EMD 包絡線擬合算法改進及在泡沫尺寸趨勢提取中的應用

盧 青， 王雅琳 ， 彭 凱， 薛永飛， 謝永芳

(中南大學 信息科學與工程學院，湖南 長沙410083)

經(jīng)驗模態(tài)分解法(Empirical Mode Decomposition，EMD)在非平穩(wěn)及非線性信號的處理及分析上具有明顯優(yōu)勢，被廣泛應用于海洋內(nèi)波探測［1］及溫度預測［2］、大氣時間序列預測［3］、天體觀測［4］、地震記錄［5］、機械故障診斷［6］等方面。包絡線擬合是EMD 算法中非常關鍵的一步。目前，常用的包絡線擬合方法是三次樣條插值法［7-10］。但現(xiàn)有三次樣條插值擬合包絡線的方法存在著插值點選取不當、端點發(fā)散［11］，擬合松散［7］等問題，致使擬合誤差的出現(xiàn)，該擬合誤差會隨著篩分過程逐漸向內(nèi)，使得分解的整個數(shù)據(jù)被嚴重污染，導致分解結(jié)果失真。

目前，在包絡線擬合方面的研究主要是針對端點發(fā)散問題，在端點效應抑制方面國內(nèi)外學者提出了很多種方法，具體可歸為3 類［12］:波形延拓法、數(shù)據(jù)預測延拓法和極值延拓法。波形匹配［13］、波形鏡像等方法屬于波形延拓法，神經(jīng)網(wǎng)絡預測［14］、ARMA 模型預測［15］、時間序列預測等方法是數(shù)據(jù)預測延拓，多項式擬合、極值對稱延拓法［11］等方法屬于極值延拓法。其中，常用的端點效應抑制方法為波形匹配、神經(jīng)網(wǎng)絡預測、ARMA 模型預測、極值對稱延拓。然而波形匹配法計算量大，占用內(nèi)存;神經(jīng)網(wǎng)絡預測方法的學習過程時間較長，大大影響了EMD 的分解速度，不適合實時信號處理;ARMA 模型用于處理非線性非平穩(wěn)的信號時參數(shù)估計比較復雜，且分析效果受限;極值對稱延拓是鏡像延拓的延續(xù)與提升，方法簡單，但處理非周期信號時誤差很大;其余各種方法針對非線性非平穩(wěn)信號延拓結(jié)果因人而異，很難保證廣泛的適用性。因此需要提出一種簡單、容易實現(xiàn)、適用性強、有效的方法。

文中通過加權最小二乘多項式擬合方法進行極值延拓，根據(jù)延拓的實際情況對得到的端點值進行合理性判斷并加以取舍，然后作為插值擬合曲線的端點;同時結(jié)合包絡線擬合中存在的另外兩個問題，提出了EMD 中包絡線擬合的改進方法。為評價改進方法的包絡線擬合效果，文中定義了包絡線與信號的方差和以及曲線長度協(xié)同作為評判標準。

鋁土礦泡沫浮選中不同槽間的泡沫尺寸變化趨勢存在關聯(lián)規(guī)則，要挖掘相關規(guī)則，需先提取每個槽的泡沫尺寸的變化趨勢，從而獲取泡沫尺寸變化的趨勢圖，為關聯(lián)性分析打下基礎。文中將所提包絡線擬合改進方法應用于粗選槽泡沫尺寸的趨勢提取，獲得了較好的粗選槽泡沫尺寸變化趨勢，驗證了所提方法的有效性。

1 EMD 算法及其存在的問題

1.1 EMD 算法簡介

美籍華人HUANG 等于1998 年提出了一種適合于分析非線性、非平穩(wěn)信號序列的經(jīng)驗模態(tài)分解法EMD。該方法可以將復雜信號分解為有限數(shù)量的含原信號不同時間尺度的局部特征信號的本征模函數(shù)(Intrinsic Mode Function，IMF)［3］，進而根據(jù)不同頻率分量的特性進行濾波或預測。

EMD 算法步驟如下:

1)尋找信號X(t)的所有極值點。

2)分別以所有極大值點、極小值點為插值點進行三次樣條插值，得到信號X(t)的上、下包絡線。

3)求出上下包絡線的平均值m(t)，用以表示信號的平均值曲線。

4)X(t)－m(t)= h1，完成一次篩分過程。第2次篩分過程用h1代替X(t)作為分解信號，重復k次，直到h1k滿足IMF 條件:①函數(shù)在整個時間范圍內(nèi)，局部極值點和過零點的數(shù)目必須相等，或最多相差一個;②在任意時刻，局部最大值的包絡(上包絡線)和局部最小值的包絡(下包絡線)平均為零。

