天文學(xué)家怎樣計算節(jié)氣

□ 蕭耐園

天文學(xué)家怎樣計算節(jié)氣

□ 蕭耐園

本刊2014年11月號刊登題為“節(jié)氣在公歷日期的哪一天”的文章，文中給出兩個計算二十四節(jié)氣中任一節(jié)氣的公式。此文的目的在于通過這些公式的計算，以具體的例子和數(shù)值來直觀地說明為什么任何一個節(jié)氣的公歷日期并不固定，經(jīng)過若干年會漂移1日，經(jīng)過更多的年份后，甚至飄移2日。不過我們要說明的是，讀者諸君在閱讀了此文以后，千萬別以為天文學(xué)家就是用這兩個公式來計算節(jié)氣所在的日期和時刻。那么，事實上天文學(xué)家是怎樣計算節(jié)氣的呢？

節(jié)氣計算關(guān)鍵詞一：視位置

中國科學(xué)院紫金山天文臺編算的《中國天文年歷》（以下簡稱《年歷》）關(guān)于節(jié)氣的計算是這么說的：“節(jié)氣由太陽視位置決定，太陽視黃經(jīng)為270o時是冬至，以后每隔15o是一個節(jié)氣。所載節(jié)氣時刻，系東經(jīng)120o標(biāo)準(zhǔn)時?！?/p>

不同季節(jié)太陽的升落

在這段話里我們要注意的關(guān)鍵詞是“太陽視位置”和與之相關(guān)的“視黃經(jīng)”。凡是我們在天空上看到的任何天體都能有它的視位置?！耙暋钡囊馑际堑孛嫔系挠^測者以他的視線把天體直接投影在天球上，在直觀上（當(dāng)然也指通過望遠鏡）所看到的；“位置”的意思在天文學(xué)上特指天體在天球上的投影在某一特定瞬時的天球坐標(biāo)系里的兩個球面坐標(biāo)，例如在赤道坐標(biāo)系里的赤經(jīng)和赤緯，或在黃道坐標(biāo)系里的黃經(jīng)和黃緯，等等。太陽視位置是指當(dāng)?shù)厍颦h(huán)繞太陽公轉(zhuǎn)，某一瞬時在軌道上的相應(yīng)一點，地面上的觀測者去觀測太陽，視線把太陽投影在天球上計量所得的球面坐標(biāo)。所謂地球“在軌道上的一點”是指它在宇宙空間與太陽的相對位置。地球在太陽強大引力的作用下，按照開普勒行星運動定律所揭示的規(guī)律運動（通常稱之為開普勒運動），人們據(jù)此能算出它任何瞬時相對于太陽的空間位置，并進而計算太陽（投影）在天球上的球面坐標(biāo)。從上面引用的話可知就計算節(jié)氣的時刻來說，太陽的球面坐標(biāo)只需視黃經(jīng)。

節(jié)氣計算關(guān)鍵詞二：攝動

但是，上面所說的開普勒運動只是問題的一個方面，另一方面，地球同時還受到月球和各大行星的引力作用。這些引力與太陽引力相比，要微弱得多，在天文學(xué)上稱為“攝動”。攝動的影響雖小，在精確的測量或計算中卻不能忽略。施加攝動的天體（施攝天體）與地球的距離和方向每時每刻都在變化，所以攝動的計算十分煩復(fù)。大體上來說，首先要從各個施攝天體的軌道要素出發(fā)計算出它們的（球面）位置和到地球的距離，其次根據(jù)它們的質(zhì)量、距離和位置計算它們對地球施加的引力的大小和方向，然后計算這些引力的總和對地球空間位置的影響。把這部分影響加到做開普勒運動的地球位置上去，才能得到地球相對于太陽的真實位置。

《年歷》關(guān)于太陽位置以及計算攝動用的月球和行星的位置的來源也有說明，即從“2014年起采用DE421”。紫金山天文臺歷算室在編算每一年的《年歷》時，從DE421取得原始數(shù)據(jù)，用一個相當(dāng)復(fù)雜的程序計算“太陽表”里所列的各個參量，其中就有太陽黃經(jīng)，每天列出1個數(shù)值。我們知道，太陽在天球上沿著黃道做周年視運動，太陽黃經(jīng)每過1天，幾乎增加1°。太陽黃經(jīng)的數(shù)值，不僅每天在變，而且每時每刻在變。所以表列的數(shù)值，還必須標(biāo)明這個數(shù)值對應(yīng)于這天的哪個時刻。表中標(biāo)明“以力學(xué)時0h（時）為準(zhǔn)”。力學(xué)時是國際天文學(xué)聯(lián)合會決議于1984年采用的一種均勻的時間系統(tǒng)，其中考慮了天體運行中的相對論效應(yīng)。它與我們?nèi)粘２捎玫膮f(xié)調(diào)世界時，有確定的換算關(guān)系。在2015年，力學(xué)時比協(xié)調(diào)世界時超前68秒。若大致上把這個超前作為為1分，可以認為表列值對應(yīng)于每天的世界時23時59分，這個時刻對應(yīng)于上述“東經(jīng)120°標(biāo)準(zhǔn)時”，也就是北京時間，則是7時59分。

