袁立新

摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)中的信息技術(shù)應(yīng)定位于數(shù)學(xué)功能基礎(chǔ)上的教學(xué)工具，以反映數(shù)學(xué)學(xué)科特性。數(shù)學(xué)教學(xué)需要注重圖形圖像呈現(xiàn)、數(shù)值計算、符號運算以及編程等基本數(shù)學(xué)功能。數(shù)學(xué)功能基礎(chǔ)上的教學(xué)加工大致有封閉與開放兩種方式。教師要能充分發(fā)揮各類功能的優(yōu)勢，以幫助學(xué)生理解學(xué)習(xí)內(nèi)容為目的，將數(shù)學(xué)教學(xué)與信息技術(shù)有機融合。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué) 信息技術(shù) 數(shù)學(xué)功能

一、引言

信息技術(shù)的飛速發(fā)展是改進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要機遇。但是我們不應(yīng)當(dāng)把信息技術(shù)停留在評價、熱情支持以及懷有希望的階段，而應(yīng)該進(jìn)行一些實在分析，只有這樣才能真正地解決某些教學(xué)問題[1]。深入數(shù)學(xué)學(xué)科的信息技術(shù)[2]、整合技術(shù)的學(xué)科教學(xué)知識（簡稱TPACK）[3]等理念有助于我們更好地理解數(shù)學(xué)教學(xué)中的信息技術(shù)。這些理念主要體現(xiàn)在兩個方面：首先，要不要用技術(shù)、用什么技術(shù)以及如何用技術(shù)需要考慮具體內(nèi)容的教學(xué)及課堂情境，力求使課內(nèi)與課外、教師傳授與學(xué)生自主探究達(dá)成一種平衡。也就是說，信息技術(shù)的使用是一個劣構(gòu)問題。教師僅僅了解一般教育技術(shù)的原理、策略還不夠。其次，為了充分體現(xiàn)信息技術(shù)的數(shù)學(xué)教育價值，教師對數(shù)學(xué)學(xué)科的信息技術(shù)本身要有較為深入的理解與掌握，以便信息技術(shù)與課程的互動能達(dá)到流暢程度。盡管讓教師在教育和技術(shù)之間穿梭并不容易，但掌握技術(shù)不是別人的事情。為了能更好地貫徹這兩個理念，我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)中的信息技術(shù)是數(shù)學(xué)功能基礎(chǔ)上的教學(xué)工具。

二、數(shù)學(xué)教學(xué)中的信息技術(shù)

當(dāng)前，數(shù)學(xué)課堂上的信息技術(shù)過分倚重普適類信息技術(shù)，缺少數(shù)學(xué)味，更無法反映數(shù)學(xué)學(xué)科特點。信息技術(shù)的功能更多地體現(xiàn)在一般教學(xué)功能（如電子白板，PPT演示）、多媒體功能（如音樂、顏色）、淺層交互功能（如瀏覽頁面）等方面。針對數(shù)學(xué)教學(xué)的信息技術(shù)應(yīng)該有專門的分類和討論。

我們認(rèn)為，按與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)程度分，用于數(shù)學(xué)教學(xué)的信息技術(shù)大致有三類。一是普適類的數(shù)學(xué)軟件。如計算機代數(shù)系統(tǒng)（簡稱CAS），數(shù)學(xué)百科電子詞典等。二是普適類的數(shù)學(xué)教學(xué)工具（或平臺）。如Z+Z智能平臺、幾何畫板、數(shù)學(xué)科目的題庫系統(tǒng)或備課系統(tǒng)等。三是反映特定數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的課件，包含了常見的CAI的七種類型[4]。如教學(xué)演示課件、微世界環(huán)境、微課視頻等。

三類技術(shù)中，普適類數(shù)學(xué)軟件的數(shù)學(xué)功能最強，但教育功能最弱，通常需要教學(xué)加工。而課件，即第三類信息技術(shù)，比較關(guān)注信息技術(shù)的教學(xué)功能表現(xiàn)。信息技術(shù)應(yīng)該是數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的工具還是教學(xué)為基礎(chǔ)的工具[5]？事實上，這兩者各有優(yōu)缺點，前者數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)移能力弱，即教育性不足；后者難以作為學(xué)生的認(rèn)知工具，且缺少通用性，軟件設(shè)計效益低。為了能彌合兩者的距離，專家們研究出了諸如Z+Z智能平臺之類的普適類數(shù)學(xué)教學(xué)工具。許多CAS在后來的版本中也加入了大量便于數(shù)學(xué)教學(xué)開發(fā)和加工的元素。針對特定內(nèi)容的數(shù)學(xué)課件也在通用性上不斷增強，如注重探究性、交互性課件的開發(fā)等。

