☉湖北省武漢大學(xué)附屬中學(xué) 何淑平

等號的意義

☉湖北省武漢大學(xué)附屬中學(xué) 何淑平

在數(shù)學(xué)中，常見的就是“=”了，一個(gè)計(jì)算式中，少不了的就是它，可是，大家真的完全明了它的意義嗎？不盡然.

在大多數(shù)人眼里，等號刻畫的是它的兩邊的一種相等的數(shù)量關(guān)系，例如：1=1，或者1克=1克.但這是等號的最初等含義.

1.等號表示一種相等的數(shù)量關(guān)系

這個(gè)在前面已經(jīng)論述過.

2.等號表示一種算法

等號其實(shí)是運(yùn)算的基礎(chǔ)，如果運(yùn)算沒有規(guī)定什么是運(yùn)算中兩個(gè)對象的相等，計(jì)算將無法進(jìn)行.

If the atomic number Z of ZnS is much greater than ,then Eq. (9) can be calculated as the volume density, which was found to be on the order of 3.9 g/cm3. This result is in close agreement with the literature.

例如，規(guī)定a鄢b=2a-3b，a、b∈R，則可以計(jì)算2鄢（3鄢2）=2×2-3（3鄢2）=4-3×（2×3-3×2）=4.

這就是所謂規(guī)定新運(yùn)算的基礎(chǔ)，其實(shí)就是等號的意義的體現(xiàn).

3.等號在邏輯上表明一種等價(jià)關(guān)系

因此它具備等價(jià)關(guān)系的三大核心性質(zhì)：自身性，即a=a；反身性，即a=b圯b=a；傳遞性，即a=b，b=c圯a=c.

4.等號還有兩大特殊意義（等號是方法）

（1）等號的方程含義.

含有未知數(shù)的等式稱為方程，這是方程的定義，但是很少有人注意到，其實(shí)，所謂的方程就是一個(gè)等式，只是其中含有未知數(shù)而已.反過來，基于上面所指的等號的意義，我們可以從這個(gè)角度來認(rèn)識所謂的方程，就是一個(gè)標(biāo)識符“=”.

如果我們從方程的角度來認(rèn)識等號的意義，那么此時(shí)的等號就告訴我們兩個(gè)核心的算法結(jié)構(gòu)，我們形象地告訴學(xué)生，這個(gè)稱為“等號是方法”.在這種情況下就是：消元和降次.

我們將這里的等號從方程的角度考慮，未知數(shù)x、y是元，且為多元，因此，等號的意義就是消去其中的某些元（消元），消元的方式有代入消元和加減消元.（解從略）

例如，已知x2-2x-3=0，求x.

我們將這里的等號從方程的角度考慮，未知數(shù)x是元，且為一元，因此，等號的意義就是將一元方程降次，而降次的最佳手段就是因式分解.（解從略）

例如，我們常在解析幾何中看到如下的字眼“圖像的軌跡方程”，這里所謂的方程，其實(shí)就是尋找一個(gè)等式，只不過等式的元，就是圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)而已.

所以當(dāng)我們在任何地方看到“方程”這個(gè)字眼的時(shí)候，自己一定要明白，其實(shí)就是一種等號確定的思考方式.

（2）等號的函數(shù)含義.

函數(shù)其實(shí)簡單而言，就是描述多個(gè)變量之間等量關(guān)系的表達(dá)式.變量因等號而分類，可以簡單地將代數(shù)學(xué)中的結(jié)論如此刻畫，一個(gè)等號從方程的角度可以解出一個(gè)變量的值，而被解出的這個(gè)變量在函數(shù)的觀點(diǎn)下成為因變量，刻畫這個(gè)因變量的其他變量稱為自變量，等號完成了它的第一個(gè)基本使命，將變量進(jìn)行分類（自變量與因變量）.

其次，如果將等號視為函數(shù)，那么函數(shù)的處理基本模式就會(huì)自動(dòng)形成（也稱為等號是方法）：用三句話概括.

①定義域是陷阱.

解：將等號視為函數(shù)，由定義域知x=1，從而y=1.

②參數(shù)是關(guān)鍵.

對一個(gè)函數(shù)對象的討論，其實(shí)是對它的參數(shù)進(jìn)行討論的問題.

例如，已知y=xa（x≥0，a＞0），求證它過定點(diǎn).

證明：所謂的定點(diǎn)，其實(shí)就是與參數(shù)a無關(guān)的點(diǎn)，因此定點(diǎn)為（0，0）、（1，1）.

③圖像是方法.

處理函數(shù)問題的基本核心技術(shù)，就是它的圖像，要習(xí)慣有意識地控制函數(shù)的圖像，并且通過圖像來解決問題.

如果我們從函數(shù)的角度出發(fā)來解這個(gè)問題，其實(shí)就是兩條直線的交點(diǎn)，圖像是方法.

5.等號是不等號的分界點(diǎn)

等號的取值，是不等號的分界點(diǎn).核心思想為a≥b，a≤b圯a=b.

例如，已知不等式x2+ax+b＞0的解為x＞3或x＜1，求方程bx2+ax+1=0的解.

解：由不等式x2+ax+b＞0的解為x＞3或x＜1，知方程x2+ ax+b=0的解為x=3或x=1，因此a=-4，b=3，所以方程bx2+ ax+1=0的解為或x=1.

本文試圖從形式上來系統(tǒng)闡述數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)思想，讓數(shù)學(xué)在某種形式下實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的高度形式化特色，當(dāng)然也將看似不相關(guān)的知識從另外的一個(gè)側(cè)面實(shí)現(xiàn)完美的統(tǒng)一.A