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      雙參數(shù)算子半群Yosida 的逼近性質(zhì)

      2015-01-15 05:57:52倉定幫閆守峰
      服裝學報 2015年5期
      關(guān)鍵詞:生成元有界連續(xù)性

      倉定幫, 陳 藏, 閆守峰

      (1.華北科技學院 基礎(chǔ)部,北京101601;2.華北科技學院 教務處,北京101601)

      20 世紀中期,為了解決偏微分方程的初值問題,以E.Hille 與K.Yosida 為代表的一些數(shù)學家提出了Banach 空間上強連續(xù)半群理論[1-2]?,F(xiàn)今,強連續(xù)半群的理論已經(jīng)成為許多領(lǐng)域(除了傳統(tǒng)的偏微分方程和隨機過程外,還包括量子力學、無窮維控制理論、積分-微分方程、泛函微分方程及無窮維動力系統(tǒng)等)的重要工具。近年來,雙參數(shù)算子半群由于與下面的雙參數(shù)抽象柯西問題(ACP)的密切關(guān)系重新得到了很多學者的重視與研究[3-6]。

      其中,Hi:D(Hi)?X →X i = 1,2 為線性算子。

      文中對雙參數(shù)算子半群展開進一步探討,給出了Banach 空間上雙參數(shù)算子半群生成元的Yosida逼近定義,得到了雙參數(shù)算子半群可微性與一致算子拓撲下的連續(xù)性的充要條件,對單參數(shù)算子半群的相關(guān)研究方法加以推廣。

      1 定義與引理

      定義1[4]設(shè)L 為Banach 空間,T(s,t),s ≥0,t ≥0,為L 中的有界線性算子,?s1,s2,t1,t2≥0,T(s,t)稱為雙參數(shù)半群。如果滿足:

      1)T(0,0)= I,I 為單位算子;

      2)T(s1+ t1,s2+ t2)= T(s1,t1)T(s2,t2),

      若存在常數(shù)ω,M >0,使得‖T(s,t)‖≤Meω(s+t)成立,則稱雙參數(shù)半群是指數(shù)有界的。

      引理1[4]雙參數(shù)算子半群T(s,t)的無窮小生成元是變換R+2→B(L),由下面的表達式定義:

      其中,A1,A2定義如下:

      并且

      同時還有

      引理2[4]設(shè)T(s,t)為Banach 空間L 中的雙參數(shù)算子半群,無窮小生成元為(A1,A2),若

      則有

      顯然,可以發(fā)現(xiàn)若T(s,t)是指數(shù)有界的,則有

      定義2 設(shè)T(s,t)為Banach 空間L 中的雙參數(shù)算子半群,無窮小生成元為(A1,A2),定義

      稱Lλ為Yosida 逼近。

      2 主要結(jié)論

      定理1 設(shè)T(s,t)為Banach 空間L 中的雙參數(shù)算子半群,則

      其Yosida 逼近滿足下列結(jié)論:

      證 當λ →+ ∞時,

      再根據(jù)Yosida 逼近的定義可知:

      定理2 設(shè)T(s,t)為Banach 空間L 中的雙參數(shù)算子半常數(shù)群,無窮小生成元為(A1,A2),A1,A2均為稠定閉算子,Lλ為Yosida 逼近,若T(s,t)是強連續(xù)的,則T(s,t)在點(s,t)s≥s0,t≥t0可微的充要條件是存在常數(shù)M >0,使得對

      成立。

      證 先證明必要性。假設(shè)T(s,t)在點(s,t)s≥s0,t≥t0是可微的,則

      由定理1 可得

      從而存在常數(shù)Mx>0,使得

      成立。再根據(jù)共鳴定理可知,

      成立。

      下證充分性。假設(shè)(A1,A2)為雙參數(shù)算子半群T(s,t)的生成元,并且存在常數(shù)M >0,使得對

      成立。再據(jù)定理1 可知

      又因為A1,A2是稠密算子,可以證明上面的極限對任意得到x ∈X 成立。又因為

      根據(jù)雙參數(shù)半群的連續(xù)性及其指數(shù)有界性,可以看出

      即T(s,t)在點(s,t)s≥s0,t≥t0是可微的。

      推論1 設(shè)T(s,t)為Banach 空間L 中的雙參數(shù)算子半常數(shù)群,無窮小生成元為(A1,A2),A1,A2均為稠定閉算子,Lλ為Yosida 逼近,若T(s,t)是強連續(xù)的,且對

      成立,則T(s,t)在點(s,t)可微,并且

      定理3 設(shè)T(s,t)為Banach 空間L 中的指數(shù)有界的雙參數(shù)算子半常數(shù)群,無窮小生成元為(A1,A2),A1,A2均為稠定閉算子,Lλ為Yosida 逼近,則T(s,t)一致算子拓撲連續(xù)的充要條件為

      證 先證明必要性。因為雙參數(shù)半群指數(shù)有界,即‖T(s,t)‖≤Meω(s+t),所以由引理1 可得

      從而當λ >max{ω(A1),ω(A2)}時,對δ >0,有

      因此

      又由δ >0 的任意性和T(s,t)一致算子拓撲連續(xù)性可知

      成立。

      則對?ε >0,存在常數(shù)λ0>0 使得下面不等式

      成立。

      令0 <Δt <ε,0 <Δs <ε,因為

      其中

      又有

      所以T(s,t)是一致算子拓撲連續(xù)的。

      [1]Hille E.Representation of one-parameter semigroups of linear transformations[J].Nat Acad Sci,1942,28:175-178.

      [2]Yosida K.On the differentiability and representation of one-parameter semigroups of linear operators[J].J Math Soc Japan,1948,1:15-21.

      [3]Arora S,Sharda S.On two parameter semigroup of operator[D].New Delhi:University of Delhi,1990:147-153.

      [4]Sharif S A,Khallr.On the generator of two parameter semigroups[J].Applied Mathematics and Computation,2004,156(2):403-414.

      [5]Janfada M.On two-parameter regularized semigroups and the Cauchy problem[J].Bull Austral Math,2004,69:383-394.

      [6]Khanehgir M,Janfada M,Niknam A.Two-parameter integrated semigroups and two-parameter abstract Cauchy problems[J].Jour of Inst of Math and Comp Sci (Math),2005,1(18):1-12.

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