☉湖南省株洲縣第五中學 陽志長

☉湖南省株洲市九方中學 賀功保

教學參謀

基于數(shù)學活動經(jīng)驗的解題教學探討

☉湖南省株洲縣第五中學 陽志長

☉湖南省株洲市九方中學 賀功保

《義務教育數(shù)學課程標準》（2011年版）明確提出了“四基”，即數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗，并把它們確定為我國義務教育數(shù)學課程的基本目標.所謂“基本活動經(jīng)驗”，羅朝陽等認為“基本數(shù)學活動經(jīng)驗應是學生在特定的數(shù)學教學目標的指引下，在進行數(shù)學探究和發(fā)現(xiàn)活動整個過程中形成的，并經(jīng)學生自我反思的對多數(shù)學生均能起到指導其思維和操作進程的最為核心的知識經(jīng)驗、操作經(jīng)驗（技能性經(jīng)驗）、情感體驗、思考經(jīng)驗和應用意識等”［1］.它屬于學生的主觀性數(shù)學知識的范疇，形成于學生的自我數(shù)學活動過程之中，伴隨著學生的數(shù)學學習而發(fā)展，反映了學生對數(shù)學的真實理解；它對于數(shù)學活動的順利探究、數(shù)學思想方法的領悟、數(shù)學觀念的形成、創(chuàng)新意識與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，以及人的全面發(fā)展等均具有十分重要的作用.“解題歷來是課堂教學的重點、核心”［2］，“解題教學的根本目的是提高學生分析和解決問題的能力”［3］，而當前教師的解題教學，常“以‘奇、特、巧、新’等為選題標準，通過‘講解題，不講怎樣解題’，‘講解法，不講如何想到解法’的方式給學生灌輸技巧，最后總結為‘解法n—技巧n’”［3］.這種漠視學生基本活動經(jīng)驗的解題教學，難以同化、生長、提升學生的數(shù)學解題經(jīng)驗，以及“提高學生分析和解決問題的能力”，以致在“能力立意”的新高考中學生出現(xiàn)“講過練過的不一定會，沒講沒練的一定不會”［2］的尷尬局面.為此，本文以一道解析幾何題目的教學為例，探討基于數(shù)學活動經(jīng)驗的解題教學立意、流程、方法和價值取向，以期提高解題教學效益，為高中一線教師提供教學參考和更多的思考.

題目：光線從點Q（2，0）發(fā)出，射到直線l：x+y=4上的E點，經(jīng)l反射到y(tǒng)軸上的F點，再經(jīng)y軸反射又回到Q點，求直線EF的方程.

一、練習嘗試，自主建構活動經(jīng)驗

“數(shù)學活動經(jīng)驗是學生在數(shù)學活動中形成的充滿個性色彩的感受、體驗與感悟”，具有個體性.從心理學的角度來看，數(shù)學解題就是解題者面臨新的問題，而自己沒有現(xiàn)存對策或處理方法時所引起的尋求解決問題辦法的一種心理活動的過程.在這個過程中，學生以原有的知識經(jīng)驗為基礎，按照自己的方式理解題意，尋找解題思路，獲得解決問題的想法或“沖動”.因此，講解題目前，應該要求學生認真讀題審題、喚醒原有的知識經(jīng)驗，練習嘗試、尋找解題思路，自主建構活動經(jīng)驗，獲得基本的感受、體驗與感悟.

師：有這么一道題目（PPT呈現(xiàn)題目），可能對同學們具有一定的挑戰(zhàn)性，現(xiàn)給出8分鐘時間練習嘗試，看看大家是如何思考、解答這個題目的.

