)方冪方陣的“同行數(shù)列相加之和的數(shù)列差”的公式為：

同行數(shù)列相加之和的數(shù)列差=[(n+1)k-nk]-[nk-(n-1)k]

如：1與3之差為2，已知1是“12-02”之差，3是“22-12”之差。據(jù)此，n為1，k為2，那么，得:[(1+1)2-12]-[12-(1-1)2]=(22-12)-(12-02)=3-1=2

再如：3與5之差為2，已知3是“22-12”之差，5是“32-22”之差。據(jù)此，n為2，k為2，那么，得:[(2+1)2-22]-[22-(2-1)2]=(32-22)-(22-12)=5-3=2

又如：5與7之差為2，已知5是“32-22”之差，7是“42-32”之差。據(jù)此，n為3，k為2，那么，得:[(3+1)2-32]-[32-(3-1)2]=（42-32）-（32-22）=7-5=2

2 正整數(shù)方冪方陣的各種數(shù)的循序逐增規(guī)律

筆者研究結(jié)果表明，遵循正整數(shù)方冪方陣的循序逐增規(guī)律，任何一個(gè)正整數(shù)方冪均可表為其同行數(shù)列相加之和為循序逐增的兩個(gè)正整數(shù)的同次方差的方陣。

現(xiàn)以正整數(shù)的3次冪、4次冪、5次冪的方陣為例予以證明。例證1 正整數(shù)3次冪的方陣（三角矩陣）,見(jiàn)圖3。

圖3 正整數(shù)3次冪的方陣和三角矩陣

例證2 正整數(shù)4次冪的方陣（以三角矩陣表達(dá)），見(jiàn)圖4。

圖4 正整數(shù)4次冪方陣（以三角矩陣表達(dá)）

例證3 正整數(shù)的5次冪的方陣（以三角矩陣表達(dá)）,見(jiàn)圖5。

圖5 正整數(shù)5次冪方陣（以三角矩陣表達(dá)）

2.1 正整數(shù)方冪方陣的同行數(shù)列相加之和及數(shù)列差的循序逐增規(guī)律

現(xiàn)依照正整數(shù)方冪方陣的循序逐增原理，對(duì)正整數(shù)的3次冪、4次冪、5次冪的方陣（三角矩陣）的各種數(shù)及數(shù)列進(jìn)行分析。

從圖3看出，正整數(shù)3次冪方陣，k=3，其同行數(shù)列相加之和依次為“1,7,19,37,61，…”，是前后兩個(gè)正整數(shù)的同次方差（即“n3-(n-1)3”之差）的依次排列。“n3-(n-1)3”可表為“nk-(n-1)k”。

從圖4看出，正整數(shù)4次冪方陣，k=4，其同行數(shù)列相加之和依次為“1,15,65,175,369，…”，是前后兩個(gè)正整數(shù)的同次方差（即“n4-(n-1)4”之差）的依次排列?！皀4-(n-1)4”可表為“nk-(n-1)k”。

從圖5看出，正整數(shù)5次冪方陣，k=5，其同行數(shù)列相加之和依次為“1,31,211,781，2101，…”，是前后兩個(gè)正整數(shù)的同次方差（即“n5-(n-1)5”之差）的依次排列。“n5-(n-1)5”可表為“nk-(n-1)k”。

依照歸納法，得出結(jié)論，正整數(shù)方冪方陣的同行數(shù)列相加之和為前后兩個(gè)正整數(shù)的同次方差的依次排列。前后兩個(gè)正整數(shù)的同次方差可表為“nk-(n-1)k”。

根據(jù)正整數(shù)方冪方陣的同行數(shù)列相加之和的循序逐增規(guī)律，可求得正整數(shù)方冪方陣的各行同行數(shù)列相加之和累加得數(shù)的循序逐增規(guī)律，也即是正整數(shù)方冪方陣的循序逐增規(guī)律。見(jiàn)圖6。

根據(jù)圖6反映出來(lái)的方陣的同行數(shù)列相加之和循序累加的規(guī)律，求得正整數(shù)方冪（方陣）的定理，即：

圖6

根據(jù)方陣的同行數(shù)列相加之和循序累加的規(guī)律，可知：

根據(jù)正整數(shù)方冪方陣的同行數(shù)列相加之和數(shù)列，可求得正整數(shù)方冪方陣的同行數(shù)列相加之和數(shù)列差之定理為：

同行數(shù)列相加之和數(shù)列差=［(n＋1)k－nk］-［nk-(n-1)k］

2.2 正整數(shù)方冪方陣的中線(xiàn)數(shù)及數(shù)列差的循序逐增規(guī)律

從圖3看出，正整數(shù)3次冪方陣，k=3，其中線(xiàn)數(shù)數(shù)列依次為“1,3，5,7,9，…”，是前后兩個(gè)正整數(shù)的“n3-1-(n-1)3-1”之差的依次排列。“n3-1-(n-1)3-1”可表為“nk-1-(n-1)k-1”。

