華 軍，武霞霞，李東波，張宇輝

(西安建筑科技大學(xué)理學(xué)院，陜西 西安 710055)

石墨烯(graphene)，又稱為二維石墨片，是由單層碳原子通過(guò)共價(jià)鍵結(jié)合而成的具有規(guī)則六方對(duì)稱的理想二維晶體[1-2]，是2004年由英國(guó)曼徹斯特大學(xué)的安德烈·蓋姆(Andre Geim)和康斯坦丁·諾沃肖羅夫(Konstantin Novoselov)首先發(fā)現(xiàn)的，是繼富勒烯(C60)和碳納米管(CNTs)之后的又一種新型低維材料，其厚度僅為頭發(fā)絲直徑的20萬(wàn)分之一，約為0.335 nm，是目前發(fā)現(xiàn)的最薄的層狀材料，具有超高的強(qiáng)度、剛度和韌性，被譽(yù)為是具有戰(zhàn)略意義的新材料.

準(zhǔn)確把握石墨烯基本彈性參量是了解石墨烯力學(xué)性能的重要指標(biāo).自從石墨烯問(wèn)世以來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)其彈性參量進(jìn)行了大量的研究工作.現(xiàn)研究方法主要有實(shí)驗(yàn)方法、分子動(dòng)力學(xué)方法、量子力學(xué)方法等，但實(shí)驗(yàn)方法測(cè)定石墨烯彈性參量的成本較高，試驗(yàn)結(jié)果受到試驗(yàn)條件、操作熟練程度等的影響.分子動(dòng)力學(xué)和量子力學(xué)等數(shù)值模擬方法受計(jì)算規(guī)模的限制，計(jì)算量大且計(jì)算尺度有限[3-4].因此，尋求快速、便捷的方法對(duì)石墨烯彈性參量進(jìn)行預(yù)測(cè)具有重要意義.

石墨烯的力學(xué)性能的影響因素較多，各個(gè)因素之間形成為一個(gè)復(fù)雜的非線性關(guān)系，普通數(shù)學(xué)模型很難準(zhǔn)確表達(dá)彈性參量與各因素之間的關(guān)系[5].經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有很強(qiáng)的非線性、自組織、自學(xué)習(xí)能力，能夠很好地處理非線性信息，已應(yīng)用于許多領(lǐng)域.Venkatesh[6]等人通過(guò)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)方法對(duì)氫功能化石墨烯的機(jī)械性能進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)該種計(jì)算技術(shù)可以作為一個(gè)強(qiáng)大的工具來(lái)預(yù)測(cè)功能化氫石墨烯的抗拉強(qiáng)度.尹海蓮[7]等人以碳/陶瓷復(fù)合材料性能與成分的關(guān)系為研究對(duì)象，利用BP 算法建立了復(fù)合材料性能預(yù)測(cè)模型.和試驗(yàn)值相比較表明, 所建立的網(wǎng)絡(luò)能反映復(fù)合材料組分與其材料性能之間的關(guān)系，為實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)提供了新的思路.白光輝[8]等人采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ANN)對(duì)炭/炭復(fù)合材料燒蝕性能進(jìn)行了預(yù)測(cè).采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)炭/炭復(fù)合材料的燒蝕性能進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)誤差小于11 %，滿足工程實(shí)踐的精度要求.關(guān)于石墨烯基礎(chǔ)性能的研究是納米材料的研究熱點(diǎn)之一，但是對(duì)石墨烯彈性參量的預(yù)測(cè)還鮮有報(bào)道.因此，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)石墨烯的彈性參量進(jìn)行預(yù)測(cè)，旨在尋求一種快速、簡(jiǎn)捷的石墨烯彈性參量計(jì)算方法.

1 石墨烯彈性參量的BP預(yù)測(cè)模型

從現(xiàn)有文獻(xiàn)中，搜集數(shù)據(jù)作為學(xué)習(xí)樣本，建立人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的BP模型，通過(guò)網(wǎng)絡(luò)的自組織、自學(xué)習(xí)獲得足夠的信息后，輸入影響石墨烯彈性參量的參數(shù)，可獲得石墨烯彈性參量的數(shù)值.模型的輸入是石墨烯彈性參量的各影響因素，輸出值是彈性模量和剪切模量.