小貼士：DE421簡介

DE421是一本星歷表的簡稱。星歷表是記載太陽系天體，包括太陽（實質(zhì)上是地球）、行星和它們的衛(wèi)星（包括月球）、主要小行星等在天球上的位置以及相關(guān)參數(shù)（例如它們的軌道要素、質(zhì)量、半徑等）的表冊。DE系列星歷表是美國噴氣推進實驗室（Jet Propulsion Laboratory，JPL）利用現(xiàn)代地面測量技術(shù)[包括激光測月（LLR）、甚長基線干涉測量（VLBI）和雷達測距（RR）]以及太陽系空間探測獲得的資料為基礎(chǔ)，根據(jù)計及相對論效應(yīng)的力學(xué)模型編制的。這個系列最初的星歷表可追溯到上世紀(jì)70年代，如編制于1975年11月的DE96，以后不斷地利用新的測量資料加以改進，陸續(xù)有新版本問世。重要的有DE200，創(chuàng)制于1981年9月，曾經(jīng)在國際上被廣泛長期地使用，后來被1997年5月編制的DE405取代。2007年8月，更精密的DE418編制完成。

DE421是于2008年2月編制完成的，它對DE418做了進一步改進，是當(dāng)前精度最高的星歷表。其中所載月球軌道位置的精度優(yōu)于1米（相對于地月距離384400千米，相對誤差相當(dāng)于十億分之一），是根據(jù)LLR的資料計算得到的。金星、地球和火星的精度優(yōu)于1千米（相對誤差相當(dāng)于十億分之幾），其中金星的資料來自對歐洲空間局的金星快車號飛船的RR測量以及對金星快車號和美國的麥哲倫號飛船的VLBI跟蹤測量，火星的資料來自對火星探路者號飛船的VLBI跟蹤測量。水星的精度為數(shù)千米（相對誤差相當(dāng)于億分之幾），是根據(jù)對美國的信使號飛船的RR測量資料。木星和土星的精度為數(shù)十千米（相對誤差相當(dāng)于千萬分之幾），資料來自對飛船（木星的伽利略號飛船和土星的卡西尼號飛船）的VLBI跟蹤測量。天王星、海王星和冥王星的精度比較差。

24節(jié)氣立春

24節(jié)氣立夏

節(jié)氣計算關(guān)鍵詞三：歲差與章動

表列的太陽黃經(jīng)數(shù)值還不能直接用來計算節(jié)氣，因為表列值是太陽對于年首平春分點的平黃經(jīng)，而不是對于當(dāng)天真春分點的視黃經(jīng)。春分點是黃道坐標(biāo)系里計量黃經(jīng)的起點，可是由于地球自轉(zhuǎn)軸的進動，春分點在黃道上幾乎以恒定的速率（約50. "3/年，即約25800年沿黃道轉(zhuǎn)過一周）不停地朝著與黃經(jīng)增加的相反方向，也就是向西退行，這稱為黃經(jīng)歲差。只考慮歲差運動的春分點稱為平春分點，而相對于平春分點計量的黃經(jīng)就是平黃經(jīng)?？墒?，春分點除了歲差這種長期運動以外，還有振幅不大的周期性運動，稱為章動。章動周期性地改變春分點在黃道上的位置，使之一時向西，一時向東。實際上章動表現(xiàn)為許多不同周期、不同振幅和不同方向的諸項之和?！赌隁v》在計算中取678日月項和687行星項，這些項中周期長于35日的為長周期項，其和用Δψ表示，短于35日的為短周期項，其和用dψ表示。所以說真實的春分點（真春分點）在黃道上的運動是長期性的歲差和周期性的章動的合成。相對于真春分點計量的黃經(jīng)就是真黃經(jīng)。