從圖4看出，正整數(shù)4次冪方陣，k=4，其中線(xiàn)數(shù)數(shù)列依次為“1,7,19,37,61，…”，是前后兩個(gè)正整數(shù)的“n4-1-(n-1)4-1”之差的依次排列?！皀4-1-(n-1)4-1”可表為“nk-1-(n-1)k-1”。

從圖5看出，正整數(shù)5次冪方陣，k=5，其中線(xiàn)數(shù)數(shù)列為“1,15,65,175,369,…”前后兩個(gè)正整數(shù)的“n5-1-(n-1)5-1”之差的依次排列.“n5-1-(n-1)5-1”可表為“nk-1-(n-1)k-1”。

依照歸納法，得出結(jié)論，正整數(shù)方冪方陣的中線(xiàn)數(shù)的循序逐增規(guī)律是前后兩個(gè)正整數(shù)的“nk-1-(n-1)k-1”之差的依次排列。

根據(jù)正整數(shù)方冪方陣的中線(xiàn)數(shù)的循序逐增規(guī)律，可求得正整數(shù)方冪方陣的中線(xiàn)數(shù)數(shù)列差之定理為：［(n＋1)k-1－nk-1］-［nk-1-(n-1)k-1］

2.3 正整數(shù)方冪方陣的邊線(xiàn)數(shù)及數(shù)列差的循序逐增規(guī)律

從圖3看出，正整數(shù)3次冪數(shù)方陣的邊線(xiàn)數(shù)數(shù)列是“1,2,3,4,5，…”（即“13-2,23-2,33-2,43-2,53-2…”）的依次排列。 “13-2,23-2,33-2,43-2,53-2…”可表為“1k-2,2k-2,3k-2,4k-2,5k-2…”。

從圖4看出，正整數(shù)4次冪數(shù)方陣的邊線(xiàn)數(shù)數(shù)列是“12，22，32，42，52，…”(即“14-2,24-2,34-2,44-2,54-2…”)的依次排列。“14-2,24-2,34-2,44-2,54-2…”可表為“1k-2,2k-2,3k-2,4k-2,5k-2…”。

從圖5看出，正整數(shù)5次冪數(shù)方陣的邊線(xiàn)數(shù)數(shù)列是“13，23，33，43，53，…”(即“15-2,25-2,35-2,45-2,55-2…”)的依次排列。 “15-2,25-2,35-2,45-2,55-2…”可表為“1k-2,2k-2,3k-2,4k-2,5k-2…”。

依照歸納法，得出結(jié)論，正整數(shù)方冪方陣的邊線(xiàn)數(shù)的循序逐增規(guī)律為“1k-2,2k-2,3k-2,4k-2,5k-2…”的依次排列。

已知正整數(shù)方冪方陣的邊線(xiàn)數(shù)數(shù)列為“1k-2,2k-2,3k-2,4k-2,5k-2…”的依次排列，那么，可知邊線(xiàn)數(shù)數(shù)列差的循序逐增規(guī)律，即：

第一行邊線(xiàn)數(shù)與第二行邊線(xiàn)數(shù)之差為“2k-2-1k-2”之差；

第二行邊線(xiàn)數(shù)與第三行邊線(xiàn)數(shù)之差為“3k-2-2k-2”之差；

第三行邊線(xiàn)數(shù)與第四行邊線(xiàn)數(shù)之差為“4k-2-3k-2”之差；

第四行邊線(xiàn)數(shù)與第五行邊線(xiàn)數(shù)之差為“5k-2-4k-2”之差；

第五行邊線(xiàn)數(shù)與第六行邊線(xiàn)數(shù)之差為“6k-2-5k-2”之差，此后依次類(lèi)推。

2.4 正整數(shù)方冪方陣的同行邊線(xiàn)數(shù)至中線(xiàn)數(shù)的數(shù)列差的循序逐增規(guī)律

根據(jù)正整數(shù)方冪方陣的中線(xiàn)數(shù)的循序逐增規(guī)律和邊線(xiàn)數(shù)的循序逐增規(guī)律，可知:

第一行邊線(xiàn)數(shù)與第二行邊線(xiàn)數(shù)之差是為第二行邊線(xiàn)數(shù)至中線(xiàn)數(shù)的數(shù)列差，即“2k-2-1k-2”之差；

第二行邊線(xiàn)數(shù)與第三行邊線(xiàn)數(shù)之差是為第三行邊線(xiàn)數(shù)至中線(xiàn)數(shù)的數(shù)列差，即“3k-2-2k-2”；

第三行邊線(xiàn)數(shù)與第四行邊線(xiàn)數(shù)之差是為第四行邊線(xiàn)數(shù)至中線(xiàn)數(shù)的數(shù)列差，即“4k-2-3k-2”；