1.1 預(yù)測(cè)模型的構(gòu)建

1.1.1 輸入層和輸出層參數(shù)的確定

構(gòu)建BP預(yù)測(cè)模型，其輸入層的神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)數(shù)由影響石墨烯彈性參量的因素而定，根據(jù)以往的研究，主要考慮到的影響因素有：長(zhǎng)度、寬度、長(zhǎng)寬比、手性(扶手型和鋸齒型)、層數(shù)及溫度.輸出層節(jié)點(diǎn)為石墨烯的彈性模量與剪切模量.因此，預(yù)測(cè)模型中的輸入層 6=n ，輸出層 2=m .

1.1.2 隱含層參數(shù)的確定

根據(jù) Kolmogorov定理指出，給定任一個(gè)連續(xù)函數(shù) f : U n→ R n,f ( X )=Y，這里U是閉單位區(qū)間[0，1]，f可以精確地用一個(gè)三層前向網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)，此網(wǎng)絡(luò)的第一層(即輸入層)有n個(gè)處理單元，中間層有2 n + 1個(gè)處理單元，第三層(即輸出層)有m個(gè)處理單元.因此，構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型采用一個(gè)隱含層，隱含層選用13個(gè)節(jié)點(diǎn)[9-10].1.1.3 預(yù)測(cè)模型

根據(jù)所確定的隱含層層數(shù)及輸入層、隱含層、輸出層節(jié)點(diǎn)數(shù)，構(gòu)建的預(yù)測(cè)模型為6-13-2的BP模型，如圖1所示.

1.1.4 激發(fā)函數(shù)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)常用的有 Sigmoid型對(duì)數(shù)、正切函數(shù)和線性函數(shù)，本模型采用有一定閾值特性的連續(xù)可微的Sigmoid函數(shù)之一的非對(duì)稱性S型函數(shù)作為神經(jīng)元的激發(fā)函數(shù)，同時(shí)網(wǎng)絡(luò)采用梯度下降法進(jìn)行學(xué)習(xí)[10-11].S型函數(shù)為

圖1 石墨烯等效彈性參量的BP人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型Fig.1 BP neural network prediction model of graphene equivalent elastic parameter

2 模型的訓(xùn)練及檢驗(yàn)

2.1 訓(xùn)練及檢驗(yàn)樣本的選取

考慮BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)樣本的選取應(yīng)具有代表性、普遍性及均衡性的原則，從現(xiàn)有文獻(xiàn)中[12-16]選取了84組數(shù)據(jù)(為節(jié)省篇幅表1列出部分?jǐn)?shù)據(jù))，其中69組作為訓(xùn)練樣本，15組為檢驗(yàn)樣本.

2.2 數(shù)據(jù)的歸一化處理

歸一化是使數(shù)據(jù)在0～1之間概率分布.當(dāng)所有樣本的輸入信號(hào)都為正值時(shí)，與第一隱含層神經(jīng)元相連的權(quán)值只能同時(shí)增加或減小，從而導(dǎo)致學(xué)習(xí)速度很慢，并可能引起網(wǎng)絡(luò)無(wú)法收斂.為了避免出現(xiàn)這種情況，加快網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)速度，降低網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性以及提高網(wǎng)絡(luò)的精度，需要對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行歸一化，使樣本數(shù)據(jù)介于到[－1，1]之間[9,11].MATLAB提供的預(yù)處理方法有：歸一化處理,所涉及的函數(shù)有premnmx、postmnmx、tramnmx.對(duì)于輸入矩陣 p和輸出矩陣t進(jìn)行歸一化處理的語(yǔ)句為：[pn, minp,maxp, tn, mint, maxt]=premnmx(p,t)；對(duì)目標(biāo)矩陣p2進(jìn)行歸一化處理的語(yǔ)句為：[pn]=tramnmx(p, minp,maxp)；訓(xùn)練結(jié)束后，用postmnmx函數(shù)對(duì)預(yù)測(cè)值進(jìn)行反歸一化處理得到最終預(yù)測(cè)值：an=postmnmx(net, pn).表2為將表1數(shù)據(jù)歸一化后的結(jié)果.

