☉江蘇省無錫市第三高級中學(xué) 朱敏偉

古典概型與幾何概型的辨別

☉江蘇省無錫市第三高級中學(xué) 朱敏偉

古典概型和幾何概型是高中概型學(xué)習(xí)中的兩個重要類型，同學(xué)們在解概率題時，常常會出現(xiàn)解題信心不足、思維混亂等問題.下面，我們就這兩類概型的特點(diǎn)，分析一下它們的區(qū)別和解法，以便大家更好地學(xué)習(xí)概率.

古典概型具有兩個特點(diǎn)：①所有的基本事件只有有限個；②每個基本事件發(fā)生都是等可能的.滿足以上兩條，則事件A發(fā)生的概率為：P（A）=

幾何概型具有的特點(diǎn)：①基本事件有無限多個；②每個基本事件發(fā)生是等可能的.滿足以上兩條，則事件A發(fā)生的概率為：P（A）=（D是一個可度量的區(qū)域，每個基本事件可以視為從區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，且每一點(diǎn)被取到的機(jī)會都一樣；隨機(jī)事件A的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域D內(nèi)的某個指定區(qū)域d中的點(diǎn)）.

一、基本事件的構(gòu)成審題不清，幾何概型和古典概型的區(qū)別就是基本事件的個數(shù)是有限個還是無限個

例1設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.

（1）若a是從0、1、2、3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0、1、2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實數(shù)根的概率；

（2）a是從區(qū)間［0，3］內(nèi)任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間［0，2］內(nèi)任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率.

分析：（1）中a、b分別是從4個數(shù)和3個數(shù)中任取的一個數(shù)，因此它的基本事件數(shù)是有限的，是古典概型；（2）中a、b分別是從兩個區(qū)間各取一個數(shù)，有無限種取法，即基本事件數(shù)是無限的，是幾何概型.

解：（1）a、b分別是從4個數(shù)和3個數(shù)中任取的一個數(shù)，故基本事件總數(shù)為4×3=12.設(shè)事件A為“方程有實數(shù)根”，即Δ≥0，化簡得a≥b.

（2）以x軸和y軸分別表示a、b所取實數(shù)，設(shè)事件A為“方程有實數(shù)根”，即Δ≥0，化簡得a≥b.（a，b）的所有可能結(jié)果是長與寬分別為3與2的矩形，而a≥b由圖1中陰影部分所表示.所以P（A）

分清了概率題所對應(yīng)的類型后，要正確做對一道概率題，對題意中的基本事件總數(shù)的分析尤為重要.

二、古典概型的解題關(guān)鍵在于搞清基本事件的個數(shù)

古典概型中，同學(xué)們在考慮總的基本事件數(shù)與所求事件A包含的基本事件數(shù)時，首先要考慮是否需要次序.若總的基本事件數(shù)是有次序的，那么事件A需幾步發(fā)生，也需考慮次序.反之，若總的基本事件數(shù)是沒有次序的，那么事件A的事件數(shù)也無需考慮次序.

例2從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽.（1）求所選3人都是男生的概率；

（2）求所選3人中恰有1名女生的概率.

分析：（1）若理解成所選3人要排序，則總的基本事件數(shù)為6×5×4，而所求事件包含的基本事件的個數(shù)為4× 3×2；若理解成所選3人無需排序，只選不排，則總的基本事件數(shù)為，而所求事件，只需從4名男生中去掉一個，剩下3名男生即是所要求的.

（2）考慮用次序做就比較容易理解.

解：（1）設(shè)“所選3人都是男生”為事件A.

（2）設(shè)“所選3人中恰有1名女生”為事件B，則總的基本事件數(shù)為6×5×4，而事件B包含的結(jié)果數(shù)可考慮先選女的排序再選男的排序的思路，即事件B包含的基本事件的個數(shù)為2×3×4×3，故P（B）

由上例可知：在做古典概型題時，考慮總的基本事件數(shù)時，一定要注意有沒有次序，所求事件的個數(shù)一定要跟前面是同樣的有序或無序.

三、找對區(qū)域是幾何概型解題成功的關(guān)鍵

在做幾何概型題目時，需觀察題目需幾個獨(dú)立變量，若只要一個變量，則往往只需考慮長度或角度；若要兩個變量，則只需考慮相應(yīng)的面積；若要三個獨(dú)立變量，則往往需考慮體積.

例3在直角三角形ABC中，B=90°，A=30°.

（1）在AC上任意取一點(diǎn)N，求使AN>AB的概率；

（2）過直角頂點(diǎn)B作射線BM交線段AC于M，求使AM>AB的概率.

分析：（1）因為在線段上任意取一點(diǎn)是等可能的，基本事件為線段上每一處的點(diǎn)，使AN>AB的概率只與線段的長短有關(guān).

（2）因為過一點(diǎn)作射線是均勻的，所以把∠ABC內(nèi)所作任一射線BM看成是等可能的，基本事件為射線BM落在∠ABC內(nèi)任一處，使AM>AB的概率只與∠ABB1（B1點(diǎn)滿足AB=AB）的大小有關(guān)系1

解：（1）設(shè)“在AC上任意取一點(diǎn)N，使AN>AB”為事件A，在線段AC上取一點(diǎn)B1，使得AB=AB1.

（2）設(shè)“作射線BM，使AM>AB”為事件A，在線段AC上取一點(diǎn)B1，使得AB=AB1，所以△ABB1是等腰三角形，可得

例4A、B兩人約定在7時到8時之間在某地會面，并約定先到者應(yīng)等候另一個人15分鐘，過時即可離去，求兩人能會面的概率.

分析：這是概率中的會面問題，A、B兩人相約7時到8時在某地會面，兩個人到達(dá)的時間是隨機(jī)的.因此，利用直角坐標(biāo)系，我們需要用兩個變量x、y來表示兩個人到達(dá)的時間，即0≤x≤60、0≤y≤60對應(yīng)的區(qū)域.兩個人能會面，只有當(dāng)兩個人到達(dá)某地的時間差小于或等于15分鐘，即|x-y|≤15，用所對應(yīng)的圖中陰影部分表示.因每人到達(dá)會面地點(diǎn)的時刻是隨機(jī)的，所以區(qū)域內(nèi)的每個點(diǎn)被取到的可能性都是相等的.

解：以x軸、y軸分別表示A、B兩人到會面地點(diǎn)的時間，建立直角坐標(biāo)系，則兩人能夠會面的條件是|x-y|≤15.（x，y）的所有可能結(jié)果是邊長為60的正方形，而可能會面的時間由圖中陰影部分所表示，這是幾何概型問題，由幾何概型的概率公式求得

考慮幾何概型時，一定要把每個變量的條件都考慮進(jìn)去，建立不等式或不等式組，再去找相應(yīng)的區(qū)域求解.

四、古典概型和幾何概型相結(jié)合題型的解法

借助幾何模型計算曲邊面積，將幾何概型問題轉(zhuǎn)化為古典概型問題求解.

例5圖5所示的矩形，長為5，寬為2，在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為138顆，我們可以估計出陰影部分的面積為多少？

分析：在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒黃豆，每個落點(diǎn)都是等可能的，即分布是均勻的，所以在圖形內(nèi)撒黃豆是古典概型問題，再由求得的概率去估算陰影部分的面積.

解：因為在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為138顆，于是得到落在陰影部分的概率近似為，所以，所以S=0.46×5×陰影2=4.6.

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