第四行邊線(xiàn)數(shù)與第五行邊線(xiàn)數(shù)之差是為第五行邊線(xiàn)數(shù)至中線(xiàn)數(shù)的數(shù)列差，即“5k-2-4k-2”。此后依次類(lèi)推。2.5 正整數(shù)方冪方陣的規(guī)律模式

根據(jù)上文求得的正整數(shù)方冪方陣的各種數(shù)的循序逐增規(guī)律之定理，可構(gòu)建組成正整數(shù)方冪方陣的規(guī)律模式，見(jiàn)圖7、圖8。

圖7 （正整數(shù)方冪方陣的規(guī)律模式之一）

圖8 （正整數(shù)方冪方陣的規(guī)律模式之二）

那么，依照正整數(shù)方冪方陣的規(guī)律模式可構(gòu)建出正整數(shù)任何次冪（正整數(shù)n＞1，次冪k＞1）的方陣。對(duì)此，筆者無(wú)需舉例贅證。

3 正整數(shù)的“xn+yn=zn”方程式與正整數(shù)方冪矩陣

正整數(shù)的“xn+yn=zn”方程式中的一種數(shù)學(xué)現(xiàn)象：

在正整數(shù)的“xn+yn=zn”方程式中，如將xn、yn、zn三者的次數(shù)由1至2、至3的等式做分析，不難發(fā)現(xiàn)其存在的一種數(shù)學(xué)現(xiàn)象。

事實(shí)告訴我們，當(dāng)xn、yn、zn三者的次數(shù)為1（即n=1）時(shí)，即在“x+y=z（z≥2）”方程式中，任何一個(gè)z（即大于1的正整數(shù)）均可表為兩個(gè)正整數(shù)相加之和，反之，任何兩個(gè)正整數(shù)相加之和均可表為另一個(gè)正整數(shù)。因此，“x+y=z（z≥2）”成立。

事實(shí)還告訴我們，xn、yn、zn三者的次數(shù)為2時(shí)，即在“x2+y2=z2（z≥2）”方程式中，不可能做到任何一個(gè)大于1的正整數(shù)平方（即z2）均可表為兩個(gè)正整數(shù)平方相加之和，比如62、72、82不可能表為一個(gè)正整數(shù)平方加另一個(gè)正整數(shù)平方；反之，也不可能做到任何一個(gè)正整數(shù)平方加一個(gè)正整數(shù)平方等于另一個(gè)正整數(shù)平方（即z2），比如“22+32”、“32+52”、“45+52”，其和不可能等于另一個(gè)正整數(shù)平方。因此，在“x2+y2=z2（z≥2）”方程式中，只是存在部分一個(gè)正整數(shù)平方（即z2）可表為兩個(gè)正整數(shù)平方相加之和，部分一個(gè)正整數(shù)平方加一個(gè)正整數(shù)平方等于另一個(gè)正整數(shù)平方（即z2）。所以，正整數(shù)的“x2+y2=z2（z≥2）”方程式有成立與不成立之分。

事實(shí)和費(fèi)馬定理告訴我們，xn、yn、zn三者的次數(shù)為3時(shí)，即在“x3+y3=z3（z≥2）”方程式中，任何一個(gè)正整數(shù)三次方（即z3）均不可能表為兩個(gè)正整數(shù)三次方相加之和，反之，任何兩個(gè)正整數(shù)三次方相加不可能等于另一個(gè)正整數(shù)三次方（即z3）。因此，正整數(shù)的“x3+y3=z3（z≥2）”不成立

可見(jiàn)，在正整數(shù)的“xn+yn=zn”方程式中，冪的次數(shù)僅是從1至2、至3的增升，其結(jié)果就發(fā)生了“完全成立→部分成立→完全不成立”如此截然不同的質(zhì)的變化。正整數(shù)的“xn+yn=zn”方程式中反映出來(lái)的冪的次數(shù)循序逐增現(xiàn)象，有它的不可理解性。顯然，如從正整數(shù)的“x2+y2=z2”的成立等式和不成立等式的異同之處入手，運(yùn)用方陣等式的方法來(lái)研究它，這對(duì)于另辟蹊徑破解費(fèi)馬定理是有積極意義的。

4 正整數(shù)的“x2+y2=z2”中成立等式與不成立等式的異同

筆者研究結(jié)果表明，在成立的正整數(shù)的“x2+y2=z2”的方陣等式中又分為兩類(lèi)，一類(lèi)是z2方陣的“末行數(shù)列相加之和”等于x2的方陣等式；另一類(lèi)是x2、y2、z23個(gè)方陣是為方陣群的方陣等式，其3個(gè)方陣群是前一類(lèi)方陣等式的3個(gè)方陣分別乘上“n2”而組成。

4.1 z2方陣的“末行數(shù)列相加之和”等于x2的方陣等式的證明

根據(jù)正整數(shù)的“x2+y2=z2”的方程式可知，z2方陣＞x2方陣、y2方陣。筆者依照從小到大的次序，設(shè)定x2方陣＜y2方陣＜z2方陣。那么，在z2方陣的“末行數(shù)列相加之和”等于x2的方陣等式中，x2、y2、z23個(gè)方陣之間存在什么內(nèi)在聯(lián)系呢？為此，請(qǐng)看圖9。