（生審題、思考、嘗試）

（師巡視，盡量不打擾學生）

由于學習動機、經(jīng)驗背景、認知基礎、學習風格、思考方式等的不同，面對同一題目，不同的學生捕捉信息、思維起點、解題思路等具有差異性，從而呈現(xiàn)出思維的層次性.教師當場呈現(xiàn)題目，讓學生知道問題的挑戰(zhàn)性，有利于減輕學生的心理壓力，激發(fā)學生的探究熱情，把學生推向“現(xiàn)推現(xiàn)想”的前沿；讓學生獨立思考，教師不打擾學生，有利于喚醒學生原有的知識經(jīng)驗，催生學生的各種想法，使學生活動結果呈現(xiàn)個體性特點.盡管部分學生找不到解題的感覺，但是他們在翻一翻課本、看一看筆記、查一查做過的題目等活動過程中，都在圍繞解決當前問題想辦法，自主建構活動經(jīng)驗和意義.無論進展如何，個體的感受、體驗與感悟，都是他們進一步活動的基礎，也是這個環(huán)節(jié)的教育價值取向.

二、展示交流，修正傳遞活動經(jīng)驗

“經(jīng)驗本身只是感性認識，來自于特定的活動，不可避免地印上了具體的環(huán)境、時間、主體、客體等因素的烙?。ūM管數(shù)學對象本身具有一定的抽象性）”［1］，數(shù)學活動經(jīng)驗具有情境性.波利亞在《怎樣解題》中，把數(shù)學解題劃分為“審題—擬定計劃—實現(xiàn)計劃—回顧”四個階段.從數(shù)學學科的角度來看，數(shù)學解題就是解題者分析運算條件，探索運算方向，選擇運算公式，確定運算程序等的思維過程.在這個過程中，個體通過后續(xù)思維活動所獲得的新經(jīng)驗，可以修正、豐富先前的經(jīng)驗；個體前期積累的解題經(jīng)驗只有參與了多樣化的數(shù)學活動，經(jīng)過了多次調(diào)用和加工后才能內(nèi)化為解題方法、經(jīng)驗圖式.因此，學生練習嘗試后，教師應該給學生提供表述、展示的機會，讓更多的學生參與到“實現(xiàn)計劃”中來，以修正傳遞活動經(jīng)驗，內(nèi)化為個體的解題方法、經(jīng)驗圖式.

師：經(jīng)過練習嘗試，請大家說說解題思路、想法、困惑，或上黑板展示、板書解答過程.

生1：我無法確定E、F點的位置，還沒有找到解題思路.但是，我想到課本第101頁習題3.2A組第11題：一條光線從點P（6，4）射出，與x軸相交于點Q（2，0），經(jīng)x軸反射，求入射光線和反射光線所在直線的y方程.入射光線的直線方程不難求得，關鍵是求反射光線的直線方程.P1P如圖1，由光的反射原理知：P關于法OQ線x=2的對稱點P（-2，4）在反射光x1線上，由“兩點式”可求得反射光線x=2的直線方程.

師：不錯，能夠與課本問題、已解決的問題聯(lián)系起來，大家有什么想法？

生2：與生1類似，也想到了這個習題，我是這樣思考的：如圖2，根據(jù)光的反射原理和平面幾何知識得：P關于x軸（鏡）的對稱點P2（6，-4）在反射光線上，P2關于法線x=2的對稱點P3（-2，-4）在入射光線上.

師：好，數(shù)學知識與物理知識聯(lián)系，數(shù)形結合，得到入射光線與反射光線的對稱關系、點關于直線的對稱點的求法.但是，這些與所要解答的題目有什么關聯(lián)呢？

生3：有了，如圖3，設Q關于直線l的對稱點為Q1，Q關于y軸的對稱點為Q2，連接Q1Q2，交直線l、y軸于點E、F，則只要求出點Q1、Q2的坐標，問題就解決了.

師：反應好快呀！生3的方法可不可行呢？如何求出點Q1、Q2的坐標呢？請大家再思考、再嘗試.

生4：現(xiàn)在我明白為什么只要求出點Q1、Q2的坐標了，都是根據(jù)光的反射原理和“對稱”條件.Q2（-2，0）好求，關鍵是求點Q1的坐標.設Q1（a，b），則Q1Q的中點）在直線l上，且=-1，聯(lián)立方程組求得Q1（4，2）.所以直線Q1Q2即直線EF的方程為x-3y+2=0.

