薛 薇，肖 慧，徐進(jìn)康，賈紅艷

(天津科技大學(xué)電子信息與自動(dòng)化學(xué)院，天津 300457)

一個(gè)分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)及其在圖像加密中的應(yīng)用

薛 薇，肖 慧，徐進(jìn)康，賈紅艷

(天津科技大學(xué)電子信息與自動(dòng)化學(xué)院，天津 300457)

對(duì)一個(gè)同量分?jǐn)?shù)階超混沌Qi系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析，繪制了該分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的相軌跡圖、Poincaré截面映射圖、Lyapunov指數(shù)譜圖和分岔圖，仿真結(jié)果驗(yàn)證了該分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的混沌特性．在此基礎(chǔ)上，將該分?jǐn)?shù)階超混沌Qi系統(tǒng)應(yīng)用于數(shù)字圖像加密，并對(duì)密文的直方圖、相鄰像素相關(guān)性、密鑰敏感性等進(jìn)行分析．結(jié)果表明：基于分?jǐn)?shù)階超混沌Qi系統(tǒng)的圖像加密算法具有密鑰空間大、安全性高等特點(diǎn)．

分?jǐn)?shù)階；超混沌Qi系統(tǒng)；仿真分析；圖像加密

1963年，Lorenz[1]提出了著名的Lorenz混沌系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型及混沌理論的基本特征．之后，許多學(xué)者相繼提出一些新的混沌系統(tǒng)，如Chen系統(tǒng)[2]、Lü系統(tǒng)[3]、Liu系統(tǒng)[4]、Qi系統(tǒng)[5]等，使得混沌動(dòng)力學(xué)在非線性研究領(lǐng)域取得了重大的發(fā)展．由于混沌系統(tǒng)具有內(nèi)隨機(jī)性、不可預(yù)測(cè)性、寬帶特性、遍歷性以及對(duì)初始條件和系統(tǒng)參數(shù)的極端敏感性等，因此，混沌系統(tǒng)及其應(yīng)用研究引起學(xué)者們極大的研究熱情．尤其是近年來(lái)，隨著分?jǐn)?shù)階微積分理論的發(fā)展和應(yīng)用，一些學(xué)者將分?jǐn)?shù)階微積分算子引入混沌系統(tǒng)中，生成分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)并對(duì)其進(jìn)行研究[6–9]．研究表明，當(dāng)混沌系統(tǒng)為分?jǐn)?shù)階時(shí)，系統(tǒng)仍然能呈現(xiàn)出混沌狀態(tài)，且更能反映系統(tǒng)所呈現(xiàn)的實(shí)際物理現(xiàn)象[10–11]．因此，研究分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)及其在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用更具有普適性和實(shí)用價(jià)值．

混沌變換所具有的對(duì)參數(shù)和初值的敏感性等基本特性及其與密碼學(xué)的天然關(guān)系早在Shannon[12]的經(jīng)典文獻(xiàn)中就已提到，并據(jù)此提出了密碼學(xué)中用于指導(dǎo)密碼設(shè)計(jì)的2個(gè)基本原則：擴(kuò)散和混亂．現(xiàn)在混沌動(dòng)力學(xué)正由數(shù)學(xué)和物理的基礎(chǔ)理論研究逐步過(guò)渡到實(shí)際的工程應(yīng)用領(lǐng)域，并得到了很大發(fā)展，例如混沌理論可用在保密通信、圖像加密等信息領(lǐng)域[13–15]．

自Matthews[16]提出混沌加密思想以來(lái)，有關(guān)混沌密碼和混沌保密通信方案的研究逐步成為研究熱點(diǎn)．以往研究混沌加密技術(shù)大多數(shù)基于低維整數(shù)階混沌系統(tǒng)，雖然低維混沌系統(tǒng)由于形式簡(jiǎn)單而具有計(jì)算時(shí)間短的優(yōu)點(diǎn)，但其密鑰空間小、序列的復(fù)雜度不高，導(dǎo)致密碼系統(tǒng)的安全性不高．而高維混沌系統(tǒng)尤其是超混沌系統(tǒng)，由于具有4個(gè)及以上的狀態(tài)變量，因此密鑰空間更大，這些特點(diǎn)使得超混沌系統(tǒng)用于圖像加密會(huì)提高系統(tǒng)的安全性．隨著人們對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)研究的深入，發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)除具有整數(shù)階混沌系統(tǒng)對(duì)初值敏感性、偽隨機(jī)性等優(yōu)良特性外，還具有分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)所特有的一些性質(zhì)，如能夠反映系統(tǒng)的歷史信息、很強(qiáng)的歷史記憶性等[17]．分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)增強(qiáng)了系統(tǒng)的非線性和復(fù)雜性，可增大密碼系統(tǒng)的密鑰空間[18]．并且，利用現(xiàn)有的整數(shù)階混沌分析和預(yù)測(cè)方法并不能估計(jì)出分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階次，即現(xiàn)有的整數(shù)階混沌系統(tǒng)分析和預(yù)測(cè)方法對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)失效．因此，有必要探索研究基于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的數(shù)字圖像加密方法．考慮到Qi系統(tǒng)與Chen系統(tǒng)、Liu系統(tǒng)等系統(tǒng)相比較，數(shù)學(xué)模型在不增加復(fù)雜度的情況下，既可以產(chǎn)生兩翼的混沌吸引子，又可以產(chǎn)生四翼的混沌吸引子，其動(dòng)力學(xué)特性更為復(fù)雜．所以，本文針對(duì)一個(gè)同量分?jǐn)?shù)階超混沌Qi系統(tǒng)及其在圖像加密中的應(yīng)用進(jìn)行研究．