現(xiàn)在我們可以說明上面在提及天球坐標(biāo)系時為什么必須加上“某一特定瞬時的”這一限定詞。由于春分點的歲差和章動，作為天球坐標(biāo)系計量起點的春分點的位置隨時而變，只有確定一個瞬時，才有春分點的確定位置；天體坐標(biāo)以位置確定的春分點作為計量起點也才有確定的數(shù)值。一本記載恒星位置的星表或記載行星和衛(wèi)星位置的星歷表都必須標(biāo)明表列位置所對應(yīng)的瞬時，通常稱為星（歷）表歷元?！赌隁v》所載太陽黃經(jīng)也注明了所對應(yīng)的歷元，即對應(yīng)于每一年的“年首”。例如2015年的《年歷》所載太陽黃經(jīng)表示為λ2015.0，希臘字母λ在天文學(xué)的習(xí)慣上用于表示黃經(jīng)，而下標(biāo)2015.0則表示2015年年首。年首既然是一個瞬時，我們可能會按照習(xí)慣理解為1月1日（元旦）那天的世界時或北京時間0h。其實，天文學(xué)上所稱的年首這個瞬時與民用的概念不同。首先它以力學(xué)時定義，其次天文學(xué)上的一年與民用的公歷年不同，后者有平年與閏年的差別，年長各不相同，天文學(xué)上以365.25日作為1年，稱為儒略年，每年的年長相同以方便使用。這樣年首便可以是1月1日力學(xué)時0h、6h、12h和18h，例如2015年的年首是1月1日力學(xué)時6h。

由于太陽和月亮對地球的引力，使得地球在公轉(zhuǎn)時，自轉(zhuǎn)軸就像一個順時針自轉(zhuǎn)的陀螺擺動，大約2.6萬年轉(zhuǎn)動一周。地球在春分點的位置沿著地球公轉(zhuǎn)軌道向西緩慢地移動，大約每2.6萬年，春分點的位置在地球公轉(zhuǎn)軌道上移動一周，稱為歲差。

歲差現(xiàn)象的存在，使冬至日在地球公轉(zhuǎn)軌道上并不固定，每年以50角秒260毫角秒順時針漂移，在25786年的時間里完成一個周期。因此，再過12893年，北半球現(xiàn)在的“冬至點”將在“遠日點”附近，而現(xiàn)在的“夏至點”將在“近日點”附近。

24節(jié)氣立秋

24節(jié)氣立冬

節(jié)氣計算關(guān)鍵詞四：光行差

真黃經(jīng)還必須加上光行差改正后才能得到視黃經(jīng)。光行差是一種附加在被測天體位置上的“視”效應(yīng)，使得實際測量到的天體位置（視位置）比天體的真實位置（真位置）產(chǎn)生一個或大或小的差值。它起因于光速有限和觀測者相對于被測天體的運動。如果真如古人曾經(jīng)以為的那樣光以無限大的速度傳播，或者觀測者對于被測天體相對靜止，那就不會有光行差?？墒俏覀冎拦庖杂邢薜乃俣葌鞑?，而地球一面環(huán)繞太陽運行，一面又繞軸自轉(zhuǎn)，地面上的觀測者相對于宇宙空間的天體產(chǎn)生相應(yīng)的兩項運動，這就造成了光行差，依次稱為周年光行差和周日光行差。后者的影響比前者小得多，在計算節(jié)氣時可以忽略。

請看《年歷》所載關(guān)于太陽黃經(jīng)的說明：“太陽表中所載黃經(jīng)系對于年首平春分點的太陽黃經(jīng)，不含光行差改正，若求對于標(biāo)準(zhǔn)歷元J2000.0平春分點的黃經(jīng)，只要加上量a=－12' 34."34。若求視黃經(jīng)，可由對年首平春分點的黃經(jīng)加下列改正：年首到當(dāng)天的黃經(jīng)歲差pτ、黃經(jīng)章動Δψ+dψ，以及光行差改正－20. "49552/R，即

其中p為年首的黃經(jīng)歲差速率，τ為年首到當(dāng)天的時間間隔，以儒略年為單位，R為地球向徑。對于式（1）這里再略作說明：其中λ視即當(dāng)天的視黃經(jīng)；λ2015.0+pτ是把表中所載對于年首平春分點的太陽黃經(jīng)（λ2015.0）歸算為對于當(dāng)天平春分點的太陽黃經(jīng)；τ是從1月1日到當(dāng)天的日數(shù)除以儒略年年長，為此先求t=當(dāng)天的積日－1，所謂積日是從1月1日（作為1）累積計量的日數(shù)，從而得τ=t/365.25；加上（Δψ+dψ）是把對于當(dāng)天平春分點的太陽黃經(jīng)歸算為對于當(dāng)天真春分點的太陽黃經(jīng)，《年歷》的“太陽表”上也每天列出一個（Δψ+dψ）值；最后一項是周年光行差改正，分母上的“地球向徑”是指地球中心到太陽中心的距離，單位為天文單位，“太陽表”上也每天列出一值。