由于個體通過某一次數(shù)學活動獲得的數(shù)學活動經(jīng)驗，無論從經(jīng)驗的數(shù)量還是質量上而言，都是十分有限的，所以教師不能包辦題目解答，也不能抹殺學生已有的活動經(jīng)驗，而應該給予學生“說題”、展示、交流的機會.盡管生1、生2想到課本同一習題，都是從已經(jīng)解決的問題入手，但是他倆還沒有建立起與所要解答題目的必然聯(lián)系，個體經(jīng)驗還處于一種朦朧、模糊階段.經(jīng)過生3、生4的加工、傳遞，建立了所解題目與課本習題的本質聯(lián)系，修正了生1和生2的活動經(jīng)驗，激活了其他學生的活動經(jīng)驗，營造了一種思想碰撞、思維互動的教學情境.在這種情境中，生1、生2先前的活動經(jīng)驗，成為生3、生4活動經(jīng)驗的“生長點”，生3、生4先前的活動經(jīng)驗，成為他們加工、傳遞生1、生2活動經(jīng)驗的“孵化器”，其他學生先前的活動經(jīng)驗，成為他們同化或順應生3、生4活動經(jīng)驗的基礎，使生4的解法為更多學生所認同，內(nèi)化為他們的基本解題思路和經(jīng)驗圖式；個體“原生態(tài)”“當初想法”得到呈現(xiàn)和“流動”，又在比較、甄別、傳遞中得到修正，積累了新的活動經(jīng)驗，產(chǎn)生了新的認知沖突和動機，凸顯這個環(huán)節(jié)的教學價值.

三、檢驗梳理，積累豐富活動經(jīng)驗

“學生獲得的數(shù)學活動經(jīng)驗有些是清晰的，可用語言等表達的，可外顯的，但更多的數(shù)學活動經(jīng)驗具有緘默知識的特點，具有內(nèi)隱性，是難以用言語表達的”.從數(shù)學教學的角度來看，數(shù)學解題就是解題者積累經(jīng)驗，調(diào)整狀態(tài)，發(fā)展思維能力等的過程.在這個過程中，個體所“擬定計劃”是通過設計系列性的、體現(xiàn)一定變化的思維活動來清晰化、明朗化、外顯化的.因此，學生解答題目后，教師應該先讓學生作自我評價、相互評價，追問一下“你是怎么想到的？”“還有不同的方法嗎？”［3］等，促使學生主動外顯經(jīng)驗，揭示蘊含其中的數(shù)學思想方法，幫助更多學生累積豐富經(jīng)驗，調(diào)整狀態(tài)，發(fā)展思維能力.

師：非常好！生1、生2由此及彼，聯(lián)想到已解題目，在嘗試、探求中發(fā)現(xiàn)光線反射問題與“軸對稱”的關系，經(jīng)過生3、生4的思考與提煉，形成了題目的解題思路與思想方法，關鍵是利用“點線”對稱中的幾何關系：“中點”“垂直”，溝通了代數(shù)關系中的“方程”“斜率”.有了這些活動經(jīng)驗，大家還能想到什么解法或提出什么問題？

生1：受生4的啟發(fā)，我有求點Q1的坐標的簡捷方法：如圖4，因為∠BAQ=45°，所以∠Q1AB=45°，∠Q1AQ= 90°，且Q1A=QA=2，所以Q1點的坐標為（4，2）.

師：有進步！能充分利用幾何知識，抓住點Q、直線l的特殊性，簡化計算，揭示了“特法”與“通法”的內(nèi)在聯(lián)系.

生5：由“點線”對稱想到“點點”對稱，我可以設置題目：已知點M（2，1）與直線l：x+y=4，直線m與l關于點M對稱，求直線m的方程.