5)記c1= h1k，做運算X(t)－ c1= r1，再將r1作為分解數(shù)據(jù)，重復篩分過程，得到c2，r2，…，cn，rn，直到rn或cn小于給定值或rn成為單調(diào)函數(shù)不可再篩分出IMF。則分解完成，有

其中，ci為第i 個IMF 分量，代表了原始信號X(t)中不同特征時間尺度的信號分量;rn為殘余函數(shù)，代表信號的平均趨勢。

1.2 存在問題及原因

EMD 的關鍵步驟之一是用三次樣條函數(shù)擬合得到信號的上、下包絡，它將直接影響分解得到的所有IMF 分量的精度。然而在進行信號的包絡線擬合時，由于信號在端點位置往往不是極值點，使得擬合的包絡線在邊界附近出現(xiàn)嚴重失真，這種現(xiàn)象被稱為邊界效應或端點效應。實際應用中信號中存在的噪聲及偏差不可能完全去除，可能導致極值點數(shù)量增加;同時由于邊界效應產(chǎn)生的誤差及極值點數(shù)量的增加將引起擬合誤差，且隨著篩分過程的不斷反復逐漸傳播到信號的內(nèi)部并污染整個信號，最終導致得到不可靠的IMF 分量和殘余分量。

例如，分段信號

圖1 是用三次樣條插值方法在時間段［0，20］內(nèi)擬合信噪比為70 的信號y0(t)的波形圖。

圖1 三次樣條插值法擬合y0(t)的包絡線Fig.1 Envelope extraction of y0(t)using CSI

包絡線應當完整地包絡信號，且是光滑的曲線，上包絡線的所有值不小于對應點的信號值，下包絡線的所有值不大于對應點的信號值。由圖1 可以看出，三次樣條插值法對于非平穩(wěn)信號的擬合效果不佳。究其原因:

1)所采用的信號不是平滑信號。實際應用中由于采集設備誤差、記錄誤差及現(xiàn)場環(huán)境影響等信號數(shù)據(jù)本身就不完全平滑，且信號采集過程中無法避免噪聲信號的干擾，濾波和去噪在一定程度上可以凈化信號，但提取包絡線時信號中必然還殘留一些噪聲，容易出現(xiàn)極值點冗余現(xiàn)象，若把這些極值點全部作為插值點，會出現(xiàn)包絡線貼合于原信號曲線的現(xiàn)象，導致曲線擬合失真。

2)實際應用中采集到的信號可能會出現(xiàn)某一小段時間內(nèi)幅值不變的情況，由極值點的定義可知這一時間段內(nèi)沒有極值點，若依舊只是把極值點作為插值點就會出現(xiàn)一段包絡線的空缺。

3)端點無約束，包絡線在端點處出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象。

4)相鄰的兩個插值點之間的插值曲線斜率出現(xiàn)過零點，即擬合曲線不單調(diào)，部分包絡值在臨近極值之外，出現(xiàn)了“凸峰”或“凹谷”現(xiàn)象，導致包絡線擬合的不“緊”。

2 算法改進及效果評判

針對1.2 中提到的包絡線擬合中插值點的選取、端點效應的抑制以及插值曲線擬合松散的問題，經(jīng)綜合考慮，提出有效的解決辦法對EMD 中包絡線的擬合予以改進。

以同時滿足包絡線與信號的方差和盡可能小且包絡線長度盡可能小，作為評判包絡線擬合效果的標準。包絡線與信號的方差和小說明包絡線與信號曲線貼合度好，無過沖現(xiàn)象及端點發(fā)散現(xiàn)象，但包絡線與信號的方差和太小又說明包絡線和信號有重疊趨勢，包絡線擬合效果不好，因此以包絡線與信號的方差和單獨作為評價標準有一定合理性卻并不科學。包絡線長度值小說明無過沖、欠沖、端點發(fā)散現(xiàn)象，但包絡線長度最短，即以直線連接各插值點時，不滿足包絡線光滑的要求，因此包絡線長度最短單獨作為評價標準也有一定合理性卻并不科學。所以，以兩項指標加權和e 作為評判包絡線擬合效果的標準。權值選擇的原則是使兩個標準計算值的數(shù)量級相同，即es+ex與| ys| +| yx| 的數(shù)量級相同，選取辦法是將數(shù)量級高的一個標準的數(shù)值降級。