天文學(xué)家計算交節(jié)日期和時刻的最后環(huán)節(jié)：逆內(nèi)插法

紫金山天文臺歷算室的天文學(xué)家們用一個相當(dāng)繁復(fù)的程序在大型計算機上編算《年歷》。在編算出“太陽表”中每天的λ2015.0之后，又計算相應(yīng)日期的λ視。然后通過“逆內(nèi)插法”的算法來計算每個節(jié)氣的時刻。在說明什么是逆內(nèi)插法之前，讓我們先了解什么是（正）內(nèi)插法?！赌隁v》不可能給出每一天任何時刻的某個天文量（例如太陽黃經(jīng)），只能列出按整點數(shù)（例如0h）和等間距（例如1日）計算的一系列這種量。內(nèi)插法用來解決欲求任何時刻量的問題。在該天文量的表上找到所求日期和下一日期的表列值，用這兩個數(shù)值的差值按比例算出從整點到所求時刻的差值，加到整點量上就得所求值。舉例說明如下：試求2015年6月21日北京時間10時59分的太陽黃經(jīng)。從當(dāng)年《年歷》的“太陽表”查得6月21日（力學(xué)時0h）和6月22日（力學(xué)時0h）的太陽黃經(jīng)為

表列力學(xué)時0h相當(dāng)于北京時間7h59m，要求北京時間10h59m，即力學(xué)時3h的值，可通過內(nèi)插法解決。步驟如下：

求相鄰兩日的表列值之差（即24h內(nèi)的變化） 3436".1

從力學(xué)時0h到3h相當(dāng)于1日（24h）的0.125 3436".1×0.125=429".5=7' 9".5

將此值加到6月21日的表列值上 89°20' 10".6+7' 9".5=89°27' 20".1

答案就是89°27' 20."1。這里的運算是所謂的一次內(nèi)插，使用于表列值變化較慢的場合。如果表列值變化較快，則須應(yīng)用二次內(nèi)插或三次內(nèi)插，步驟復(fù)雜得多，不必也不宜在此闡述。明白了內(nèi)插法，也容易了解逆內(nèi)插法，無非就是一個逆問題，即已知某年的某個天文量，要求這個量相應(yīng)的日期和時刻。我們也以一個實例作說明：求201 5年夏至的日期和時刻。我們知道夏至日太陽視黃經(jīng)為90°。從當(dāng)年《年歷》的“太陽表”可見夏至的時刻在6月21日力學(xué)時0h和6月22日力學(xué)時0h之間。但是必須首先把表列的平黃經(jīng)歸算為視黃經(jīng)，查出上列計算λ視的（1）式中的各相應(yīng)值列于下表。

此外，又查得p的值為5028."796195/儒略世紀(jì)。把上列各值代入（1）式，算得λ視后開始逆內(nèi)插法的運算步驟：

求相鄰兩日的表列值之差（即24h內(nèi)的變化） 3436".2

求90o與6月21日的λ視之差 90°－8 9°20' 16".0=39' 43".9=2384".0

求從0h到變化為90°經(jīng)歷的時間 24h×2384."0/3436".2=16h.651=16h39m

這是從力學(xué)時0h起算的時間間隔，相應(yīng)的時刻是6月21日力學(xué)時16h39m，化為北京時間要加上7h59m，即得北京時間24h38m。超過了24h，也就是下一日，即6月22日0h38m。查2015年《年歷》所列的夏至日期和時刻，我們的結(jié)果與之相符。逆內(nèi)插法是天文學(xué)家計算交節(jié)日期和時刻的最后一個環(huán)節(jié)。

自己計算交節(jié)日期和時刻的簡明方法

讀者諸君是否想像天文學(xué)家那樣自己來計算交節(jié)日期和時刻，過一把當(dāng)天文學(xué)家的癮呢？可是沒有大型計算機和程序，甚至連天文年歷也沒有，怎么來計算。筆者將向你介紹一種簡明的近似方法，包括了計算的每個主要環(huán)節(jié)，讓你親身體會天文學(xué)家是怎樣計算節(jié)氣的。

從計算太陽平黃經(jīng)著手，這由兩個環(huán)節(jié)構(gòu)成：地球的開普勒運動和攝動。開普勒運動可看作純粹的橢圓運動，考慮到地球軌道十分接近于圓形，即偏心率很小，把橢圓運動以級數(shù)展開，保留偏心率的二次項，得到如下計算太陽平黃經(jīng)的近似理論公式λ1：