師：想象力真豐富！生5把思維的觸角伸向題目的變式了，大家試一試，如何求解？

生6：如圖5，直線l上的點A（4，0）、B（0，4）關于點M的對稱點A1、B1在直線m上，利用“兩點式”，可求得直線m的方程.

師：為什么要考慮兩點的對稱點？這兩點是任意的嗎？

生6：因為兩點決定一直線，所以任意在l上取兩點都行，其中能夠簡化計算的最佳.

生7：從圖5可知：△A1B1M≌△ABM，所以m∥l，只要求l上一點的對稱點即可.

生8：由對稱性可知m∥l.設直線m：x+y=n，由點M到m、l的距離相等可求得n的值.

師：好，別急！這些經(jīng)驗、思路是否可行呢？下面分三大組檢驗、確認一下.

（生分別按照生6、生7、生8提供的思路求解，得出了相同的結果，認同了他們的方法）

師：大家表現(xiàn)非常棒，肯定還有很多想法，限于時間關系，簡單梳理一下：（1）“點點對稱”抓住“中點”，“點線對稱”抓住“中點”與“垂直”；（2）解答對稱問題時，要充分利用幾何條件與方程的關系，運用數(shù)形結合的思想方法求解；（3）光線入射問題是“對稱問題”，還有哪些問題可以歸于這種問題呢？請大家課后翻一翻自己做過的題目、試卷等，內(nèi)化解答對稱問題的思想方法，或以對稱性為主題寫一篇小論文.

由于討論、反駁、“對話”的過程，是促使學生的數(shù)學活動經(jīng)驗不斷完善與外顯的過程，同時也是實現(xiàn)數(shù)學活動經(jīng)驗在不同個體之間互相傳遞與共享的過程，所以教師在生4之后所進行的點評，有利于完善、外顯學生的活動經(jīng)驗，組織、啟動新的數(shù)學活動；受生4的啟發(fā)，生1獲得求點Q1的坐標的簡捷方法，有利于完善、外顯生4的活動經(jīng)驗，促進生1和生4活動經(jīng)驗的傳遞與共享；受情境啟發(fā)，生5提出“點點”對稱問題，經(jīng)過生6、生7、生8的傳遞，形成了“變式”的多種解法，又有利于新的活動經(jīng)驗的傳遞與共享.而教師安排的檢驗、確認活動，對于生6、生7、生8來說，檢驗了方法的可行性，發(fā)掘出隱藏在方法背后的數(shù)學思想，豐富了活動經(jīng)驗，對于其他學生來說，基于自己的和他人的活動經(jīng)驗，確認了方法的可行性，學習、借鑒了他人的活動經(jīng)驗.但是，“學生在數(shù)學活動過程中獲得的數(shù)學活動經(jīng)驗包含的成分也十分復雜”，需要教師“斷后”：組織學生回顧解答題目的歷程，梳理其中的數(shù)學知識和方法，發(fā)掘其中蘊含的數(shù)學思想方法和數(shù)學智慧，形成解決問題的基本套路和經(jīng)驗.值得注意的是，教師不能盲目地“推銷”自己的解法或提出變式，那些缺少知識鋪墊、活動經(jīng)驗的解法或變式，難以對接學生的思維、使學生產(chǎn)生情感共鳴，有經(jīng)驗的教師在授課或批改作業(yè)前，對重點題目先做一下就是這個道理.要基于學生的想法引領方向，基于學生的活動經(jīng)驗累積豐富經(jīng)驗，這才是這個環(huán)節(jié)的教育教學價值之根本所在.