三類信息技術(shù)都可以實現(xiàn)計算機對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的三種水平的支持，即演示水平、驗證水平和探究水平，如數(shù)學(xué)工具中的大百科詞典可以作為資料支持或演示之用，而數(shù)學(xué)軟件包Mathematica可以作為數(shù)學(xué)探究環(huán)境。因此，由演示到探究也可以作為以上分類的另一個標(biāo)準(zhǔn)（或維度）。

三類信息技術(shù)都能體現(xiàn)一定的數(shù)學(xué)功能與教育價值。但數(shù)學(xué)教學(xué)需要抽象、復(fù)雜的圖形圖像、數(shù)值及符號表達(dá)與處理，以滿足較高層次數(shù)學(xué)思維表征需求；需要嚴(yán)謹(jǐn)、精確和形式化的數(shù)學(xué)活動過程描述；需要豐富的與數(shù)學(xué)研究相適應(yīng)的探索性認(rèn)知環(huán)境。因而，我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)中的信息技術(shù)應(yīng)以數(shù)學(xué)功能為基礎(chǔ)，在設(shè)計和開發(fā)目的、內(nèi)容方面能反映數(shù)學(xué)學(xué)科特性，以更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育價值。

三、信息技術(shù)的數(shù)學(xué)功能及其教育價值

信息技術(shù)可以實現(xiàn)的數(shù)學(xué)功能很多。數(shù)學(xué)教學(xué)主要以圖形圖像呈現(xiàn)、數(shù)值計算與符號運算、編程等作為主要功能。數(shù)學(xué)教學(xué)中，它們的教育價值應(yīng)該得到充分體現(xiàn)。下面以微積分教學(xué)為例進(jìn)行闡述。

1.圖形圖像演示

總體而言，目前的數(shù)學(xué)教學(xué)，特別是概念教學(xué)是“重形式定義，輕意象表征”[6]的。由于擔(dān)心過多使用圖形圖像可能會影響抽象思維，許多教師不敢用。事實上，圖形圖像的適當(dāng)運用能提高學(xué)習(xí)效率，也能體現(xiàn)教師的教學(xué)智慧。數(shù)學(xué)教學(xué)中的“圖形圖像”主要是函數(shù)繪圖和動態(tài)幾何圖形兩方面。它的作用主要是促進(jìn)學(xué)生對概念和數(shù)學(xué)問題的整體理解，能幫助其洞察所學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)，尋找解決復(fù)雜問題的途徑。如教學(xué)導(dǎo)數(shù)概念時，需要將函數(shù)、其導(dǎo)函數(shù)及二階導(dǎo)數(shù)甚至更高階數(shù)的圖像進(jìn)行比較、分析。用圖像來解釋復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、洛必達(dá)法則等也應(yīng)該能在教材或教學(xué)中得到體現(xiàn)，讓學(xué)生理解用它們進(jìn)行運算的合理性或理由，而不僅僅學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)運算技能與技巧。

2.數(shù)值計算

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)更多表現(xiàn)的是數(shù)學(xué)的連續(xù)、形式化的一面，給學(xué)生留下抽象、脫離生活實際的印象。事實上，數(shù)值計算功能和繪圖功能一樣具有理解數(shù)學(xué)知識、探尋解題途徑等作用，理應(yīng)得到重視[7]。數(shù)值化是由有限認(rèn)識無限的重要方式，也是聯(lián)系一般化與特殊化的重要紐帶。運用數(shù)值表理解極限、用數(shù)據(jù)估計誤差、通過離散形態(tài)考察函數(shù)的連續(xù)性態(tài)、尋找數(shù)學(xué)反例等等都應(yīng)該在教學(xué)中得到廣泛應(yīng)用。微積分中的廣義積分與無窮級數(shù)、函數(shù)極限與數(shù)列極限的密切聯(lián)系更表明連續(xù)化與數(shù)值化應(yīng)該融為一爐。教學(xué)實踐表明，數(shù)學(xué)過于形式化的表達(dá)反而看不清數(shù)學(xué)知識的本來面貌，而將這些內(nèi)容轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)值計算，會增進(jìn)理解。例如，利用？著-？啄定義證明函數(shù)極限時，學(xué)生都知道，關(guān)鍵要找出？啄。他們也能熟練地利用放縮技巧和限定？啄的方法進(jìn)行操作，找到？啄。但進(jìn)一步問：能通過計算（通常情況下需要計算工具的支持），找到最大的？啄？事先限定？啄的鄰域能否再大一點？學(xué)生并不熟練。這時，只要給定幾個具體的？著值，計算出？啄，學(xué)生會對證明過程有更深刻的認(rèn)識，不至于依葫蘆畫瓢。

3.符號運算endprint