其中右端第一項λ0是太陽的年首平黃經(jīng)；第二項表示太陽平黃經(jīng)每天的平均增加量，t的意義同前；后面兩項依此表示周年周期項和半年周期項，是對平均量的修正。

作為簡明的近似計算不可能從理論上去推算攝動，我們用數(shù)值擬合的方法去求得λ0的經(jīng)驗值和攝動效應(yīng)的經(jīng)驗公式。用1 9年《年歷》所載的λ0推算其變化規(guī)律，通過計算和比較發(fā)現(xiàn)：（1）每4年一個變化周期，平均每4年增加0o.0295；（2）每個周期內(nèi)，從閏年到下一年平均增加0o.773，從第二年到第三年平均減少0o.249，從第三年到第四年平均減少0o.248。以2000年的λ0=279o.868為標(biāo)準(zhǔn)，按照上述規(guī)律可以算得每一年的λ0。例如我們據(jù)此計算201 5年的λ0=280o.233=280o13' 59"，與《年歷》所載的精確值λ0=280o14' 03"相比僅差4"。

我們用（2）式計算1 9年內(nèi)每一天的太陽平黃經(jīng)的近似值，與《年歷》所載的同一天的值相減，得到6900余個差值構(gòu)成的時間序列（1天1值）。用頻譜分析和數(shù)值擬合方法對此時間序列作分析，得到1個包含1個常數(shù)項和3個周期項（兩年項、2/3年項和3/8年項）的表達式λ2：

可以認為λ0的變化加上（3）式主要反映了攝動的影響。

把（2）式與（3）式相加，得到計算太陽平黃經(jīng)λ的半理論半經(jīng)驗的近似公式：

下面讓我們用（4）式計算2015年6月21日和6月22日的太陽平黃經(jīng)λ，取t分別為171和172，得到

再應(yīng)用（1）式計算視黃經(jīng)，既然我們這是近似計算，（1）式中的小量（dψ）和R的微小變化可以忽略不計。dψ的絕對值小于0".23，R的相對變化為0.0167，也就是說只能產(chǎn)生約0".34的影響。于是（1）式簡化為

其中Δψ由許多項組成，振幅最大的前兩名是周期18.6年、振幅17".2和周期0.5年、振幅1".3的兩項，其他項的振幅都小于0".23，我們把它們統(tǒng)統(tǒng)略去，只保留前兩項，用一個近似公式表示Δψ：

其中T為從2 000年起計的年份數(shù)，τ的意義同前 。

做了這樣的簡化之后，我們就完全不必依賴《年歷》了，而計算的主要環(huán)節(jié)一個不少。計算得到2015年6月21日的Δψ=1".75，與精確值1".80相差無幾。最后得到太陽視黃經(jīng)：

以下逆內(nèi)插的環(huán)節(jié)我們已經(jīng)熟悉，最后算得2015年的夏至交節(jié)日期和時刻是6月22日北京時間0h59m，這與準(zhǔn)確值相差21分鐘，近似計算公式顯示了相當(dāng)大的誤差。不過我們的目的在于通過近似計算體驗過程并了解過程中的主要環(huán)節(jié)，而結(jié)果的精確度并非追求的目標(biāo)。

特別說明

讓我們回顧本刊去年11月號上的那篇文章，在該文內(nèi)也計算了2015年的夏至，用的是該文所列的公式，結(jié)果與準(zhǔn)確值相差較大。計算由2000年的夏至?xí)r刻出發(fā)，這個數(shù)值直接取自《年歷》，自然計及當(dāng)時的攝動。在計算到2015年時，沒有計及這時的攝動，卻把2000年的攝動帶了過來。這攝動的“一進一出”或曰“張冠李戴”，導(dǎo)致一定的誤差。引起較大誤差的另一個原因是2015年夏至日的黃經(jīng)章動與2000年的不同，該文的公式不可能計及這一差值。由此可知，該文所列的公式，雖能反映交節(jié)日期的變遷規(guī)律，但不能精確地給出計算結(jié)果，天文學(xué)家不會用它們來計算精確的交節(jié)時刻。反過來說，本文卻難以展現(xiàn)交節(jié)日期的變遷規(guī)律。因為交節(jié)日期變遷的原因是節(jié)氣循環(huán)的周期回歸年與歷年不一致，這一點在該文所列的公式上彰顯無余，卻被本文描述的繁復(fù)計算掩蓋得嚴(yán)嚴(yán)實實。

（責(zé)任編輯 張恩紅）