為著證明的表述不發(fā)生混淆，方陣的“同行數(shù)列相加之和”的行次以“z”表示。

從圖9看出，當(dāng)方陣的z行的“同行數(shù)列相加之和”為奇數(shù)平方時(shí)，必定會(huì)產(chǎn)生一個(gè)成立的“x2+y2=z2”的方陣等式。

圖9

如，方陣第5行“同行數(shù)列相加之和”9為32，就產(chǎn)生了“32+42=52”的成立等式，即z2為52，y2為42，x2為32；

再如，方陣第13行“同行數(shù)列相加之和”25為52，就產(chǎn)生了“52+122=132”的成立等式，即z2為132，y2為122，x2為52；

又如，方陣第25行“同行數(shù)列相加之和”49為72，就產(chǎn)生了“72+242=252”的成立等式，即z2為252，y2為242，x2為72。

從圖9中成立的“x2+y2=z2”的方陣等式看出，y2方陣就是z2方陣減去末行數(shù)列而形成的方陣，x2方陣的x2等于z2方陣的“末行數(shù)列相加之和”。據(jù)此，可以說(shuō)，y2方陣和x2方陣是z2方陣分解出來(lái)的兩個(gè)完整的方陣。為此，現(xiàn)對(duì)z2方陣做分解證明。

為便于區(qū)別，將z2方陣的末行元素以“①”來(lái)表示。

例證1 “52=42+32”方陣等式的z2方陣的分解證明

已知 z2方陣為52方陣，z2=52。

第一步 將52方陣的末行數(shù)列分解出去，則為y2方陣，即方陣等式中的42方陣?？梢?jiàn)，(5-1)2=42，表為(z-1)2=y2。

第二步 將52方陣分解出來(lái)的末行數(shù)列組成x2方陣，即方陣等式中的32方陣。可見(jiàn)，52-(5-1)2=32，表為z2-(z-1)2=x2。z2方陣的“末行數(shù)列相加之和”等于x2。

第三步 將z2方陣及分解形成的y2方陣和x2方陣表為方陣等式：

從上方陣等式看出，52方陣=42方陣+32方陣?？梢?jiàn)，“52=42+32”的方陣等式成立。此證。

例證2 “132=122+52”方陣等式的z2方陣的分解證明

已知 z2方陣為132方陣，z2=132。

第一步 將132方陣的末行數(shù)列分解出去，則為y2方陣，即方陣等式中的122方陣?？梢?jiàn)，(13-1)2=122，表為(z-1)2=y2。

第二步 將132方陣分解出來(lái)的末行數(shù)列組成x2方陣，即方陣等式中的52方陣?？梢?jiàn)，132-(13-1)2=52，表為z2-(z-1)2=x2。z2方陣的“末行數(shù)列相加之和”等于x2。

第三步 將z2方陣及分解形成的y2方陣和x2方陣表為方陣等式：

從上方陣等式看出，132方陣=122方陣+52方陣。可見(jiàn)，“132=122+52”的方陣等式成立。此證。

例證3 “252=242+72”方陣等式的z2方陣的分解證明

已知 z2方陣為252方陣（方陣元素以點(diǎn)表示1），z2=252。

第一步 將252方陣的末行數(shù)列分解出去，則為y2方陣，即方陣等式中的242方陣。可見(jiàn)，(25-1)2=242，表為y2=(z-1)2。

第二步 將z2方陣分解出來(lái)的末行數(shù)列組成x2方陣，即方陣等式中的72方陣，可見(jiàn)，252-(25-1)2=72，表為z2-(z-1)2=x2。z2方陣的“末行數(shù)列相加之和”等于x2。

第三步 將z2方陣及分解形成的y2方陣和x2方陣表為方陣等式：

從上方陣等式看出，252方陣=242方陣+72方陣?？梢?jiàn)，“252=242+72”的方陣等式成立。此證。

綜上例證1、例證2、例證3的證明，依照歸納法，可知z2方陣的“末行數(shù)列相加之和”等于x2的方陣等式中的x2、y2、z23個(gè)方陣之間的關(guān)系：

結(jié)論1 y2方陣是z2方陣減去末行數(shù)列后形成的方陣，可表為(z-1)2=y2。

結(jié)論2 x2方陣是由z2方陣的末行數(shù)列組成的方陣，z2方陣的“末行數(shù)列相加之和”等于x2，可表為z2-(z-1)2=x2。

結(jié)論3 z2方陣可分解為2個(gè)小于其的完整的方陣，即為y2方陣和x2方陣，可表為z2=y2+x2=(z-1)2+［z2-(z-1)2］。4.2 x2、y2、z23個(gè)方陣是為方陣群的方陣等式

