劉樹堂

摘要：為有效進(jìn)行空間剛架結(jié)構(gòu)后屈曲分析，提出一種新的空間梁單元切線剛度矩陣的精確分析方法。首先用直接法建立梁單元桿端力與桿端位移增量的關(guān)系式，然后根據(jù)矩陣微分理論求單元桿端力關(guān)于桿端位移的導(dǎo)數(shù)，最后在求導(dǎo)結(jié)果表達(dá)式中令桿端位移增量為0，即可得到梁單元切線剛度矩陣。對六層和二十層空間剛架結(jié)構(gòu)進(jìn)行了后屈曲分析。結(jié)果表明：所得的空間梁單元切線剛度矩陣具有足夠精度，可有效用于大型空間剛架結(jié)構(gòu)的后屈曲分析。

關(guān)鍵詞：空間梁單元；切線剛度矩陣；空間剛架；非線性屈曲；彈塑性屈曲

中圖分類號：TU393.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0 引 言

在空間剛架結(jié)構(gòu)的屈曲分析中，單元切線剛度矩陣的預(yù)測精度對分析結(jié)果的正確性有著關(guān)鍵性影響，特別是對于結(jié)構(gòu)的后屈曲分析。若單元切線剛度矩陣預(yù)測精度不夠，則很難通過荷載-位移平衡路徑的極限點(diǎn)，因此也很難準(zhǔn)確地確定結(jié)構(gòu)的極限荷載。建立空間梁單元切線剛度矩陣有多種途徑，如勢能變分方法[1-2]、Timosheko梁柱理論[3]、彈性剛度矩陣與幾何剛度矩陣的疊加方法[4]以及一些其他方法[5-7]。

勢能變分方法[1]建立切線剛度矩陣常常要忽略一些高階項(xiàng)，導(dǎo)致切線剛度矩陣的預(yù)測精度受到影響。Timosheko梁柱理論直接由平衡方程來導(dǎo)出切線剛度矩陣，平衡方程中的力與位移關(guān)系可用超越函數(shù)表示，分析方法簡單，切線剛度矩陣更精確。

Yang等[4]首先采用虛功方法來建立梁單元的幾何剛度矩陣，然后由彈性剛度矩陣與幾何剛度矩陣的疊加建立切線剛度矩陣。文獻(xiàn)[5]中基于Prandtl-Renss增量理論，推導(dǎo)出三維梁單元的彈塑性切線剛度矩陣。文獻(xiàn)[6]中基于非線性問題的一般平衡方程和空間梁單元的非線性幾何方程，推導(dǎo)應(yīng)力-應(yīng)變一般線彈性關(guān)系下的空間梁單元顯式切線剛度矩陣，該剛度矩陣中包含了由初應(yīng)力和初應(yīng)變產(chǎn)生的初應(yīng)力剛度矩陣。文獻(xiàn)[7]中使用復(fù)合變量求導(dǎo)方法對內(nèi)力近似求導(dǎo)得到切線剛度矩陣。上述這些方法所建立的空間梁單元切線剛度矩陣并沒有通過大型算例來驗(yàn)證其有效性。

為有效進(jìn)行空間剛架結(jié)構(gòu)后屈曲分析，本文中提出一種新的空間梁單元切線剛度矩陣的分析方法。首先在變形狀態(tài)下用直接法建立梁單元桿端力與桿端位移增量的關(guān)系式，然后根據(jù)矩陣微分理論求單元桿端力關(guān)于桿端位移增量的導(dǎo)數(shù)，最后令桿端位移增量為0，即可得到梁單元切線剛度矩陣。本文中筆者建立切線剛度矩陣時(shí)，沒有忽略任何高階項(xiàng)，因此所建立的切線剛度矩陣是精確的。通過六層和二十層空間剛架結(jié)構(gòu)的后屈曲分析，驗(yàn)證了本文空間梁單元切線剛度矩陣的有效性。

1 空間梁單元桿端向量變換矩陣

空間剛架結(jié)構(gòu)的精確非線性分析，需要利用節(jié)點(diǎn)空間大轉(zhuǎn)動(dòng)分析理論[8-10]。節(jié)點(diǎn)空間大轉(zhuǎn)動(dòng)情況的轉(zhuǎn)動(dòng)次序不滿足交換律，即節(jié)點(diǎn)總量轉(zhuǎn)角不能由轉(zhuǎn)角增量線性疊加累積計(jì)算。