記上包絡線為ys(t)，下包絡線為yx(t)，上、下包絡線與信號的方差和分別為es和ex，上下包絡線的長度分別為| ys| 和| yx|，則由方差和及曲線長度的定義可得

式中:i 為第i 個上包絡線插值點;p 為上包絡線插值點個數(shù);ysi為第i 與i + 1 個插值點間的插值函數(shù);y'si為第i 與i +1 個插值點間插值函數(shù)的一階導數(shù)，i = 0 時取上包絡線左端點，i = p 時i +1 = p +1 取上包絡線右端點;j 為第j 個下包絡線插值點;q 為下包絡線插值點個數(shù);yxj為第j 與j +1 個插值點間的插值函數(shù);y'xj為第j 與j +1 個插值點間插值函數(shù)的一階導數(shù)，j = 0 時取下包絡線左端點，j = q 時j +1 =q +1 取下包絡線的右端點。

對于y0(t)，鑒于包絡線與信號的方差和是包絡線長度數(shù)量級的100 倍，所以取

圖1 中三次樣條插值法直接擬合曲線y0(t)的誤差見表1。

表1 三次樣條插值法擬合包絡線的誤差Tab.1 Error of the envelope extraction using CSI

2.1 基于特殊點的三次樣條插值

首先，針對小段值不變的平穩(wěn)數(shù)據(jù)導致的無極值點問題，提出一種基于特殊點的三次樣條插值方法。特殊點既包括傳統(tǒng)意義上的極值點又包括平穩(wěn)數(shù)據(jù)段的所有點。具體選取方法為:上包絡線插值點x(ti)滿足

下包絡線插值點x(tj)滿足

其中，M，N 分別為上、下包絡線插值點的個數(shù)。

其次，針對信號誤差引起的小段時間內(nèi)極值點數(shù)量增多且極值波動很小導致擬合失真的問題，選擇插值點時，在尋找到特殊點后增加一步篩選操作。以下包絡線的擬合為例闡述篩選原理:將所有極小值點組成新的時間序列，按照一定的時間間隔Δ 對x1(t)進行分段，對每一段的所有時間數(shù)據(jù)求均值，該時間均值處的點作為插值點進行包絡線擬合。具體步驟如下:

1)由時間序列的時間特性可知，后一時刻的時間值大于前一時刻的時間值，即ti+1＞ti＞ti－1。將時間序列x1(t)在ti－1與ti之間分段，分界點產(chǎn)生規(guī)則是:①ti與前一點ti－1的時間間隔大于一定的閾值σ，即Δ = ti－ti－1＞σ，σ 由時間序列本身的波動周期(周期序列)及序列長度決定。②若x1(ti)＞x1(ti+1)，則必須成立;否則，若x1(ti)＜x1(ti+1)，則必須成立。閾值R由序列本身決定。

2)對每一段數(shù)據(jù)的時間坐標求算數(shù)平均ˉt，用該均值處的點(ˉt，x1(ˉt))近似作為該段的唯一插值點。改進后基于特殊點的包絡線擬合如圖2 所示，擬合誤差見表2。

圖2 基于特殊點的包絡線擬合Fig.2 Envelope extraction based on the special points

表2 基于特殊點的包絡線擬合誤差Tab.2 Error of the envelope extraction based on the special points

通過圖2 及表2 與圖1 及表1 的對比可發(fā)現(xiàn)，3個信號擬合包絡線的長度及包絡線與信號的方差和都有明顯減小，誤差e 均大幅減小，從圖2 中也可以看出擬合效果有明顯改善。

2.2 端點效應的抑制

端點發(fā)散是因為端點無約束，所以解決辦法是增加約束。若獲取的信號量足夠多，采樣時在有用信號的前后分別多采集一段數(shù)據(jù)，以增加極值點的個數(shù)作為約束，這樣得到的包絡線在端點處不會嚴重扭曲。若已知曲線方程，可以在信號前后再計算出幾個極值點作為插值點進行包絡線擬合。但是在沒有多余數(shù)據(jù)又不知道曲線方程的前提下，在擬合包絡線時，需要對已知插值數(shù)據(jù)進行延拓，以在數(shù)據(jù)兩端獲得附加的極大值和極小值作為約束抑制端點效應。

