曾小平+洪小輝

國際數(shù)學(xué)與科學(xué)教育成就趨勢(shì)研究（The Trends in International Mathematics and Science Study，簡(jiǎn)稱TIMSS），是由國際教育成就評(píng)價(jià)協(xié)會(huì)（The International Association for the Evaluation of Educational Achievement，簡(jiǎn)稱IEA）組織的大型國際教育評(píng)價(jià)研究項(xiàng)目.該研究的目的在于，評(píng)價(jià)各國中小學(xué)數(shù)學(xué)與科學(xué)教育成就的發(fā)展趨勢(shì)，研究各國數(shù)學(xué)與科學(xué)教育成就同文化背景、教育制度等影響因素的關(guān)系，幫助各國提升數(shù)學(xué)和科學(xué)教育質(zhì)量.

TIMSS的數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)主要針對(duì)四年級(jí)、八年級(jí)和高中階段進(jìn)行. 其中，首次TIMSS高中數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)于1995年進(jìn)行，第二次于2008年進(jìn)行，第三次將于2015年進(jìn)行. 2014年3月，國際教育成就評(píng)價(jià)協(xié)會(huì)的官方網(wǎng)站上發(fā)布了TIMSS 2015高中數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)框架（TIMSS Advanced 2015 Mathematics Framework[1]）. 下面我們對(duì)此框架進(jìn)行詳細(xì)介紹.

一、TIMSS高中數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)概要

TIMSS認(rèn)為，高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)為大學(xué)學(xué)習(xí)做充分的準(zhǔn)備，而大學(xué)學(xué)習(xí)又是為學(xué)生將來從事科學(xué)、技術(shù)、工程和數(shù)學(xué)等職業(yè)做準(zhǔn)備的.今天的高中學(xué)生，將會(huì)成為明天的科學(xué)家與工程師，將會(huì)成為經(jīng)濟(jì)社會(huì)中科學(xué)創(chuàng)新與技術(shù)發(fā)展的重要力量.因此，國家和社會(huì)都應(yīng)該高度關(guān)注高中畢業(yè)生的數(shù)學(xué)水平，以確保其為富有挑戰(zhàn)的大學(xué)學(xué)習(xí)做好充分的準(zhǔn)備.

因此TIMSS特別針對(duì)各國高中數(shù)學(xué)教育進(jìn)行評(píng)價(jià)，主要針對(duì)十二年級(jí)學(xué)生進(jìn)行.評(píng)價(jià)框架盡量貼近各參與國家和地區(qū)的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與教育改革，比如，美國的“共同核心數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)”（Common Core State Standards for Mathematics[2]，2010）、新加坡的“高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱”（Mathematics Higher 2 Syllabus）、中國香港的“高中數(shù)學(xué)課程”（Mathematics Curriculum Secondary 4-6）和美國大學(xué)理事會(huì)的《微積分》（AP Calculus Course Description，2012）.

TIMSS高中數(shù)學(xué)教育評(píng)價(jià)重點(diǎn)評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和數(shù)學(xué)思考的過程. 評(píng)價(jià)框架包括“知識(shí)”和“認(rèn)知”兩個(gè)領(lǐng)域，“知識(shí)領(lǐng)域”（Content Domains）包括代數(shù)、微積分和幾何，“認(rèn)知領(lǐng)域”（Cognitive Domains）包括知道、運(yùn)用和推理.TIMSS評(píng)價(jià)結(jié)果將有助于各國評(píng)價(jià)其自身的教育政策與教學(xué)策略，優(yōu)化自身的課程結(jié)構(gòu)，為學(xué)生在大學(xué)學(xué)習(xí)科學(xué)、技術(shù)、工程和數(shù)學(xué)做好充分準(zhǔn)備.

二、評(píng)價(jià)框架的知識(shí)領(lǐng)域

TIMSS 2015高中數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)框架的“知識(shí)領(lǐng)域”包含“代數(shù)”、“微積分”和“幾何”三個(gè)區(qū)域，各區(qū)域所占比重分別為35%、35%和30%.

（一）代數(shù)

代數(shù)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的基礎(chǔ)，包括“表達(dá)式與運(yùn)算”、“方程與不等式”和“函數(shù)”三個(gè)主題.

1.代數(shù)式與運(yùn)算

進(jìn)行指數(shù)式、對(duì)數(shù)式、多項(xiàng)式、有理式、無理式的運(yùn)算，進(jìn)行復(fù)數(shù)的運(yùn)算;對(duì)代數(shù)式進(jìn)行評(píng)價(jià);算術(shù)級(jí)數(shù)與幾何級(jí)數(shù)的通項(xiàng)公式，數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和各項(xiàng)和公式.

2.方程與不等式

求解一元二次方程與不等式;求解指數(shù)式、對(duì)數(shù)式、多項(xiàng)式、有理式和無理式方程;用一元二次方程與不等式解決問題.

3.函數(shù)

進(jìn)行函數(shù)的等價(jià)表征，比如圖象、文字、公式和復(fù)合函數(shù)等之間的轉(zhuǎn)換;識(shí)別和比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)、有理函數(shù)和無理函數(shù)的特征.

（二）微積分

微積分是理解物質(zhì)世界運(yùn)行原則的重要手段，也是絕大多數(shù)以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的科學(xué)類學(xué)科的中心思想.微積分的內(nèi)容包括極限、微分和積分.重點(diǎn)是極限概念和函數(shù)極限、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分，并用這些技能解決問題.

1.極限

求函數(shù)的極限（包括無理函數(shù)）;確定和描述函數(shù)連續(xù)與可導(dǎo)的條件.