四、回顧內(nèi)化，重組順應活動經(jīng)驗

數(shù)學活動經(jīng)驗是在數(shù)學活動過程中生成的，又是在數(shù)學活動過程中完善、拓展與提升的，還是在數(shù)學活動過程中進行交流、傳遞與共享的，具有過程性的特征.在波利亞看來，數(shù)學解題還需要“回顧”，即進行解題第四階段的工作：檢查解題過程，總結解題經(jīng)驗，擴大解題成果.因此，課后教師應該安排時間，引導學生積極參與回顧、內(nèi)化、反思等數(shù)學活動，使他們經(jīng)歷數(shù)學活動的全過程，體驗活動的每一個環(huán)節(jié)，獲得階段的經(jīng)驗內(nèi)容，再將獲得的經(jīng)驗運用于新的數(shù)學活動，完成經(jīng)驗的創(chuàng)造、領悟、反思、內(nèi)化、檢驗和重新創(chuàng)造，以實現(xiàn)重組或順應活動經(jīng)驗.

師：在“數(shù)學園地”展示“課外作業(yè)”.

生9：課后，我重新做了“題目”和“變式”，真正掌握了做相關題目的思想方法.有兩點體會：一是遇到不會做的題目，要向生1、生2學習，聯(lián)想做過的題目，到課本中尋找思想方法；二是學數(shù)學要勤于動手，動手畫圖、演算、檢驗，通過動手實踐，積累活動經(jīng)驗，調(diào)動自己動腦，促進自己的思維活動.

生10：課后，按照老師的要求，我重新做了“題目”和“變式”.經(jīng)過探討，發(fā)現(xiàn)：（1）直線ax+by+c=0（a2+b2≠0）關于x軸的對稱直線為ax-by+c=0；（2）直線ax+by+c=0（a2+ b2≠0）關于y軸的對稱直線為ax-by-c=0.期待大家與我一起探討直線ax+by+c=0（a2+b2≠0）關于直線Ax+By+C= 0（A2+B2≠0）的對稱直線方程的求法.

生11：對稱是自然界的基本現(xiàn)象，反映的是對稱美、自然美.數(shù)學中的軸對稱圖形有角、等腰梯形、拋物線、偶函數(shù)的圖像等；中心對稱圖形有平行四邊形、奇函數(shù)的圖像等；既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有線段、矩形、菱形、正方形、圓、橢圓、雙曲線、正弦曲線、余弦曲線等，數(shù)學世界真是太美了.就是這些對稱性，可以用“點線”對稱、“點點”對稱聯(lián)系起來，溝通函數(shù)與方程、數(shù)與形、代數(shù)方法與幾何方法的關系，形成數(shù)學的和諧美、奇異美，我越來越喜歡數(shù)學了.

生9重解“題目”和“變式”，內(nèi)化、累積了解題經(jīng)驗；生10通過重新解題，取得了部分研究成果；生11通過內(nèi)化、整理，形成了對對稱性新的認識和情感經(jīng)驗.通過“代表作品”展示，向學生傳遞著“有布置就有檢查，有檢查就有評價”的信息，為學生提供了更為豐富的交流平臺.通過這個平臺，可以使錯誤的、片面的數(shù)學活動經(jīng)驗得以澄清，可以使模糊的、片面的數(shù)學活動經(jīng)驗逐漸明晰，可以使內(nèi)隱的數(shù)學活動經(jīng)驗不斷外顯，可以使膚淺的數(shù)學活動經(jīng)驗逐步深刻，從而實現(xiàn)不同個體的數(shù)學活動經(jīng)驗的進一步拓展、傳遞與分享，促進數(shù)學活動經(jīng)驗的重組或順應，凸顯這個環(huán)節(jié)的反思學習、研究學習的價值.

五、反饋檢測，強化提升活動經(jīng)驗

“個體基于特定的數(shù)學活動獲得的數(shù)學活動經(jīng)驗，并不是靜態(tài)的，固定不變的，而是具有一定的生長性，是可以不斷發(fā)展變化的”，呈現(xiàn)出動態(tài)性.從高考應試的角度來看，數(shù)學解題是捕捉信息、模式識別、快速反應、沉著作答、優(yōu)化組合等的心智過程.因此，對于核心內(nèi)容、重點思想方法的解題教學，教師還應該安排反饋檢測活動，以通過后續(xù)活動獲得新的經(jīng)驗，強化、提升先前的經(jīng)驗，不斷實現(xiàn)經(jīng)驗的條理化，使之自然地遷移到新的數(shù)學活動和數(shù)學情境之中，提高學生高考的應試能力、策略和水平.