2.3 模型的訓(xùn)練及檢驗(yàn)

根據(jù) MATLAB神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱所提供的函數(shù)[12]，利用歸一化后的數(shù)據(jù)對(duì)構(gòu)建的模型進(jìn)行訓(xùn)練.其中，網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練時(shí)訓(xùn)練函數(shù)選取帶有動(dòng)量項(xiàng)的梯度下降法traingdm，增加動(dòng)量項(xiàng)目的是為了避免網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練陷于較淺的局部極小點(diǎn)；權(quán)值和閾值的BP學(xué)習(xí)算法為 learngdm；網(wǎng)絡(luò)的性能函數(shù)默認(rèn)為mse.訓(xùn)練參數(shù)的設(shè)置如表3所示：

訓(xùn)練樣本時(shí)間為12小時(shí)43分鐘，經(jīng)過(guò)2.5×105步學(xué)習(xí)收斂，精度達(dá)到 0.001，誤差隨訓(xùn)練次數(shù)的變化曲線如圖2所示.訓(xùn)練結(jié)束后，對(duì)原樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，生成預(yù)測(cè)值，并對(duì)預(yù)測(cè)值進(jìn)行反歸一化處理得到最終預(yù)測(cè)值.

表1 訓(xùn)練及檢驗(yàn)樣本的部分?jǐn)?shù)據(jù)Tab.1 Partial data of training and forecasting sample

表2 歸一化后部分網(wǎng)絡(luò)樣本數(shù)據(jù)Tab.2 Partial data of the network sample after normalization

2.4 預(yù)測(cè)結(jié)果及誤差分析

本文構(gòu)建的預(yù)測(cè)模型通過(guò)網(wǎng)絡(luò)的自學(xué)習(xí)，達(dá)到了指定的性能指標(biāo)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中存儲(chǔ)了樣本包含的內(nèi)在非線性映射關(guān)系，確定了各輸入、輸出層間的權(quán)值和閾值.

表4給出了預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的誤差，其中彈性模量E的平均相對(duì)誤差為2.799 %，最大誤差為5 %，最小誤差為0.693 %.剪切彈性模量G的平均相對(duì)誤差為2.222 %，最大誤差為6.210 %，最小誤差為0.105 %.表明BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)在石墨烯等效彈性參量預(yù)測(cè)方面誤差較小，滿足預(yù)測(cè)精度要求.

表3 參數(shù)設(shè)置表Tab.3 Parameter setting

圖2 誤差隨訓(xùn)練次數(shù)變化曲線圖Fig.2 Graphene of error varying with training times

表4 預(yù)測(cè)結(jié)果及誤差Tab.4 The prediction results and errors

3 等效彈性參量影響因素敏感性分析

3.1 正交表的選用

正交表，其符號(hào)是 Ln(mk)，其中L表示正交表；n表示正交表的橫行數(shù) (可安排的試驗(yàn)次數(shù))；k表示正交表的縱列數(shù)，即能容納的試驗(yàn)因素個(gè)數(shù)；m表示各試驗(yàn)因數(shù)的位級(jí)(水平)數(shù).因素在試驗(yàn)中所處的狀態(tài)、條件的變化可能會(huì)引起試驗(yàn)指標(biāo)的變化，將因素變化的各種狀態(tài)和條件稱為因素的位級(jí).根據(jù)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)《工藝參數(shù)優(yōu)化方法正交實(shí)驗(yàn)法(JB/T 7510-1994)》，選用水平正交表，一般要求，因素?cái)?shù)小于正交表列數(shù)，因素水平數(shù)與正交表對(duì)應(yīng)的水平數(shù)一致，在滿足上述條件的前提下，確定因素位級(jí)數(shù)為5，因素個(gè)數(shù)為6個(gè)，分別為影響石墨烯彈性參量的 6個(gè)影響因素[9]。因素位級(jí)見(jiàn)表 5，其中第3位級(jí)即為石墨烯彈性參量各影響因素的初始值.最后根據(jù)位級(jí)數(shù)和因素?cái)?shù)選定L25(56)正交表.3.2 彈性參量對(duì)影響因素的靈敏性分析