節(jié)點(diǎn)空間大轉(zhuǎn)動(dòng)分析需要建立3種局部坐標(biāo)系：節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系、單元坐標(biāo)系和單元端面坐標(biāo)系。這3種局部坐標(biāo)系對整體坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣分別稱為節(jié)點(diǎn)方向矩陣、單元方向矩陣和單元端面方向矩陣。圖1中給出了結(jié)構(gòu)變形構(gòu)形下空間梁單元的單元坐標(biāo)系、單元端面坐標(biāo)系和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系。

1.1 節(jié)點(diǎn)方向矩陣

節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系是一個(gè)剛性固定于節(jié)點(diǎn)上的笛卡兒坐標(biāo)系，節(jié)點(diǎn)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，該坐標(biāo)系方向（節(jié)點(diǎn)方向）隨之變化。通常令初始構(gòu)形下的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系平行，故初始節(jié)點(diǎn)方向矩陣q0為3階單位矩陣，q0=I3，I3為3階單位矩陣。節(jié)點(diǎn)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)后，節(jié)點(diǎn)方向矩陣q按照節(jié)點(diǎn)空間大轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換矩陣進(jìn)行更新，即

式中：θi為轉(zhuǎn)角矩陣θ的元素，i=1，2，3；θx，θy，θz分別為x，y，z方向的轉(zhuǎn)角。

1.2 單元方向矩陣

單元坐標(biāo)系以O(shè)xeyeze表示（圖1），單元坐標(biāo)系的xe軸通過單元j端和k端截面形心。在初始構(gòu)形下，單元坐標(biāo)系的ye，ze軸分別與單元截面2個(gè)主軸方向平行。單元方向矩陣由單元坐標(biāo)系的xe，ye，ze軸對整體坐標(biāo)系x，y，z軸的方向余弦向量構(gòu)成。初始構(gòu)形下的單元方向矩陣r0表示為

式中：r01，r02，r03分別為初始構(gòu)形下的單元坐標(biāo)系xe，ye，ze軸對整體坐標(biāo)系x，y，z軸的方向余弦向量。

在變形構(gòu)形下，單元截面形心軸發(fā)生彎曲，單元2個(gè)端截面也發(fā)生了轉(zhuǎn)動(dòng)和位移，單元坐標(biāo)系的方向發(fā)生了變化。在變形構(gòu)形下，單元坐標(biāo)系的xe軸對整體坐標(biāo)系x，y，z軸的方向余弦向量r1為

式中：u為整體坐標(biāo)系下單元j端和k端節(jié)點(diǎn)線位移集合向量，u=（ujx，ujy，ujz，ukx，uky，ukz）T；x為增量步開始時(shí)單元j端和k端節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的集合向量；t1=（-I3，I3）。

變形構(gòu)形下的單元方向矩陣r可表示為

式中：r1，r2，r3分別為變形構(gòu)形下單元坐標(biāo)系xe，ye，ze軸對整體坐標(biāo)系x，y，z軸的方向余弦向量。

在變形構(gòu)形下，單元坐標(biāo)系ye，ze軸對整體坐標(biāo)系x，y，z軸的方向余弦向量r2，r3需要由單元端面轉(zhuǎn)動(dòng)情況來確定。

1.3 單元端面方向矩陣

單元端面坐標(biāo)系是一個(gè)固定于單元端截面上的笛卡兒坐標(biāo)系（圖1中的Oxjyjzj和Oxkykzk），用來定義單元端面的方向。

在初始構(gòu)形下，單元端面坐標(biāo)系與單元坐標(biāo)系一致，單元端面方向矩陣即為初始構(gòu)形下的單元方向矩陣r0。在變形構(gòu)形下，節(jié)點(diǎn)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，單元端面坐標(biāo)系的方向發(fā)生改變，單元端面方向矩陣隨之變化。由于單元端面與節(jié)點(diǎn)剛性連接，節(jié)點(diǎn)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，單元端面坐標(biāo)系與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系同步轉(zhuǎn)動(dòng)，它們之間保持著固定變換關(guān)系。