1 分?jǐn)?shù)階超混沌Qi系統(tǒng)的數(shù)值分析

文獻(xiàn)[19]中提出了超混沌Qi系統(tǒng)，這個(gè)四維超混沌系統(tǒng)是通過(guò)對(duì)文獻(xiàn)[5]中的混沌系統(tǒng)引入一個(gè)線性反饋控制器得到的．本文在文獻(xiàn)[19]的基礎(chǔ)上，分析同量分?jǐn)?shù)階超混沌Qi系統(tǒng)，數(shù)學(xué)模型如下：

其中0＜q＜1．當(dāng)a=15，b=40，c=?5，d=20，e=5，f=50時(shí)，可繪制式(1)系統(tǒng)隨階次q變化的分岔圖如圖1所示．

從圖1中可以看出q∈[0.761,1]時(shí)，式(1)系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌態(tài)，這里選取q=0.9，對(duì)3.6階超混沌Qi系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析和研究．

圖1 式(1)系統(tǒng)隨q變化的分岔圖Fig.1 Bifurcation diagram of system shown by equation (1) on x axis with parameter q

1.1 相軌跡圖

當(dāng)取參數(shù)a=15，b=40，c=?5，d=20，e=5，f=50，q=0.9時(shí)，分?jǐn)?shù)階超混沌Qi系統(tǒng)的相軌跡如圖2所示．

圖2 式(1)系統(tǒng)的相軌跡圖Fig.2 Phase portraits of the system shown by equation (1)

1.2 Lyapunov指數(shù)及分岔圖

Lyapunov指數(shù)(L)可以表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特征，它沿某一方向取值的正負(fù)和大小，表示系統(tǒng)長(zhǎng)時(shí)間在吸引子中相鄰軌道沿該方向平均發(fā)散(L＞0)或收斂(L＜0)的快慢程度．對(duì)于超混沌系統(tǒng)必然存在2個(gè)或2個(gè)以上正的Lyapunov指數(shù)．該分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)隨參數(shù)a變化的Lyapunov指數(shù)譜圖和分岔圖分別如圖3和圖4所示．

圖3 式(1)系統(tǒng)隨參數(shù)a變化的Lyapunov指數(shù)譜圖Fig.3 Lyapunov exponent diagrams of system shown by equation (1) with parameter a

由圖3和圖4可以看出，式(1)系統(tǒng)隨參數(shù)a變化時(shí)的分岔圖與其對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)譜圖一致．此外，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)L4始終小于－10，為了方便觀察，y軸截取為[?10,10]，如圖3(b)所示．當(dāng)a=15時(shí)，L1=2.199，L2=0.4077，L3=0，L4=?44.64，該系統(tǒng)是超混沌的．隨著參數(shù)a的改變，式(1)系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性將會(huì)發(fā)生改變，從而系統(tǒng)也將處于不同的狀態(tài)．a(chǎn)分別取15、16、35時(shí)，式(1)系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌、周期、擬周期等不同的動(dòng)力學(xué)特性，相軌跡如圖5所示．

圖4 式(1)系統(tǒng)隨參數(shù)a變化在x方向上的分岔圖(a∈[0,60])Fig.4 Bifurcation diagram of the system shown by equation (1) on x axis with parameter a(a∈[0,60])

圖5 系統(tǒng)(1)在參數(shù)a取不同值時(shí)的相軌跡圖Fig.5 Phase portraits of system (1) with different a

1.3 Poincaré截面

當(dāng)a=15時(shí)，式(1)系統(tǒng)在x=25和y=10處兩個(gè)截面上的Poincaré映射見(jiàn)圖6，Poincaré截面是一些具有分形特征的密集點(diǎn)，說(shuō)明系統(tǒng)是混沌或超混沌的.

