倉定幫, 陳 藏, 閆守峰
(1.華北科技學院 基礎(chǔ)部,北京101601;2.華北科技學院 教務處,北京101601)
20 世紀中期,為了解決偏微分方程的初值問題,以E.Hille 與K.Yosida 為代表的一些數(shù)學家提出了Banach 空間上強連續(xù)半群理論[1-2]?,F(xiàn)今,強連續(xù)半群的理論已經(jīng)成為許多領(lǐng)域(除了傳統(tǒng)的偏微分方程和隨機過程外,還包括量子力學、無窮維控制理論、積分-微分方程、泛函微分方程及無窮維動力系統(tǒng)等)的重要工具。近年來,雙參數(shù)算子半群由于與下面的雙參數(shù)抽象柯西問題(ACP)的密切關(guān)系重新得到了很多學者的重視與研究[3-6]。
其中,Hi:D(Hi)?X →X i = 1,2 為線性算子。
文中對雙參數(shù)算子半群展開進一步探討,給出了Banach 空間上雙參數(shù)算子半群生成元的Yosida逼近定義,得到了雙參數(shù)算子半群可微性與一致算子拓撲下的連續(xù)性的充要條件,對單參數(shù)算子半群的相關(guān)研究方法加以推廣。
定義1[4]設(shè)L 為Banach 空間,T(s,t),s ≥0,t ≥0,為L 中的有界線性算子,?s1,s2,t1,t2≥0,T(s,t)稱為雙參數(shù)半群。如果滿足:
1)T(0,0)= I,I 為單位算子;
2)T(s1+ t1,s2+ t2)= T(s1,t1)T(s2,t2),
若存在常數(shù)ω,M >0,使得‖T(s,t)‖≤Meω(s+t)成立,則稱雙參數(shù)半群是指數(shù)有界的。
引理1[4]雙參數(shù)算子半群T(s,t)的無窮小生成元是變換R+2→B(L),由下面的表達式定義:
其中,A1,A2定義如下:
并且
同時還有
及
引理2[4]設(shè)T(s,t)為Banach 空間L 中的雙參數(shù)算子半群,無窮小生成元為(A1,A2),若
且
則有
顯然,可以發(fā)現(xiàn)若T(s,t)是指數(shù)有界的,則有
定義2 設(shè)T(s,t)為Banach 空間L 中的雙參數(shù)算子半群,無窮小生成元為(A1,A2),定義
稱Lλ為Yosida 逼近。
定理1 設(shè)T(s,t)為Banach 空間L 中的雙參數(shù)算子半群,則
其Yosida 逼近滿足下列結(jié)論:
證 當λ →+ ∞時,
再根據(jù)Yosida 逼近的定義可知:
定理2 設(shè)T(s,t)為Banach 空間L 中的雙參數(shù)算子半常數(shù)群,無窮小生成元為(A1,A2),A1,A2均為稠定閉算子,Lλ為Yosida 逼近,若T(s,t)是強連續(xù)的,則T(s,t)在點(s,t)s≥s0,t≥t0可微的充要條件是存在常數(shù)M >0,使得對
成立。
證 先證明必要性。假設(shè)T(s,t)在點(s,t)s≥s0,t≥t0是可微的,則
由定理1 可得
從而存在常數(shù)Mx>0,使得
成立。再根據(jù)共鳴定理可知,
成立。
下證充分性。假設(shè)(A1,A2)為雙參數(shù)算子半群T(s,t)的生成元,并且存在常數(shù)M >0,使得對
成立。再據(jù)定理1 可知
又因為A1,A2是稠密算子,可以證明上面的極限對任意得到x ∈X 成立。又因為
根據(jù)雙參數(shù)半群的連續(xù)性及其指數(shù)有界性,可以看出
即T(s,t)在點(s,t)s≥s0,t≥t0是可微的。
推論1 設(shè)T(s,t)為Banach 空間L 中的雙參數(shù)算子半常數(shù)群,無窮小生成元為(A1,A2),A1,A2均為稠定閉算子,Lλ為Yosida 逼近,若T(s,t)是強連續(xù)的,且對
成立,則T(s,t)在點(s,t)可微,并且
定理3 設(shè)T(s,t)為Banach 空間L 中的指數(shù)有界的雙參數(shù)算子半常數(shù)群,無窮小生成元為(A1,A2),A1,A2均為稠定閉算子,Lλ為Yosida 逼近,則T(s,t)一致算子拓撲連續(xù)的充要條件為
證 先證明必要性。因為雙參數(shù)半群指數(shù)有界,即‖T(s,t)‖≤Meω(s+t),所以由引理1 可得
從而當λ >max{ω(A1),ω(A2)}時,對δ >0,有
因此
又由δ >0 的任意性和T(s,t)一致算子拓撲連續(xù)性可知
成立。
則對?ε >0,存在常數(shù)λ0>0 使得下面不等式
成立。
令0 <Δt <ε,0 <Δs <ε,因為
其中
又有
所以T(s,t)是一致算子拓撲連續(xù)的。
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