設(shè)在上一增量步迭代結(jié)束時(shí)，單元j端和k端的節(jié)點(diǎn)在整體坐標(biāo)系下的總量轉(zhuǎn)角分別為θ0j和θ0k，此時(shí)單元j端和k端的單元端面方向矩陣分別為R（θ0j）r0和R（θ0k）r0。endprint

設(shè)在當(dāng)前增量步上，單元j端和k端的節(jié)點(diǎn)分別發(fā)生整體坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)角增量為θj和θk。

1.4 確定單元方向矩陣的第2列和第3列

節(jié)點(diǎn)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)后，單元j端和k端的端面坐標(biāo)系xj，xk軸的方向向量pj1，pk1分別為 將單元j端和k端的端面坐標(biāo)系分別繞nj軸和nk軸轉(zhuǎn)動(dòng)γjnj和γknk角，使pj1和pk1與單元坐標(biāo)系的xe軸重合。此時(shí)單元j端和k端的單元端面方向矩陣ej，ek分別變?yōu)?/p>

2 空間梁單元切線剛度矩陣

2.1 單元基本內(nèi)力與單元基本變形的關(guān)系

單元基本內(nèi)力增量向量與單元基本變形增量向量（均在單元坐標(biāo)系下度量）的關(guān)系為

式中：V為單元基本變形增量向量，V=（v，，αyj，αyk，αzj，αzk）T，v為單元軸向變形增量，為單元扭轉(zhuǎn)角增量，αyj，αyk分別為單元j端和k端繞單元坐標(biāo)系ye軸的彎曲轉(zhuǎn)角增量，αzj，αzk分別為單元j端和k端繞單元坐標(biāo)系ze軸的彎曲轉(zhuǎn)角增量；fV為單元基本內(nèi)力增量向量，fV=（nx，tx，myj，myk，mzj，mzk）T，nx為單元軸向力增量，tx為單元扭矩增量，myj，myk分別為單元j端和k端繞單元坐標(biāo)系ye軸的彎矩增量，mzj，mzk分別為單元j端和k端繞單元坐標(biāo)系ze軸的彎矩增量；K為基本內(nèi)力與基本變形關(guān)系的單元?jiǎng)偠染仃?；cy1，cy2，cz1，cz2均為梁單元彎曲剛度系數(shù)；Nx為單元軸向力（拉力為正）；l0為當(dāng)前增量步單元初始長度；A為單元截面面積；Ix為單元扭轉(zhuǎn)慣性矩；ρ為單元截面極回轉(zhuǎn)半徑；E，G分別為材料的彈性模量和剪切模量。

2.2 單元坐標(biāo)系下單元桿端力向量與桿端位移向量的關(guān)系

將單元基本內(nèi)力增量向量fV變換為單元坐標(biāo)系下的單元桿端力增量向量，即

式中：fe為單元坐標(biāo)系下單元桿端力增量向量，fe=（fjx，fjy，fjz，mjx，mjy，mjz，fkx，fky，fkz，mkx，mky，mkz）T，fjx，fjy，fyz分別為單元j端沿著單元坐標(biāo)系xe，ye，ze軸方向的線力分量，mjx，mjy，mjz分別為單元j端繞單元坐標(biāo)系xe，ye，ze軸的彎矩分量，fkx，fky，fkz，mkx，mky，mkz均為單元k端的相應(yīng)分量；T為由單元基本內(nèi)力向量變換為單元桿端力向量的變換矩陣。