加權最小二乘多項式擬合是對所有的點進行整體擬合，而三次樣條插值是在相鄰兩個插值點間建立三次多項式進行擬合的分段擬合，端點處為自由端點，所以加權最小二乘多項式擬合得到的端點比自由端點精確得多。為此，提出加權最小二乘多項式擬合實現(xiàn)EMD 包絡線擬合中端點發(fā)散的抑制。

以下包絡線左端點的確定為例說明采用加權最小二乘多項式擬合確定約束條件的方法。加權最小二乘原理是找到一個函數(shù)

可以最佳地擬合于諸觀測點

即應當滿足

此處選取擬合多項式的最高次數(shù)為3 次，盡管擬合次數(shù)越高，擬合精度越高，擬合效果越好，但4次擬合計算量急劇增大，且易出現(xiàn)放大微小誤差的問題。且3 次擬合與2 次擬合相比，計算量相差不多，擬合精度卻會有所提升。相應地，插值點至少選取4 個。但當特殊點數(shù)量不足4 個時，選取全部的特殊點，并相應地可降低擬合多項式的次數(shù)。此時

需滿足

權值選取原則是誤差項方差越大則權值越小，權值的最佳取值是方差和的倒數(shù)。但是由于方差和不可知，習慣選取方法是取橫坐標x 的倒數(shù)。此處，根據(jù)實際情況，x 應理解為觀測點橫坐標xi與左端點橫坐標x0的距離，即

若增加的下包絡線端點值大于臨近的極大值點，顯然不符合實際，舍棄該端點不用，以靠近端點的第一個下包絡特殊點和第一個上包絡特殊點的均值作為端點值。雖然這樣取得的端點值存在誤差，但由于本意并不是獲得精確的端點值，只要可以有效抑制端點發(fā)散問題就是可取的。同理，對上包絡線添加端點，如圖3 所示的繪出包絡線，擬合誤差見表3。

圖3 抑制端點效應后的包絡線Fig.3 Extraction with the restraining end effect

表3 抑制端點效應后的擬合誤差Tab.3 Error of extraction with the restraining end effect

由圖3 及表3 與圖2 及表2 相比較可以看出，發(fā)現(xiàn)擬合誤差e 減小，曲線擬合效果有一定的改善。

2.3 保形分段三次Hermite 插值

由圖3 可以看出，在抑制端點效應之后三次樣條插值法擬合出的包絡線依然存在與信號曲線有交點(下包絡線部分點取值大于信號值或上包絡線部分取值小于信號值)，且相鄰插值點間的下包絡線有過沖現(xiàn)象，擬合的包絡線松散。原因是相鄰兩插值點間存在單調(diào)性不一致，包絡線缺少約束。

針對上述問題，首先要增加一組對包絡線擬合的約束條件:上包絡線值始終不小于相同坐標處的信號值;同時下包絡線的所有值都不大于相同坐標處的信號值。即對于所有時間點t，有ys(t)≥y(t)≥yx(t)。然后采用分段三次埃爾米特多項式插值［16］(Cubic HermiteInterpolation，CHI)進行包絡線擬合，可以有效改善這一缺陷。

在區(qū)間［a，b］上構(gòu)造三次埃爾米特插值時，首先取a = x0＜x1＜x2＜… ＜xn= b，記xi處函數(shù)值yi，導數(shù)值y'i;然后在每個子區(qū)間［xi，xi+1］，(i =0，1，…，n － 1)上構(gòu)造三次插值多項式Hi(x)，Hi(x)需滿足Hi(xi)= yi，H'i(xi)= y'i。但一階導數(shù)y'i通常不可知，所以y'i的確定就成為CHI 的關鍵。

具體步驟為:

1)借鑒Lagrange 插值基函數(shù)法，引入4 個三次多項式α0(x)，α1(x)，β0(x)，β1(x)作為基函數(shù)，令Hi(x) = yiα0(x) + yi+1α1(x) + y'iβ0(x) +y'i+1β1(x)，并求解基函數(shù)。

2)于是，x ∈［xi，xi+1］時，兩點Hermite 插值

所以，［a，b］上的插值函數(shù)為

3)一階導數(shù)的確定:(xi，yi)(i = 1，2，…，n －1)前后子區(qū)間(xi－1，xi)，(xi，xi+1)的斜率分別為

所以(xi，yi)點處斜率di為

其中

CHI 插值具有在每個子區(qū)間單調(diào)的特性，且公式簡單、計算量小、穩(wěn)定性好［17］?；贑HI 插值的包絡線擬合如圖4 所示，擬合誤差見表4。

