○班曉倩

（貴州財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 貴州 貴陽 550025）

基于進(jìn)化動(dòng)力學(xué)的企業(yè)創(chuàng)新模型研究

○班曉倩

（貴州財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 貴州 貴陽 550025）

本文建立于進(jìn)化動(dòng)力學(xué)理論基礎(chǔ)之上，引入創(chuàng)新系數(shù)和滯后系數(shù)，分別討論了企業(yè)晉級(jí)模型和企業(yè)晉級(jí)—降級(jí)模型，運(yùn)用微分方程穩(wěn)定性理論分析了其穩(wěn)定性，并進(jìn)行了數(shù)值仿真。結(jié)果表明，模型有效模擬了企業(yè)創(chuàng)新的動(dòng)態(tài)演化過程。

企業(yè)競爭 晉級(jí)模型 晉級(jí)—降級(jí)模型

一、引言

近年來，許多學(xué)者嘗試?yán)蒙鷳B(tài)系統(tǒng)中的種群間競爭分析經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的企業(yè)競爭，得到了良好的結(jié)論。幾乎所有這方面的論文都是利用生物數(shù)學(xué)中經(jīng)典的 Lotka-Volterra方程對企業(yè)行為進(jìn)行分析，這些研究是富有成效的，但是既然企業(yè)間的競爭和合作都是動(dòng)態(tài)的，那么從生物進(jìn)化動(dòng)力學(xué)的角度分析企業(yè)間競爭和合作將是非常貼合實(shí)際的。因此，下面我們嘗試?yán)眠M(jìn)化動(dòng)力學(xué)的思想方法，構(gòu)造企業(yè)創(chuàng)新動(dòng)態(tài)演化發(fā)展模型，并對模型進(jìn)行分析。希望我們的工作對于當(dāng)前的研究有所補(bǔ)充。

假設(shè)A，B為某一種群的兩個(gè)亞種，考慮到生態(tài)系統(tǒng)中總是存在最大容量，因此下面我們假設(shè)兩個(gè)亞種總的數(shù)量保持不變。X1，X2為這兩個(gè)亞種在某時(shí)刻的相對多度（即比例），那么必然有X1+X2=1。根據(jù)進(jìn)化動(dòng)力學(xué)理論，建立如下的選擇動(dòng)力學(xué)方程：

其中，a，b為兩個(gè)亞種的適合度（即繁殖率），φ=aX1+bX2為兩個(gè)亞種的平均適合度。顯然A，B兩個(gè)亞種的適合度決定了它們的未來：如果某亞種的適合度超出平均適合度，則該亞種的相對多度將持續(xù)增加，換句話說，另外一個(gè)亞種可能面臨被淘汰的命運(yùn)；當(dāng)滿足一定的條件時(shí)，兩個(gè)亞種也可能實(shí)現(xiàn)某種形式的穩(wěn)定共存。

企業(yè)在面對激烈的市場競爭時(shí)，如果沒有周期性的有計(jì)劃的創(chuàng)新決策，就很難創(chuàng)造企業(yè)新的核心能力，就會(huì)使企業(yè)在激烈的市場競爭中處于被動(dòng)的局面，就會(huì)使企業(yè)內(nèi)部失去生存與發(fā)展的動(dòng)力。但是，由于創(chuàng)新需要沖破原有的企業(yè)結(jié)構(gòu)和思想觀念，需要追加高額的風(fēng)險(xiǎn)投資成本，因而許多企業(yè)會(huì)因?yàn)槎栊远辉敢膺M(jìn)行創(chuàng)新。于是，我們可以將市場上生產(chǎn)同一產(chǎn)品的企業(yè)視為同一種群的兩個(gè)亞種，其中的一個(gè)亞種屬于技術(shù)創(chuàng)新型企業(yè)，另一個(gè)亞種屬于落后淘汰型企業(yè)?；谝陨嫌懻摚梢岳眠M(jìn)化動(dòng)力學(xué)對企業(yè)間的動(dòng)態(tài)發(fā)展進(jìn)行分析，從而可以建立如下企業(yè)創(chuàng)新動(dòng)態(tài)演化模型。