2.微分

求多項(xiàng)式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、有理函數(shù)、無理函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，積與商的導(dǎo)數(shù);利用導(dǎo)數(shù)解決最優(yōu)化和變化率問題;利用一次和二次導(dǎo)數(shù)來確定斜率、極值和多項(xiàng)式函數(shù)與有理函數(shù)的拐點(diǎn);使用一次和二次導(dǎo)數(shù)來繪制和描述函數(shù)圖象.

3.積分

求多項(xiàng)式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分;計(jì)算定積分，并利用積分來求面積與體積.

（三）幾何

幾何被直接用于解決許多現(xiàn)實(shí)問題，被廣泛用于科學(xué)中.同時(shí)，源于研究測(cè)量問題的三角學(xué)，也是幾何學(xué)的重要元素.幾何包括坐標(biāo)幾何與非坐標(biāo)幾何和三角學(xué)兩個(gè)板塊.

1.坐標(biāo)幾何與非坐標(biāo)幾何

利用非坐標(biāo)幾何解決平面和立體圖形的問題;用坐標(biāo)幾何解決平面幾何問題;使用向量解決幾何問題.

2.三角學(xué)

使用三角學(xué)解決涉及三角形的問題;識(shí)別、描述和繪制正弦、余弦和正切函數(shù)的圖象.

三、評(píng)價(jià)框架的認(rèn)知領(lǐng)域

TIMSS 2015高中數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)的“認(rèn)知領(lǐng)域”包含“知道”、“運(yùn)用”和“推理”三個(gè)區(qū)域，各區(qū)域所占比重分別為35%、35%和30%.

（一）知道

“知道”是指學(xué)生需要知道的數(shù)學(xué)事實(shí)、概念和程序.該區(qū)域包含“回憶”、“辨認(rèn)”、“計(jì)算”和“提取”四個(gè)層級(jí)，各層級(jí)的含義見表1.

表1 “知道”的四個(gè)層級(jí)

（二）運(yùn)用

“應(yīng)用”區(qū)域，著重于評(píng)價(jià)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)和概念的理解來創(chuàng)造表征和解決問題的能力.問題可能來源于現(xiàn)實(shí)生活，也可能來源于數(shù)學(xué)內(nèi)部，比如數(shù)字或代數(shù)表達(dá)式、函數(shù)、方程和幾何圖形.該區(qū)域包含“確定”、“表征、建模”和“實(shí)施”三個(gè)層級(jí)，各層級(jí)的含義見表2.endprint

表2 “運(yùn)用”的三個(gè)層級(jí)

（三）推理

“推理”需要邏輯性和系統(tǒng)性思維.推理包括形成猜想、基于預(yù)先假設(shè)與已有規(guī)則進(jìn)行邏輯演繹推理和證明結(jié)果.該區(qū)域包括“分析”、“整合、綜合”、“評(píng)價(jià)”、“結(jié)論”、“概括”和“辯護(hù)”六個(gè)層級(jí)，各層級(jí)的含義見表3.

表3 “推理”的六個(gè)層級(jí)

四、高中數(shù)學(xué)的評(píng)價(jià)樣題

在TIMSS 2015評(píng)價(jià)框架的“附錄”中，給出了一些評(píng)價(jià)樣題.通過這些樣題，我們可以更好地了解TIMSS 2015高中數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)的形式、理念與重點(diǎn).

1.下面兩個(gè)函數(shù)模型預(yù)測(cè)了收益y（美元）與銷量x（千件）之間的關(guān)系，其中x的范圍是0

A. 0

D. 3

2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖1所示，請(qǐng)確定a，b，c的值.

3.函數(shù)f（x）的圖象與x軸之間的區(qū)域如圖2所示，其中A=4.8單位，B=0.8單位，C=2單位.那么定積分f（x）dx的值為多少呢？ ?（ ? ?）

A. 5.6 ? ?B. 6.0 ? ? C. 6.8 ? ? D. 7.6

4.索菲亞正在研究函數(shù)y=x+cosx，其圖象如圖3所示.索菲亞說：“點(diǎn)A與點(diǎn)B的斜率是相同的.”索菲亞的話是正確的，請(qǐng)解釋為什么？

5.如圖4所示，半圓形屋子的圓弧墻上裝有10扇窗戶.如果半圓的半徑為r，那么，每扇窗戶的寬度是多少呢？（ ? ?）

A. w=rsin9°

B. w=2rsin9°

C. w=rcos18°

D. w=2rsin18°

6.在圖5中，一條直線經(jīng)過點(diǎn)A（1，-2）和點(diǎn)B（3，4）.請(qǐng)問直線AB與直線PQ是否平行？為什么？

通過這些樣題，我們可以體會(huì)到TIMSS 2015高中數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)的側(cè)重點(diǎn)是：“知道”區(qū)域側(cè)重于評(píng)價(jià)學(xué)生回憶和識(shí)別數(shù)學(xué)事實(shí)、程序和概念所必需的能力;“運(yùn)用”區(qū)域側(cè)重于評(píng)價(jià)利用這些知識(shí)解決問題時(shí)的數(shù)學(xué)建模和實(shí)施策略;“推理”區(qū)域側(cè)重于評(píng)價(jià)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)論證和論斷時(shí)的分析、綜合和歸納能力.

參考文獻(xiàn)：

[1] TIMSS Advanced 2015 Mathematics Framework [EB/OL]. [2014-03-31]. http：//timss.bc.edu/timss

2015-advanced/frameworks.html.

[2] 曾小平，劉效麗. 美國“共同核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”的背景、內(nèi)容、特色與啟示[J]. 課程·教材·教法，2011，31（7），92-96.