☉陜西省咸陽師范學院教育科學學院 安振平

一道IMO預選題加強的再探究

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1990年IMO預選題中有如下一道不等式試題.

問題：設a、b、c、d是滿足ab+bc+cd+da=1的非負實數，

河北王亞輝先生在文1里，將此不等式進行了加強.

加強：設a、b、c、d是滿足ab+bc+cd+da=1的非負實數，求證：

經過研讀，筆者發(fā)現(xiàn)，加強的兩個不等式中條件等式是多余的，并且第二個不等式是第一個的弱化，即有如下結論.

加強1：設a、b、c、d是非負實數，求證：

證明：應用2元算數-幾何平均值不等式，得：

所以不等式②成立.

應用柯西不等式，知：

結合不等式②，立知不等式③成立.

通過探究不等式②還可以得出如下的加強不等式.加強2：設a、b、c、d是非負實數，求證：

至于不等式④的證明，留給有興趣的讀者去探究.

在不等式④中，取d=0，或c=d=0，并修改系數，容易獲得如下簡單不等式.

特例1：設a、b、c是非負實數，求證：

特例2：設a、b、c是正實數，求證：

1.王亞輝.一道IMO預選題證法探究［J］.數學教學，2015（4）.

2.安振平.由一個代數恒等式引出的不等式［J］.數學通訊（下），2014（12）.A