二、模型和分析

1、晉級(jí)模型

假設(shè)在某一市場上生產(chǎn)同一產(chǎn)品的企業(yè)分為兩類：一類為技術(shù)創(chuàng)新型企業(yè)，另一類為落后淘汰型的企業(yè)。考慮到技術(shù)革新性企業(yè)往往污染小、社會(huì)效益好，所以往往能夠得到國家政策的支持；而那些落后淘汰型企業(yè)往往因?yàn)榄h(huán)境污染大、社會(huì)效益差，屬于國家要求停產(chǎn)關(guān)閉的對象，因此要保持生存，必然要求它們不斷改進(jìn)生產(chǎn)工藝，于是有一部分落后淘汰型企業(yè)會(huì)向技術(shù)創(chuàng)新型企業(yè)轉(zhuǎn)變。考慮到市場存在最大的飽和量，因此我們總假設(shè)市場上生產(chǎn)該產(chǎn)品的企業(yè)數(shù)量保持不變，基于以上的考慮，我們得到如下的模型：

其中，X1為技術(shù)創(chuàng)新型企業(yè)的相對多度（即比例），X2為落后淘汰型企業(yè)的相對多度，且滿足X1+X2=1；φ為兩類企業(yè)的平均適合度，φ=aX1+bX2；a為技術(shù)創(chuàng)新型企業(yè)的適合度，b為落后淘汰型企業(yè)的適合度，因?yàn)槁浜筇蕴推髽I(yè)的所需成本低，更易擴(kuò)張，因此我們假設(shè)a＜b；假設(shè)μ為落后淘汰型企業(yè)向技術(shù)創(chuàng)新型企業(yè)轉(zhuǎn)變的系數(shù)，且稱0＜μ＜1為創(chuàng)新系數(shù)。如果我們將淘汰落后型企業(yè)轉(zhuǎn)變?yōu)榧夹g(shù)創(chuàng)新型企業(yè)稱作“晉級(jí)”，那么我們稱系統(tǒng)（2）為企業(yè)晉級(jí)模型。

下面利用微分方程定性理論，求解系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn)。由φ=aX1+bX2及X1+X2=1，容易得到φ=aX1+bX2=b+（a-b）X1，將其代入系統(tǒng)（2），并令

2、晉級(jí)—降級(jí)模型

晉級(jí)模型（2）刻畫了落后淘汰型企業(yè)和技術(shù)創(chuàng)新型企業(yè)的動(dòng)態(tài)競爭過程，但是此處暗含了技術(shù)創(chuàng)新型企業(yè)一直保持良好的技術(shù)創(chuàng)新狀態(tài)。然而，從較長的周期來看，兩類企業(yè)的狀態(tài)應(yīng)當(dāng)是相對的、動(dòng)態(tài)的。事實(shí)上，許多企業(yè)在企業(yè)生命周期的成熟期，整個(gè)企業(yè)處于惰性狀態(tài)，缺少創(chuàng)新所需的內(nèi)部條件，因此技術(shù)創(chuàng)新型企業(yè)也同樣可能會(huì)轉(zhuǎn)變成落后淘汰型企業(yè)。在實(shí)際觀察中，我們也不乏這樣的案例。所以，在建立模型時(shí)需要考慮這一因素，即我們需要考慮技術(shù)創(chuàng)新型企業(yè)和落后淘汰型企業(yè)相互轉(zhuǎn)變的可能性。仿照之前的分析，我們稱技術(shù)創(chuàng)新型企業(yè)轉(zhuǎn)變?yōu)槁浜筇蕴推髽I(yè)的過程稱為“降級(jí)”。

顯然，技術(shù)創(chuàng)新型企業(yè)相對多度的變化率就應(yīng)當(dāng)?shù)扔诼浜筇蕴推髽I(yè)的晉級(jí)率減去技術(shù)創(chuàng)新型企業(yè)的降級(jí)率。因此，在對晉級(jí)模型（2）進(jìn)行修正后，我們得到了如下的企業(yè)晉級(jí)—降級(jí)模型：