圖4 CHI 擬合包絡線Fig.4 Envelope extraction by using CHI

表4 CHI 擬合后的誤差Tab.4 Error of extraction using CHI

與圖3 及表3 相比，誤差e 減小，同時可以看出包絡線在兩插值點間擬合曲線的過沖、欠沖，即擬合松散問題得到改善。由此證明了文中所提出的改進方法有效。

2.4 仿真驗證

圖5(a)、(b)分別為信噪比為30 的非線性非平穩(wěn)信號

直接用三次樣條插值法擬合及改進方法擬合的包絡線，擬合誤差見表5。

圖6(a)、(b)分別為信噪比為30 的信號y2(t)= sin(8πt)+5sin(0.4πt)+2sin(2πt +π/3)，直接用三次樣條插值法擬合及改進方法擬合的包絡線，擬合誤差見表6。

圖5 y1(t)擬合包絡線Fig.5 Envelope extraction of y1(t)

表5 y1(t)擬合誤差對比Tab.5 Comparison of extraction error of y1(t)

圖6 y2(t)擬合包絡線Fig.6 Envelope extraction of y2(t)

表5 和表6 均取

通過上述兩例的對比可以發(fā)現(xiàn)，e 減小，同時可以看出改進后的包絡線擬合方法擬合出的包絡線包的更緊密，端點發(fā)散現(xiàn)象得到抑制。由此驗證了所提改進方法在包絡線擬合上的有效性。

表6 y2(t)擬合誤差對比Tab.6 Comparison of extraction error of y2(t)

3 改進的包絡線提取方法在泡沫尺寸變化趨勢提取上的應用

典型的鋁土礦泡沫浮選操作流程，包括粗選、精選、粗掃和精掃作業(yè)。實際生產(chǎn)中，操作工人通過觀察泡沫進行生產(chǎn)操作。工業(yè)上通過分布機器視覺系統(tǒng)在每個工序獲取泡沫圖像并從中提取出顏色、尺寸、紋理等信息。鑒于各工序泡沫存在關聯(lián)信息，對不同工序之間的泡沫信息進行關聯(lián)性分析得到關聯(lián)規(guī)則，可以用于指導生產(chǎn)，對泡沫尺寸的包絡線分析可以獲取泡沫尺寸變化的規(guī)律，便于進行關聯(lián)性分析。

選取基于分布機器視覺的鋁土礦泡沫浮選過程在粗選槽獲取的圖像中提取的一班泡沫尺寸數(shù)據(jù)，時間間隔為5 min，剔除異常值后作為原始數(shù)據(jù)。針對這組數(shù)據(jù)，直接用三次樣條插值法擬合包絡線與用改進后的方法擬合的包絡線如圖7 所示，擬合誤差見表7。

對比圖7(a)和圖7(b)及表7 中所列擬合誤差，可以發(fā)現(xiàn)包絡線與信號的方差和以及曲線長度同步減小，誤差e 減小;同時可以看出改進后的包絡線擬合方法擬合出的包絡線包的更緊密，不存在插值點冗余及端點發(fā)散問題。再次驗證了所提改進方法在包絡線擬合上的有效性。

表7 包絡線擬合方法改進前后的擬合誤差Tab.7 Extraction error before and after improvement

4 結(jié) 語

文中分析了EMD 算法中基于三次樣條插值的包絡線擬合方法，列出了存在的問題并分析了原因，提出了基于特殊點的EMD 包絡線擬合改進算法。在極值點的基礎上增加了轉(zhuǎn)折點與值不變的平穩(wěn)點組成特殊點，經(jīng)過分段篩選刪除冗余插值點。針對端點發(fā)散問題，通過加權最小二乘多項式擬合對所有極值點進行多項式擬合計算出端點值。三次埃爾米特插值基于其在每個子區(qū)間單調(diào)的特性及對上下包絡線數(shù)值的約束可以有效改善三次樣條插值包絡線擬合中存在的包絡線松散且與信號有交叉的情況。

在有針對性的提出相應改進方法的同時，通過定義的擬合優(yōu)良性評判標準，及逐步繪出改進后的包絡圖，構(gòu)成清晰明確的客觀數(shù)據(jù)及主觀視覺的對比，表明了所提改進方法在包絡線擬合上的良好效果。最后將改進方法應用于鋁土礦泡沫浮選粗選槽獲取的泡沫尺寸數(shù)據(jù)，提取其變化趨勢，再次證明了所提方法對包絡線擬合的有效性。

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