例證1 “62+82=102”的方陣等式

從“62+82=102”的方陣等式可知，x2方陣為62方陣，而62=(32*22)，表明62方陣是由“22”個(gè)32方陣組成的方陣群；y2方陣為82方陣，而82=(42*22)，表明y2方陣是由“22”個(gè)42方陣組成的方陣群；z2方陣102方陣，而102=(52*22)，表明z2方陣是由“22”個(gè)52方陣組成的方陣群。由此可知，“62+82=102”的方陣等式的3個(gè)方陣，是“32+42=52”的方陣等式的3個(gè)方陣分別乘上“22”而組成的方陣群,即“62+82=102”等于“(32*22)+(42*22)=(52*22)”。又從102方陣可知，其末兩行的“同行數(shù)列相加之和”相加（即17+19）之和為36，而36=62，正是“102-82”（即“z2-y2”）之差。可見(jiàn)，z2-y2=x2?！?2+82=102”的方陣等式成立。

例證2 “92+122=152”的方陣等式

從“92+122=152”的方陣等式可知，x2方陣為92方陣，而92=(32*32)，表明92方陣是由“32”個(gè)32方陣組成的方陣群；y2方陣為122方陣。而122=(42*32)，表明y2方陣是由“32”個(gè)42方陣組成的方陣群；z2方陣為152方陣，而152=(52*32)，表明z2方陣是由“32”個(gè)52方陣組成的方陣群。由此可知，“92+122=152”的方陣等式的3個(gè)方陣，是“32+42=52”的方陣等式的3個(gè)方陣分別乘上“32”而組成的方陣群,即“92+122=152”等于“(32*32)+(42*32)=(52*32)”。又從152方陣可知，其末三行的“同行數(shù)列相加之和”相加（即25+27+29）之和為“81”，而“81”=92，正是“152-122”（即“z2-y2”）之差，可見(jiàn)，z2-y2=x2?！?2+122=152”的方陣等式成立。

綜上例證1、例證2的證明，x2、y2、z23個(gè)方陣為方陣群的方陣等式的特征可歸納為：

特征1 z2、y2、x2此3個(gè)方陣群是z2方陣的“末行數(shù)列相加之和”等于x2的方陣等式的3個(gè)方陣分別乘上“n2”而組成。

特征2 z2方陣減去y2方陣（即“z2-y2”）之差，是正整數(shù)平方,等于x2方陣的x2，可表為x2=z2-y2。

4.3 兩類(lèi)正整數(shù)的“x2+y2=z2”中成立等式的關(guān)系及共同特征

從上證明可知，z2方陣的“末行數(shù)列相加之和”等同于x2的方陣等式，與x2、y2、z23個(gè)方陣為方陣群的方陣等式具有源與流的關(guān)系。后者的z2、y2、x23個(gè)方陣為前者的z2、y2、x23個(gè)方陣分別乘上“n2”而組成的方陣群。據(jù)此，在已知前者的3個(gè)方陣的條件下，同時(shí)乘上“n2”，可知后者的z2、y2、x23個(gè)方陣群，求得后者的“x2+y2=z2”的成立等式。見(jiàn)圖10。

從圖10看出，z2方陣的“末行數(shù)列相加之和”等于x2的方陣等式存在，那么，x2、y2、z2為方陣群的方陣等式必定存在。可見(jiàn)，前者衍生后者，后者延伸前者，兩者是源與流的關(guān)系，是一脈相承的同一本質(zhì)的方陣等式。正因?yàn)槿绱?，所以，在兩者的“x2+y2=z2”的方陣等式中，不論是x2=z2-y2，還是y2=z2-x2都是成立的。而這，正是兩類(lèi)正整數(shù)的“x2+y2=z2”的成立等式的共同特征。

圖10

遵循正整數(shù)方冪方陣的循序逐增規(guī)律，根據(jù)“x2+y2=z2”方陣等式中x2、y2、z23個(gè)方陣之間的關(guān)系，可設(shè)定，z2方陣是存在的已知方陣，y2方陣也是存在的已知方陣（即為“(z-1)2方陣”），而未知的則是x2方陣，即z2方陣的“末行數(shù)列相加之和”（即“z2-(z-1)2”之差）是否等于x2。基于這一解讀，在求證正整數(shù)的“x2+y2=z2”的等式時(shí)，只需求證z2方陣的“末行數(shù)列相加之和”是否等于x2這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)便見(jiàn)分曉，而無(wú)需作更多的證明。

4.4 正整數(shù)的“x2+y2=z2”不成立等式的根本原因

例證1 62=52+x2等式的z2方陣的分解證明

已知 z2方陣為62方陣（見(jiàn)圖11），62方陣減去末行數(shù)列而形成的y2方陣為52方陣(即(6-1)2=52)；需求證的是62方陣的“末行數(shù)列相加之和”（即“62-(6-1)2”）是否等于x2。