圖6 式(1)系統(tǒng)的Poincaré映射圖Fig.6 Poincaré map of the system shown by equation (1)

2 分?jǐn)?shù)階超混沌Qi系統(tǒng)在圖像加密中的應(yīng)用

2.1 彩色圖像的加密與解密

彩色圖像是由RGB三基色來(lái)描述的，即圖像在計(jì)算機(jī)中的存儲(chǔ)是m×n×3的矩陣形式，而分?jǐn)?shù)階超混沌Qi系統(tǒng)是一個(gè)四維連續(xù)自治系統(tǒng)．因此，采用一維時(shí)域亂序加密再三維空域加密的算法．加密與解密流程見(jiàn)圖7．

圖7 加密與解密流程圖Fig.7 Flow chart of encryption and decryption

最后得到彩色圖像的加密結(jié)果如圖8(a)所示，解密結(jié)果如圖8(b)所示．

圖8 原始圖像的加密與解密結(jié)果Fig.8 Results of encryption and decryption

2.2 算法安全性分析

2.2.1 密鑰敏感性分析

取系統(tǒng)參數(shù)q=0.9，a=15，b=40，c=?5，d=20，f=50，系統(tǒng)初始值x0=y0=z0=w0=0.1為密鑰，對(duì)圖像進(jìn)行加密．當(dāng)輸入正確的密鑰時(shí)，可解密成功得到正確的解密圖像如圖8(b)所示，圖9為將初始值改為x0=y0=z0=w0=0.100 000 000 001，其他參數(shù)值不變時(shí)，解密失敗的圖像．可以看出：很微小的密鑰變化也不能成功解密圖像，測(cè)試結(jié)果表明該加密系統(tǒng)對(duì)密鑰具有較高的敏感性．

圖9 錯(cuò)誤密鑰解密結(jié)果Fig.9 Decryption result of the wrong key

2.2.2 直方圖分析

圖10為加密前后R基色分量的灰度直方圖，描述圖像中各灰度級(jí)的像素個(gè)數(shù)．可以看出：加密前各灰度級(jí)的像素分布波動(dòng)較大，波峰波谷間差值較大；加密后各灰度級(jí)的像素分布比較均勻，各灰度級(jí)的像素出現(xiàn)的頻率基本相同，很好地掩蓋了原圖像的分布規(guī)律，能夠很好地抵抗統(tǒng)計(jì)分析的攻擊．

圖10 圖像加密前后R基色的直方圖Fig.10 Histograms before and after image encryption

2.2.3 相鄰像素的相關(guān)性分析

分別從原始圖像和加密后圖像中任取一行、一列像素點(diǎn)進(jìn)行相鄰像素相關(guān)系數(shù)計(jì)算，求得圖像在水平、垂直相鄰像素的相關(guān)系數(shù)見(jiàn)表1．由表1結(jié)果可知：此算法的加密信號(hào)具有較好的擴(kuò)散和混淆．原始圖像的相鄰像素的相關(guān)系數(shù)接近1，具有高度相關(guān)性．而加密后的相關(guān)性系數(shù)接近0，相鄰像素已基本不相關(guān)．因此，該算法對(duì)統(tǒng)計(jì)分析的攻擊具有更好的安全性．

表1 相鄰像素的相關(guān)系數(shù)Tab.1 The correlation of adjacent pixels

3 結(jié) 語(yǔ)

本文分析了同量分?jǐn)?shù)階超混沌Qi系統(tǒng)的混沌特性，計(jì)算并繪制了該分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)圖、分岔圖、Poincaré截面映射圖等，驗(yàn)證了該分?jǐn)?shù)階超混沌吸引子的存在性．最后，將該分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)應(yīng)用于彩色圖像加密，采用一維時(shí)域亂序加密三維空域再加密的算法，利用所提出的分?jǐn)?shù)階超混沌Qi系統(tǒng)對(duì)數(shù)字圖像進(jìn)行加密，并對(duì)該算法的安全性進(jìn)行分析．分析表明，該算法具有密鑰敏感性強(qiáng)、密文分布均勻、密文相鄰像素的相關(guān)性低等特點(diǎn)，說(shuō)明了分?jǐn)?shù)階超混沌Qi系統(tǒng)在圖像加密中的應(yīng)用具有較好的前景．

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責(zé)任編輯：常濤

A Fractional-order Hyper-chaotic System and its Application in Image Encryption

XUE Wei，XIAO Hui，XU Jinkang，JIA Hongyan
(College of Electronic Information and Automation，TIanjin University of Science & Technology，Tianjin 300457，China)

A commensurate fractional-order hyper-chaotic Qi system was analyzed by means of numerical simulation including drawing its phase portraits，Poincaré maps，Lyapunov exponent spectra and bifurcation diagrams.Simulation results verified the chaotic characteristics of the fractional order system.After that the application of the fractional-order hyperchaotic Qi system to image encryption was investigated，and the histogram，adjacent pixels correlation，key sensitivity of the ciphertext were analyzed.Results show that the algorithm of image encryption based on fractional hyper-chaotic Qi system has a large key space and high security.

fractional-order；hyper-chaotic Qi system；simulation analysis；image encryption

TN919.82

A

1672-6510(2015)05-0067-05

10.13364/j.issn.1672-6510.20140157

2014–12–05；

2015–02–04

國(guó)家自然科學(xué)基金青年基金資助項(xiàng)目(11202148)

薛 薇（1963—），女，河北河間人，教授，xuewei@tust.edu.cn.

數(shù)字出版日期：2015-05-08；數(shù)字出版網(wǎng)址：http://www.cnki.net/kcms/detail/12.1355.N.20150508.1454.001.html.