通過(guò)構(gòu)建的6-13-2石墨烯彈性參量預(yù)測(cè)BP模型的訓(xùn)練與檢驗(yàn)，驗(yàn)證了該方法的可行性和適用性.因此，可用訓(xùn)練后的網(wǎng)絡(luò)對(duì)同類問(wèn)題進(jìn)行預(yù)測(cè).樣本描述：石墨烯薄膜長(zhǎng)度為21.839 nm，寬度為4.898 nm，長(zhǎng)寬比為4.459，手性為鋸齒型，層數(shù)為1，溫度為500 K.

分析方法：由以上樣本中石墨烯影響因素的具體數(shù)值，通過(guò)因素位級(jí)表計(jì)算得出樣本位級(jí)變化表，然后將L25(56)正交表中位級(jí)數(shù)對(duì)應(yīng)的各個(gè)因素值組合形成25個(gè)試驗(yàn)學(xué)習(xí)樣本.用訓(xùn)練好的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)上述學(xué)習(xí)樣本分別進(jìn)行預(yù)測(cè).結(jié)果如表6所示，將每個(gè)因素相同水平的5次實(shí)驗(yàn)結(jié)果求平均，得到各因素在不同水平情況下各指標(biāo)的平均值，對(duì)同一因素不同水平的指標(biāo)求最大與最小值之差，得到該因素變化所對(duì)應(yīng)的極差，如表7和表8.

表5 因素位級(jí)表Tab.5 Factor level

表6 預(yù)測(cè)結(jié)果表Tab.6 Prediction results

表7 正交試驗(yàn)結(jié)果表(E)Tab.7 The orthogonal experiment results (E)

位級(jí) 長(zhǎng)度/nm 寬度/nm 長(zhǎng)寬比 手性 層數(shù) 溫度/K

表8 正交試驗(yàn)結(jié)果表(G)Tab.8 The orthogonal experiment results (G)

由表7和表8可知：石墨烯薄膜彈性模量E的影響因素的靈敏性從大到小依次為手性、長(zhǎng)度、長(zhǎng)寬比、寬度、層數(shù)和溫度.剪切彈性模量G的影響因素的靈敏性從大到小依次為手性、長(zhǎng)寬比、溫度、層數(shù)、長(zhǎng)度和寬度.

4 結(jié)論

利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的BP算法對(duì)石墨烯彈性參量進(jìn)行了研究.該方法有很強(qiáng)的函數(shù)逼近能力，應(yīng)用MATLAB編程效率高，易學(xué)易懂，且計(jì)算過(guò)程迅速、方便.經(jīng)研究，所建模型計(jì)算結(jié)果較準(zhǔn)確，達(dá)到了精度要求.最后采用正交試驗(yàn)理論，分析了石墨烯彈性參量對(duì)各影響因素的敏感性.

(1) 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有大規(guī)模并行、分布式存儲(chǔ)和良好的處理、自適應(yīng)性、自組織性及很強(qiáng)的學(xué)習(xí)、容錯(cuò)和抗干擾能力等優(yōu)點(diǎn)，將其引入到預(yù)測(cè)石墨烯薄膜的基本力學(xué)性能中，可以更全面地考慮影響石墨烯等效彈性參量的諸多因素，實(shí)現(xiàn)其預(yù)測(cè)的智能化.

(2) 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立影響石墨烯薄膜基本力學(xué)性能的各因素與其等效彈性參量之間的高度非線性映射關(guān)系，且計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)捷、方便，計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確可靠，在較大程度上克服了實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬方法的不足.

(3) 利用智能預(yù)測(cè)模型，驗(yàn)證了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)的 MATLAB實(shí)現(xiàn)是可行的，也說(shuō)明該模型在石墨烯彈性參量預(yù)測(cè)方面具有適用性和可行性，為其他同類材料力學(xué)性能的預(yù)測(cè)提供了一種新的方法.

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