圖11

從62方陣可知，其“末行數(shù)列相加之和”為62-(6-1)2=11≈3.1662，不是正整數(shù)平方。而由62方陣的末行數(shù)列(元素)組成的x2方陣（見(jiàn)圖12），處于32余2、42缺5之狀態(tài)，是不完整的正整數(shù)2次冪方陣?？梢?jiàn)，62方陣分解的兩個(gè)方陣，y2方陣為52方陣成立，而x2方陣是不完整的方陣。所以，62=52+x2等式作為正整數(shù)的“x2+y2=z2”等式是不成立的等式。此證。

圖12

例證2 72=62+x2等式的z2方陣的分解證明

已知 z2方陣為72方陣（見(jiàn)圖13），72方陣減去末行數(shù)列而形成的y2方陣為62方陣（即“(7-1)2=62”），需求證的是72方陣的“末行數(shù)列相加之和”（即“72-(7-1)2”之差）是否等于x2。

圖13

圖14

從72方陣可知，其“末行數(shù)列相加之和”為72-(7-1)2=13≈3.60562，不是正整數(shù)平方。而由62方陣的末行數(shù)列(元素)組成的x2方陣（見(jiàn)圖14），處于32余4、42缺3之狀態(tài)，是不完整的正整數(shù)2次冪方陣。可見(jiàn)，72方陣分解的兩個(gè)方陣，y2方陣為62方陣成立，而x2方陣是不完整的方陣。所以，72=62+x2等式作為正整數(shù)的“x2+y2=z2”等式是不成立的等式。此證。

綜合例證1、例證2的證明，得出結(jié)論:正整數(shù)的“x2+y2=z2”不成立等式的根本原因,在于z2方陣的“末行數(shù)列相加之和”（即“z2-(z-1)2”之差）不可表為正整數(shù)的平方，z2方陣只能分解為一個(gè)完整的y2方陣和一個(gè)不完整的x2方陣。

4.5 正整數(shù)的“x2+y2=z2”的成立等式與不成立等式的區(qū)別

從以上的方陣等式證明可知，正整數(shù)的“x2+y2=z2”的成立等式與不成立等式的區(qū)別主要在于z2方陣的“末行數(shù)列相加之和”（即“z2-(z-1)2”之差）是否等于x2，成立的等式，z2-(z-1)2=x2（包括x2、y2、z2分別乘上“n2”后的“x2=z2-y2”），x2的x是正整數(shù)；不成立的等式，則z2-(z-1)2≠x2（包括x2、y2、z2分別乘上“n2”后的“x2≠z2-y2”），x2的x不是正整數(shù)。這種區(qū)別，還反映在方陣的“同行數(shù)列相加之和”與“相加之和累加得數(shù)”的兩種數(shù)字之關(guān)系的不同。成立的等式，因z2方陣的“同行數(shù)列相加之和”的平方根是正整數(shù)，所以，在“相加之和累加得數(shù)”中存在其等同數(shù)；不成立的等式，因z2方陣的“同行數(shù)列相加之和”的平方根不是正整數(shù)，所以，在“相加之和累加得數(shù)”中不存在其等同數(shù)。

4.6 結(jié)論

綜上正整數(shù)的“x2+y2=z2”的方陣等式的證明，得出結(jié)論：

結(jié)論1 在正整數(shù)的“x2+y2=z2”的方陣等式中，z2方陣是方陣等式的核心方陣，是設(shè)定的已知方陣?？赏ㄟ^(guò)已知的z2方陣，推知y2方陣的y2=(z-1)2，x2方陣的x2=z2-(z-1)2。

結(jié)論2 z2方陣的“末行數(shù)列相加之和”（即z2-(z-1)2）是組成x2方陣的元素，是方陣等式的關(guān)鍵要素。

結(jié)論3 “x2=z2-(z-1)2”的x為正整數(shù)是方陣等式成立的必要條件，是求證方陣等式是否成立的關(guān)鍵點(diǎn)。

5 對(duì)費(fèi)馬定理的證明

1995年英國(guó)數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯與其學(xué)生理查·泰勒應(yīng)用橢圓曲線(xiàn)的原理對(duì)費(fèi)馬定理做出了證明。筆者認(rèn)為，費(fèi)馬定理是一個(gè)關(guān)于正整數(shù)方冪之間關(guān)系的方程式命題，應(yīng)用正整數(shù)方冪方陣的原理對(duì)其做出證明，這似乎更合乎該命題的題意。基于這個(gè)觀點(diǎn)，筆者嘗試運(yùn)用方陣等式的證明方法，從費(fèi)馬定理不成立的必要條件的角度，對(duì)費(fèi)馬定理進(jìn)行論證。