2.3 單元坐標(biāo)系下單元桿端位移與結(jié)構(gòu)坐標(biāo)下單元桿端位移的關(guān)系

設(shè)在上一增量步迭代結(jié)束時(shí)單元長度為l0，在當(dāng)前增量步中單元長度為l1，則單元軸向變形增量為l1-l0，l1為單元j端和k端的整體坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)位移增量向量uj和uk的函數(shù)，即l1=l1（uj，uk）。設(shè)當(dāng)前增量步中單元j端和k端的節(jié)點(diǎn)分別發(fā)生整體坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)角增量為θj和θk，將它們變換到單元坐標(biāo)系下分別為rTθj和rTθk。應(yīng)注意，θj和θk均為整體坐標(biāo)系下的總量轉(zhuǎn)角，它們包含著單元的彈性變形和剛體變位的貢獻(xiàn)，其中單元的剛體變位在單元j端和k端產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角增量是相同的。設(shè)單元?jiǎng)傮w變位在單元j端和k端產(chǎn)生的整體坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)角增量向量為β，將β變換為單元坐標(biāo)系下為rTβ。從總轉(zhuǎn)角增量rTθj和rTθk中減去剛體變位轉(zhuǎn)角增量rTβ，剩余部分rT（θj-β）和rT（θk-β）則為單元彈性變形的轉(zhuǎn)角增量。因此，當(dāng)前增量步單元坐標(biāo)系下單元彈性變形增量向量ue可寫為

剛體變位轉(zhuǎn)角增量向量β確定方法如下：設(shè)在上一增量步迭代結(jié)束時(shí)單元坐標(biāo)系xe軸方向向量為r01，在當(dāng)前增量步中單元坐標(biāo)系xe軸方向向量為r1。由r01與r1所決定平面的法向量b為

按照先j端，后k端，先線位移，后角位移的順序，將整體坐標(biāo)系下桿端位移增量向量寫成c=（uj，θj，uk，θk）T。根據(jù)矩陣微分理論，求fS關(guān)于桿端位移增量向量c的導(dǎo)數(shù)，則有

dfSdc=dSxdc[I12T（f0+KI67ue）]+SxTKI67duedc

（31）

式中：I12為12階單位矩陣。

式（31）是一個(gè)關(guān)于c=（uj，θj，uk，θk）T的函數(shù)矩陣。令c=0，將其代入式（31）即可得到空間梁單元的切線剛度矩陣。

由于式（31）中dSxdc和duedc可實(shí)現(xiàn)精確求導(dǎo)，不需要忽略任何高階項(xiàng)，因此，可得到空間梁單元切線剛度矩陣的精確計(jì)算公式。由于在式（31）求導(dǎo)過程時(shí)剛度矩陣K被視為常量而未涉及其求導(dǎo)，所以由式（31）確定的梁單元切線剛度矩陣也適用各種本構(gòu)關(guān)系的梁單元，如彈性梁單元、塑性鉸單元、精細(xì)塑性鉸單元等。3 算例分析

文獻(xiàn)[11]中采用有限元積分方法對六層空間剛架（圖2）和二十層空間剛架（圖3）進(jìn)行彈塑性屈曲分析，得到結(jié)構(gòu)荷載-位移曲線，其極限荷載因子為1.0。文獻(xiàn)[10]，[12]，[13]中采用不同方法對該算例也進(jìn)行了相應(yīng)研究，并以文獻(xiàn)[11]中的結(jié)果作為精確解進(jìn)行對比。本文中為了驗(yàn)證所建立的梁單元切線剛度矩陣的有效性，對這2個(gè)算例也進(jìn)行了彈塑性和幾何非線性后屈曲分析。分析中荷載-位移平衡路徑跟蹤技術(shù)采用廣義位移控制法（GDC）[14]，預(yù)測子為本文梁單元切線剛度矩陣，修正子為式（30），荷載因子初始步長λ0=0.01，收斂控制誤差ε=0.001。彈塑性屈曲分析中，梁單元本構(gòu)關(guān)系K[式（18）]采用精細(xì)塑性鉸梁單元?jiǎng)偠染仃嘯10，12]，幾何非線性屈曲分析中，梁單元本構(gòu)關(guān)系K采用具有穩(wěn)定函數(shù)單元

剛度矩陣[15]。

3.1 六層空間剛架

六層空間剛架結(jié)構(gòu)的尺寸及單元截面規(guī)格如圖2所示。結(jié)構(gòu)鋼材屈服應(yīng)力為250 MPa，彈性模量為206.85 GPa，剪切模量為79.293 GPa。樓面及屋面上均布重力荷載為9.6 kPa，按節(jié)點(diǎn)控制面積等效在每個(gè)樓層的柱頂。風(fēng)荷載沿著y方向作用，等效在每個(gè)梁-柱節(jié)點(diǎn)的集中荷載為53.376 kN。按上述等效節(jié)點(diǎn)荷載分布比例進(jìn)行加載，每個(gè)構(gòu)件取為一個(gè)單元。endprint

