楊曉俠， 刁 群， 王俊俊

(平頂山學院 數(shù)學與信息科學學院 河南 平頂山 467000)

非線性黏彈性方程一個低階混合元方法的超收斂分析和外推

楊曉俠， 刁 群， 王俊俊

(平頂山學院 數(shù)學與信息科學學院 河南 平頂山 467000)

非線性黏彈性方程； 混合元方法； 超收斂； 外推

0 引言

考慮如下的非線性黏彈性方程的初邊值問題

(1)其中:Ω是一個矩形區(qū)域,其邊界?Ω分別平行于x軸與y軸;T∈(0,+∞)為一定值;X=(x,y);a(u)表示彈性系數(shù);b(u)表示黏彈性系數(shù);u0(x),u1(x)為已知光滑函數(shù);a(u)，b(u)和f(u)為滿足下列假設的已知函數(shù):

(H1) 0

(H2)a(u),b(u)關于u具有直到二階連續(xù)導數(shù)；

(H3)f(u)關于u是Lipschitz連續(xù)的；

(H4)u∈C2(Ω×[0,T])是問題(1)的唯一解.

1 混合有限元的構(gòu)造及性質(zhì)

定義混合有限元空間為:

IKu(ai)=u(ai)(i=1,2,3,4);

對u∈H3(Ω),利用引理1中第1式的證明方法，可以驗證下面估計式成立,

(2)

2 超逼近和超收斂分析

(3)

(4)

類似于文獻[7]的方法,可以證明問題(4)存在唯一解. 下面先討論上述問題的超逼近性質(zhì).

(5)

(6)

由式(3)和式(4)可得下面的誤差方程

(7)

定理2 在定理1的條件下,有如下整體超收斂結(jié)果,

注1 文獻[1]對a(u)=b(u)=1時的特殊情況,得到了Bernadi-Raugel元的與本文同階的超收斂結(jié)果,但文獻[1]中格式的總體自由度比本文格式多1NP. 這里,NP是關于區(qū)域Ω的剖分中所有節(jié)點的個數(shù).

3 外推

設網(wǎng)格剖分是均勻的(即有hx,K=hx,hy,K=hy),文獻[7-8]已證明以下結(jié)論.

(8)

(9)

基于以上兩個漸近展開式,可得到定理3.

企業(yè)是社會生產(chǎn)力的創(chuàng)造者，是現(xiàn)代經(jīng)濟發(fā)展的推動力量。企業(yè)間不可避免相互競爭，最初的競爭是以較低的價格取勝；然后企業(yè)開始在產(chǎn)品質(zhì)量、品種上比拼；現(xiàn)在隨著信息化的發(fā)展，企業(yè)越來越講求效率，時間成為在競爭中獲勝的法寶?；跁r間的競爭是一種通過縮短產(chǎn)品研發(fā)、生產(chǎn)和銷售的生產(chǎn)運作時間，獲取競爭優(yōu)勢的戰(zhàn)略，這些都是生產(chǎn)成本控制的重要環(huán)節(jié)，因此現(xiàn)代企業(yè)必須將時間作為成本控制的一個重要因素進行科學管理。

(10)

其中:

(11)

注2 上述外推結(jié)果對文獻[5]中所討論的線性Sobolev方程的半離散格式顯然是成立的.

[1] 牛裕琪, 石東洋. 擬線性黏彈性方程混合有限元分析[J]. 數(shù)學的實踐與認識, 2010, 40(22): 216-223.

[2] 陳紹春, 陳紅如. 二階橢圓問題新的混合元格式[J]. 計算數(shù)學, 2010, 32(2): 213-218.

[3] 史峰, 于佳平, 李開泰. 橢圓型方程的一種新型混合有限元格式[J]. 工程數(shù)學學報, 2011, 28(2): 231-237.

[4] 石東洋, 張亞東. 拋物型方程一個新的非協(xié)調(diào)混合元超收斂性分析及外推[J]. 計算數(shù)學, 2013, 35(4): 337-352.

[5] 史艷華, 石東洋. Sobolev方程新混合元方法的高精度分析[J]. 系統(tǒng)科學與數(shù)學, 2014, 34(4): 452-463.

[6] 亢金軒，許超.非線性濕氣遷移方程Carey非協(xié)調(diào)元逼近[J]. 河南科技大學學報：自然科學版，2011，32(6)：81-83.

[7] 林群, 嚴寧寧. 高效有限元構(gòu)造與分析[M]. 保定：河北大學出版社, 1996.

[8] 刁群，郭麗娟，王俊俊.非線性Sobolev方程低階混合元方法的超收斂分析及外推[J]. 應用數(shù)學，2015，28(3)：586-895.

(責任編輯：王浩毅)

Superconvergence Analysis and Extrapolation of a Low Order Mixed Finite Element Approximation for Nonlinear Viscoelasticity Type Equations

YANG Xiaoxia, DIAO Qun, WANG Junjun

(SchoolofMathematicsandInformatics,PingdingshanUniversity,Pingdingshan467000,China)

nonlinearviscoelasticitytypeequations;mixedfiniteelementmethod;superconvergence;extrapolation

2015-07-23

國家自然科學基金資助項目，編號11271340.

楊曉俠(1977—)，女，河南汝州人，副教授，主要從事有限元方法及應用研究，E-mail:13733937766@163.com．

楊曉俠，刁群，王俊俊.非線性黏彈性方程一個低階混合元方法的超收斂分析和外推[J].鄭州大學學報：理學版，2015,47(4)：12-16.

O242.21

A

1671-6841(2015)04-0012-05

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.04.003