5.1 費(fèi)馬定理的另一種表述

四川科學(xué)技術(shù)出版社于1985年出版的《古今數(shù)學(xué)趣話(huà)》一書(shū)的《能下金蛋的母雞——“費(fèi)馬猜測(cè)”古今談》對(duì)費(fèi)馬定理的原本內(nèi)容是這樣表述的：“不可能把一個(gè)整數(shù)的立方表為兩個(gè)整數(shù)的立方和，也不可能把一個(gè)整數(shù)的四次冪表為兩個(gè)整數(shù)的四次冪和。一般來(lái)說(shuō)，不可能把任意一個(gè)次數(shù)大于2的整數(shù)的方冪，表為兩個(gè)整數(shù)的同次方冪之和?！庇矛F(xiàn)代的專(zhuān)業(yè)用語(yǔ)來(lái)說(shuō)，就是當(dāng)n＞2時(shí)，不定方程：

xn+yn=zn不存在正整數(shù)解。

筆者認(rèn)為，上段文字關(guān)于費(fèi)馬定理的內(nèi)容，用正整數(shù)方冪方陣的原理的語(yǔ)言來(lái)表述，則為：

不可能把一個(gè)整數(shù)的立方的方陣表為兩個(gè)整數(shù)的立方的方陣，也不可能把一個(gè)整數(shù)的四次冪的方陣表為兩個(gè)整數(shù)的四次冪的方陣。一般來(lái)說(shuō)，不可能把任意一個(gè)次數(shù)大于2的整數(shù)的方冪的方陣，表為兩個(gè)整數(shù)的同次方冪之方陣。其不定方陣等式為

xn方陣+yn方陣=zn方陣 n＞2時(shí)不存在正整數(shù)解。

圖15

5.2 對(duì)“xn+yn≠zn”（n≥3）的證明

根據(jù)對(duì)正整數(shù)的“x2+y2=z2”的方陣等式的證明結(jié)論，遵循正整數(shù)方冪方陣的循序逐增原理，在正整數(shù)次冪n＞2的“xn+yn=zn”的方陣等式中，同樣zn方陣是設(shè)定的已知方陣，yn方陣為zn方陣減去末行數(shù)列而形成的方陣﹝即yn=(z-1)n﹞，是可推知的方陣，而xn方陣的“xn=zn-(z-1)n”x為正整數(shù)是方陣等式成立的必要條件，zn方陣的“末行數(shù)列相加之和”是否等于xn，是求證方陣等式是否成立的關(guān)鍵點(diǎn)。對(duì)此，既可從方陣的“同行數(shù)列相加之和”的數(shù)字中有無(wú)與“相加之和累加得數(shù)”等同的數(shù)予以驗(yàn)證，也可直接對(duì)“xn=zn-(z-1)n”做出證明。

5.2.1 方陣的“同行數(shù)列相加之和”中無(wú)與“相加之和累加得數(shù)”等同的數(shù)

事實(shí)證明，在正整數(shù)次冪n＞2后，方陣的“同行數(shù)列相加之和”中（“1”除外，下同）不存在有與“相加之和累加得數(shù)”等同的數(shù)。請(qǐng)看圖15。

圖15是正整數(shù)1至11、次冪為3至7的方陣的“同行數(shù)列相加之和”和“相加之和累加得數(shù)”的統(tǒng)計(jì)表。從該表看出，在正整數(shù)的3次冪、4次冪、5次冪、6次冪、7次冪的方陣的兩種數(shù)字中，2至11行的“同行數(shù)列相加之和”中均不存在有與“累加得數(shù)”等同的數(shù)。據(jù)此，得出結(jié)論：在正整數(shù)次冪n＞2后，方陣的“同行數(shù)列相加之和”的數(shù)字中（1除外）不存在有與“相加之和累加得數(shù)”等同的數(shù)。

5.2.2 對(duì)“xn=zn-(z-1)n”的“x”是不是正整數(shù)的證明

筆者研究結(jié)果表明，在正整數(shù)次冪n＞2后，之所以方陣的“同行數(shù)列相加之和”中不存在有與“相加之和累加得數(shù)”等同的數(shù)，這是因?yàn)?，“xn=zn-(z-1)n”等式中的“x”不是正整數(shù)。

例證1 以正整數(shù)的3次冪方陣的“同行數(shù)列相加之和”為例

綜上實(shí)例證明，得出結(jié)論，在“x3=z3-(z-1)3”等式中，在z為正整數(shù)的條件下，“x”不是正整數(shù)，即“z3=y3+x3”不存在正整數(shù)解。此證。

例證2 以正整數(shù)4次冪方陣的“同行數(shù)列相加之和”為例

綜上實(shí)例證明，得出結(jié)論，在“x4=z4-(z-1)4”等式中，在z為正整數(shù)的條件下，“x”不是正整數(shù)，即“z4=y4+x4”不存在正整數(shù)解。此證。

例證3 以正整數(shù)5次冪方陣的“同行數(shù)列相加之和”為例

綜上實(shí)例證明，得出結(jié)論，在“x5=z5-(z-1)5”等式中，在z為正整數(shù)的條件下，“x”不是正整數(shù)，即“z5=y5+x5”不存在正整數(shù)解，此證。