（三天后）師：請大家用5分鐘時間速解下面的題目，要求寫出簡要過程，統(tǒng)一上交.

題目：（2013年湖南理8）在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，點P是邊AB上異于A、B的一點，光線從點P出發(fā)，經(jīng)BC、CA反射后，又回到點P（如圖6）.若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則AP等于（）.

（師在“數(shù)學園地”展示學生的“代表作”，公布檢測情況）

生12：如圖7，以A為原點，AB所在的直線為x軸，AC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系，則B（4，0）、C（0，4）.

設P（t，0），求得點P關于y軸的對稱點P1（-t，0），點P關于直線BC：x+y=4的對稱點為P2（4，4-t）.根據(jù)反射原理，P1、R、Q、P2四點共線，求得直線P1P2即直線RQ的方程為

全班48人參加檢測，有39人給出了正確答案，拿下了這道高考選擇“壓軸題”，正確率達到81%.

對于一個數(shù)學基礎不夠好的高二平行班級（教學順序1→4→5→2→3）來說，有這樣的正確率實屬難得.從生12的解答過程可以看出，他不僅理解了原題所涉及的數(shù)學知識、掌握了解答原題的思想方法，而且具有原題的操作經(jīng)驗、探究經(jīng)驗、思考經(jīng)驗、應用經(jīng)驗，能夠創(chuàng)造性地運用坐標法和方程思想解決此問題.根據(jù)“72小時”效應，教師安排三天后的反饋檢測活動，有利于了解解題教學效果、強化升級學生的活動經(jīng)驗.所謂“72小時”效應，就是假如有一個靈感，要爭取在72小時內(nèi)付諸行動.過了72小時，或許沒有當初激動，轉向其他事情，或許已經(jīng)淡薄，只有一點印象.在學生開始淡薄、遺忘之際，教師提供“后續(xù)活動”機會，使學生的解題經(jīng)驗自然地遷移到新的數(shù)學活動和數(shù)學情境之中，有利于消除“講過練過的不一定會，沒講沒練的一定不會”的現(xiàn)象，提高學生高考的應試能力、策略和水平.盡管高考考場上不會有5分鐘解答一個選擇題的時間，但是平時探究典型問題解法時還是要給足學生思考、活動的時間，為后續(xù)活動提供時間、經(jīng)驗保障，以凸顯這個環(huán)節(jié)的思維價值.

數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學.學生在各種數(shù)學活動中生成、拓展、提升與交流數(shù)學活動經(jīng)驗的過程，同時也是他們獲得數(shù)學的基礎知識、基本技能與基本思想的過程.其實，上述關于核心內(nèi)容、典型思想方法的解題教學“五環(huán)節(jié)”，解答的不僅僅是一個題目，而是還原了基于學生的活動經(jīng)驗，豐富、提升他們的活動經(jīng)驗的一個完整過程，它形成生成學生數(shù)學學習情感、數(shù)學解題智慧、數(shù)學應試能力、數(shù)學素養(yǎng)的“加強鏈”和有機整體，不斷轉變高中學生的數(shù)學學習方式，促進他們的思維運動和心智發(fā)展.

1.馬文杰，鮑建生.論“數(shù)學活動經(jīng)驗”的基本特征［J］.數(shù)學通報，2013（9）.

2.章建躍.中學數(shù)學課改的十個論題［J］.中學數(shù)學教學參考（上），2010（3-5）.

3.章建躍，陳向蘭.數(shù)學教育之取勢明道優(yōu)術［J］.數(shù)學通報，2014（10）.

4.劉紹學.普通高中課程標準教科書A版·數(shù)學2（必修）［M］.北京：人民教育出版社，2007.A