對六層空間剛架進(jìn)行彈塑性后屈曲分析，結(jié)構(gòu)A點(diǎn)荷載-位移曲線如圖4所示，極限荷載因子為1.005，與文獻(xiàn)[10]～[13]中的結(jié)果非常接近，比精確解[11]僅高出0.5%。在極限荷載時(shí)A點(diǎn)x方向和y方向產(chǎn)生的位移分別為-0.129 78 m和0.223 86 m。分析結(jié)束時(shí)結(jié)構(gòu)發(fā)生了很大的彈塑性扭轉(zhuǎn)變形，且梁端和柱端形成了許多完全塑性鉸，如圖5所示，其中數(shù)字1～10為最先形成完全塑性鉸的前10個(gè)位置。

3.2 二十層空間剛架

二十層空間剛架結(jié)構(gòu)尺寸及單元截面規(guī)格如圖3所示。結(jié)構(gòu)鋼材為A50鋼，鋼材的屈服應(yīng)力fy=344.8 MPa，彈性模量E=200 GPa，剪切模量G=79 GPa。樓層及屋面均布重力荷載為4.8 kPa，按節(jié)點(diǎn)控制面積等效為集中荷載作用在每個(gè)樓層的柱頂上。結(jié)構(gòu)立面上風(fēng)荷載為0.96 kPa（沿y方向作用），按節(jié)點(diǎn)控制面積等效為集中荷載作用在梁-柱節(jié)點(diǎn)上。按等效節(jié)點(diǎn)荷載分布比例進(jìn)行加載，每個(gè)構(gòu)件取為一個(gè)單元。

對二十層空間剛架進(jìn)行彈塑性后屈曲分析，A點(diǎn)和B點(diǎn)的荷載-位移曲線如圖8所示。極限荷載因子為1.02，與文獻(xiàn)[10]～[13]中的結(jié)果基本一致，比精確解[11]高出2%。在極限荷載處，A點(diǎn)和B點(diǎn)y方向所產(chǎn)生的位移分別為1.543 7 m和0.340 65 m。分析結(jié)束時(shí)結(jié)構(gòu)發(fā)生了很大的彈塑性變形，并在梁端形成了許多完全塑性鉸，如圖9所示，其中數(shù)字1～10是最先形成完全塑性鉸的前10個(gè)位置。

對二十層空間剛架進(jìn)行幾何非線性屈曲分析，結(jié)構(gòu)A點(diǎn)和B點(diǎn)荷載-位移曲線如圖10所示。極限荷載因子為2.409 4，在彈性極限荷載處，A點(diǎn)和B點(diǎn)y方向所產(chǎn)生的位移分別為3.026 3 m和1.039 5 m。分析結(jié)束時(shí)結(jié)構(gòu)變形如圖11所示。由圖11可以看出，二十層空間剛架在下部1/3高度截面處，結(jié)構(gòu)橫向出現(xiàn)了明顯鼓曲。

4 結(jié) 語

（1）本文中空間梁單元切線剛度矩陣分析時(shí)沒有忽略任何高階項(xiàng)，因此所得到的切線剛度矩陣具有足夠精度，通過六層和二十層空間剛架的后屈曲分析得到驗(yàn)證。

（2）由于總體坐標(biāo)系下桿端力與桿端位移關(guān)系式中的梁單元?jiǎng)偠染仃嘖為常量矩陣，在應(yīng)用矩陣微分理論求導(dǎo)時(shí)未涉及K的求導(dǎo)，因此本文中的空間梁單元切線剛度矩陣[式（31）]也適用其他的梁單元本構(gòu)關(guān)系。

（3）從算例彈塑性后屈曲分析荷載-位移曲線可以看出，本文中的梁單元切線剛度矩陣可預(yù)測出結(jié)構(gòu)極限荷載后較長距離的荷載-位移平衡路徑。

（4）本文中的空間梁單元切線剛度矩陣可有效用于大型空間剛架結(jié)構(gòu)的后屈曲分析。

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