依照歸納法，得出結(jié)論：在“xn=zn-(z-1)n”等式中，在z為正整數(shù)的條件下，“x”不是正整數(shù)。因此，“zn=yn+xn”不存在正整數(shù)解。所以，費(fèi)馬定理成立。此證。

5.2.3 對(duì)“xn=zn-(z-1)n”等式是否成立的證明

在z、x均為正整數(shù)的條件下，“xn=zn-(z-1)n”等式是否成立呢?現(xiàn)予以證明。

設(shè)定“z2=y2+x2”是成立的正整數(shù)2次冪的方陣等式。據(jù)此，次冪n＞2時(shí)，依照正整數(shù)方冪方陣的原理，“zn=yn+xn”可表為：

z2*zn-2=(y2*yn-2)+(x2*xn-2)

正整數(shù)方冪方陣的循序逐增原理告訴我們，在正整數(shù)次冪n＞2時(shí)，不論正整數(shù)z及方冪如何升增，“z2*zn-2=zn”都是成立的。而作為zn方陣減去末行數(shù)列而形成的yn方陣，不論zn方陣的z及n如何升增，其“yn=(z-1)2*(z-1)n-2”（即“(z-1)n=(z-1)2*(z-1)n-2）”）都是成立的。(如，設(shè)zn=53，已知z=5，n=3，那么，yn=(z-1)2*(z-1)n-2=(5-1)2*(5-1)3-2=42*4=43;又如，設(shè)zn=67，已 知z=6，n=7，那 么，yn=(z-1)2*(z-1)n-2=(6-1)2*(6-1)7-2=52*55=57。)

那么，當(dāng)zn方陣的n＞2時(shí)，其“zn-(z-1)n=xn”是否成立呢。對(duì)此，將該等式分為“zn-(z-1)n”（zn方陣的“末行數(shù)列相加之和”）和“xn”（即xn方陣的xn）兩部分來(lái)解讀，q并做出證明。

依照zn方陣的zn=z2*zn-2的表達(dá)方式，zn方陣的末行數(shù)列相加之和“zn-(z-1)n”則可表為：（z2*zn-2）-[(z-1)2*(z-1)n-2]

例證1 設(shè)z2=y2+x2為52=42+32，現(xiàn)求證zn方陣為53方陣時(shí)，“zn-(z-1)n=xn”是否成立。

已知 z=5，n=3。那么，將“z=5，n=3”套入“（z2*zn-2）-[(z-1)2*(z-1)n-2]”得:

可見(jiàn),53-43≠33，zn-(z-1)n≠xn。所以，“zn-(z-1)n=xn”不成立。此證。

例證2 設(shè)z2=y2+x2為132=122+52，現(xiàn)求證zn方陣為135方陣時(shí)，“zn-(z-1)n=xn”是否成立。

已知z=13，n=5。那么，將“z=13，n=5”套入“（z2*zn-2）-[(z-1)2*(z-1)n-2]”得:(132*135-2)-[(13-1)2*(13-1)5-2]=135-125=371293-248832=122461可見(jiàn),135-125≠55，zn-(z-1)n≠xn。所以，“zn-(z-1)n=xn”不成立。此證。例證3 設(shè)z2=y2+x2為252=242+72，現(xiàn)求證zn方陣為254方陣時(shí)，“zn-(z-1)n=xn”是否成立。

已知z=25，n=4。那么，將“z=25，n=4”套入“（z2*zn-2）-[(z-1)2*(z-1)n-2]”得:

綜例證1、例證2、例證3的證明，依照歸納法，得出結(jié)論：當(dāng)正整數(shù)次冪n＞2時(shí)，因?yàn)閦n-(z-1)n≠xn，所以，“zn-(z-1)n=xn”不成立。當(dāng)正整數(shù)次冪n＞2時(shí)，因?yàn)椤皕n-(z-1)n=xn”不成立，所以，“zn=yn+xn”也不成立。此證。

5.3 總的證明結(jié)論

事實(shí)上，根據(jù)“xn方陣+yn方陣=zn方陣”成立等式的必要條件和費(fèi)馬定理給出的“同次方冪”的原則，用逆向思維方式去思考，不難明白，對(duì)費(fèi)馬定理的證明，其實(shí)就是對(duì)“（x2*xn-2）+（y2*yn-2）≠z2*zn-2”做出證明。現(xiàn)證明如下：

同 理，∵zn-2＞yn-2，∴（y2*yn-2）÷zn-2＜y2，亦 即（y2*yn-2）＜（y2*zn-2），或 是（y2*yn-2）≠（y2*zn-2）。

由此得出結(jié)論：（x2*xn-2）+（y2*yn-2）≠z2*zn-2。所以，費(fèi)馬定理成立。此證。

［1］張爾光.正整數(shù)的方冪的方陣與費(fèi)馬定理——費(fèi)馬定理不成立的必要條件[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2012,23:115-119.