其中，μ1為技術(shù)創(chuàng)新型企業(yè)向落后淘汰型企業(yè)轉(zhuǎn)變的系數(shù)，稱0＜μ1＜1為落后系數(shù)；μ2為落后淘汰型企業(yè)向技術(shù)創(chuàng)新型企業(yè)轉(zhuǎn)變的系數(shù)，即創(chuàng)新系數(shù)且滿足0＜μ2＜1。其余變量和參數(shù)的意義均與系統(tǒng)（2）保持一致。

同樣利用微分方程定性理論，求解系統(tǒng)（4）的平衡點(diǎn)。令

圖1 μ=0．2時(shí)，——X1（t）的曲線，— —X2（t）的曲線

圖2 μ=0．4時(shí)，——X1（t）的曲線，— —X2（t）的曲線

由φ=aX1+bX2及X1+X2=1，得到φ=aX1+bX2=b+（a-b）X1，代入方程（5），得（b-a）X21+（a-b-μ1a-μ2b）X1+μ2b=0，解得

對于企業(yè)晉級(jí)—降級(jí)模型（4），顯然有

這說明X*1是穩(wěn)定正平衡點(diǎn)。此時(shí)

于是我們得到如下的結(jié)論。

定理2說明，無論兩類企業(yè)在初始狀態(tài)下的相對多度是多少，最終兩類企業(yè)的相對多度X1和X2一定會(huì)達(dá)到穩(wěn)定的狀態(tài)，即兩類企業(yè)的比例保持穩(wěn)定不變。

三、數(shù)值仿真與分析

1、例1

對于晉級(jí)模型（2），考慮X1（0）=0.3，X2（0）=0.7，a=0.2，b=0.3，可得到如下系統(tǒng)：

其中φ=0.2X1+0.3X2。然后在分別取μ=0.2和μ=0.4，得到數(shù)值仿真圖1和圖2。

2、例2

對于晉級(jí)—降級(jí)模型（4），考慮X1（0）=0.3，X2（0）=0. 7，a=0.2，b=0.3，μ1=0.1，μ2=0.25，可得到如下系統(tǒng)：其中φ=0.2X1+0.3X2，得到數(shù)值仿真圖3。

圖3 μ1=0．1，μ2=0．25時(shí)，——X1（t）的曲線，— —X2（t）的曲線

從圖3可以看出，X1（t）和X2（t）最終都趨于穩(wěn)定平衡解。這意味著，隨著時(shí)間的推移，技術(shù)創(chuàng)新型企業(yè)和落后淘汰型企業(yè)的比例最終將趨于穩(wěn)定。

四、討論

（注：基金項(xiàng)目：2014年度貴州財(cái)經(jīng)大學(xué)教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)改革項(xiàng)目。）

[1]袁桂秋：企業(yè)投資活動(dòng)中模仿學(xué)習(xí)行為的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋[J]．生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2009，24（1）．

[2]姚奕：基于生態(tài)競爭方程的企業(yè)競爭動(dòng)態(tài)演化研究[J]．經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2011，28（2）．

[3]賈慶菊、馮文俊、楊建中：企業(yè)受金融危機(jī)影響的數(shù)學(xué)模型[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2011，18（9）．

[4]周浩：企業(yè)集群的共生模型及穩(wěn)定性分析[J]．系統(tǒng)工程，2003，21（4）．

[5]陳金波：企業(yè)競爭的進(jìn)化博弈論與種群生態(tài)學(xué)模型[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2009，39（1）．

[6]張睿、錢省三、高臻：基于生態(tài)學(xué)理論的企業(yè)競爭模型[J]．系統(tǒng)工程，2008，26（2）．

[7]Martin A．Nowak．：Evolutionary dynamics，exploring the equations of life[M]．Harvard University Press，London，2006．

[8]Christine Taylor，et al．：Evolutionary game dynamics in finite populations[J]．Bulletin of Mathematical Biology，2004（66）．

（責(zé)任編輯：胡婉君）