考慮圍巖蠕變?nèi)^程與擴容的深埋隧洞非線性位移解

蔡燕燕 ，張建智，俞 縉 ，陳士海

（1.華僑大學(xué) 巖土工程研究所，福建 廈門 361021；2.中國礦業(yè)大學(xué) 深部巖土力學(xué)與地下工程國家重點實驗室，江蘇 徐州 221008）

1 引 言

陳宗基院士在1959年首次對一個完整隧洞進行蠕變試驗，指出必須把堅牢的巖石視為彈黏塑性材料，它能通過向內(nèi)運動把內(nèi)應(yīng)變能釋放一部分[1]。之后，人們開始將時效變形概念引入隧洞圍巖應(yīng)力、應(yīng)變分析中[2]。目前，隧洞正在向“長大深”方向發(fā)展，深埋隧洞工程遇到的蠕變問題更為突出，越來越受到學(xué)者的重視。深埋隧洞開挖支護后，在高地應(yīng)力下中等強度圍巖蠕變表現(xiàn)為非線性[3]，一段時間后，可能發(fā)生累積大變形而導(dǎo)致隧洞支護結(jié)構(gòu)破壞。深入研究深埋隧洞圍巖非線性蠕變問題和解析方法，具有重要的理論價值和實踐意義。

當(dāng)深埋隧洞圍巖長期強度低于高地應(yīng)力時，巖體會出現(xiàn)蠕變?nèi)^程中的加速階段，這與一般隧洞圍巖多處于蠕變衰減和穩(wěn)定階段有顯著差異。另一方面，研究表明，巖體塑性體積變化（多表現(xiàn)為擴容）會影響圍巖應(yīng)力分布，進而改變圍巖位移場，在分析時特別需要重視。若忽略其影響，則會低估圍巖徑向應(yīng)變和塑性區(qū)半徑。因此，深埋隧洞應(yīng)力和位移解析分析需同時考慮圍巖塑性體積變化及加速蠕變的影響，然而現(xiàn)有的研究還很不成熟。于學(xué)馥[4]、Nomikos[5]和Sulem[6]等推導(dǎo)的黏彈性解或黏彈塑性解，沒能考慮圍巖蠕變加速階段和塑性體積變化的影響。Fahimifar 等[7]推導(dǎo)靜水壓力圓形隧洞變形解并預(yù)測了蠕變位移。盧愛紅等[8]探討隧洞位移、支護反力與黏性系數(shù)與時間的關(guān)系，二者均忽略了塑性體積變化的影響。Fritz[9]考慮應(yīng)變軟化因素推導(dǎo)圍巖黏彈塑性解。卞躍威等[10]考慮塑性軟化、塑性體脹和應(yīng)力釋放，推導(dǎo)圓形隧洞黏彈塑性解并對圍巖衰減蠕變特性做了探討。余東明等[11]假設(shè)圍巖為Burgers 體與Drucker-Prager 準(zhǔn)則組合的黏彈塑性材料，獲得剪脹影響下的隧洞黏彈塑性蠕變位移解析式，但他們均未考慮圍巖蠕變?nèi)^程的3個階段，尤其忽略了蠕變加速階段。最近，國外學(xué)者注意到該問題，試圖建立考慮圍巖加速蠕變和擴容影響的分析方法。Sterpi 等[12]采用考慮彈塑性、黏彈性和的黏塑性蠕變模型，研究高地應(yīng)力下隧洞圍巖的3 階段蠕變行為，可惜未得出解析解。

由研究現(xiàn)狀可知，深埋隧洞圍巖蠕變是一個多因素影響的非線性力學(xué)問題，圍巖蠕變模型的合理使用是解析求解的關(guān)鍵。常用的圍巖蠕變力學(xué)模型，如西原模型、Burgers 體組合模型、賓漢姆模型等，均不能反映圍巖加速蠕變特性。為獲得圍巖蠕變3階段的深埋隧洞位移解，文中基于一定假設(shè)，嘗試采用河海模型進行理論求解。河海模型是由西原模型發(fā)展得到的黏彈塑性模型（后者為前者在流變指數(shù)為1 時的特例），可充分反映巖石的加速蠕變特性。在解析中同時考慮巖石塑性擴容特性，推得了考慮與不考慮洞周面力的初始彈塑性應(yīng)力解及圍巖黏彈塑性區(qū)非線性蠕變位移表達式。針對蠕變參數(shù)（NVPB 黏滯系數(shù)η3和蠕變指數(shù)n）以及在不同m值情況下，討論了洞周面力與擴容角對隧洞洞壁蠕變位移的影響規(guī)律。研究結(jié)論對隧洞圍巖的臨崩預(yù)報有一定指導(dǎo)意義。

2 基本假設(shè)與圍巖蠕變模型

2.1 基本假設(shè)

（1）如圖1 所示，深隧半徑為R0，且縱向無限長，原巖應(yīng)力p0表現(xiàn)為靜水狀態(tài)，洞周面力為pi，含隧洞內(nèi)徑處圍巖自身及掌子面提供的假想支護力pc和支護結(jié)構(gòu)提供的抗力ps。

（2）隧洞開挖產(chǎn)生的應(yīng)力重分布完成后，圍巖應(yīng)力場恒定，在此應(yīng)力場作用下圍巖發(fā)生蠕變。蠕變現(xiàn)象符合空間軸對稱假設(shè)。

（3）隧洞圍巖進入屈服前為黏彈性不可壓縮體，服從Hooke 定律，同時考慮蠕變現(xiàn)象。進入屈服后為黏彈塑性可壓縮體，蠕變應(yīng)變含彈性應(yīng)變、黏彈性應(yīng)變和黏塑性應(yīng)變。

（4）圍巖彈、塑性區(qū)長期強度相同，塑性區(qū)圍巖變形模量隨著塑性應(yīng)變的增加而逐漸降低，假設(shè)蠕變參數(shù)G、η 線性弱化。

（5）圍巖應(yīng)力以受壓為正，相應(yīng)的應(yīng)變亦為正，以向隧洞中心發(fā)展的位移為正。

圖1 隧洞力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of tunnel

2.2 圍巖蠕變模型

當(dāng)深埋隧洞圍巖長期強度低于高地應(yīng)力時，須考慮蠕變的全過程，蠕變模型必須充分反映圍巖的衰減、穩(wěn)定和加速蠕變。徐衛(wèi)亞等[13]采用非線性蠕變元件代替法建立了河海模型，可完整地描述巖石蠕變的3 個階段。河海模型是指在五元件線性黏彈性蠕變模型上串聯(lián)一個非線性黏塑性體（nonlinear viscous-plastic body，NVPB）而組成的模型，文獻[13]通過巖石全自動流變伺服儀進行三軸蠕變試驗、FLAC3D數(shù)值程序模擬以及錦屏一級水電站工程驗證，說明該模型可充分反映巖石的加速蠕變特性，模型如圖2 所示。圖中，河海模型由Hooke 體、2 個線性黏彈性體（廣義Kelvin 體）、非線性黏塑性體（NVPB）串聯(lián)而成。其中，σ為一維應(yīng)力（MPa），E0為Hooke 體彈性模量，E1和E2、η1和η2均為廣義Kelvin 體彈性模量和黏滯系數(shù)，η3為NVPB 黏滯系數(shù)，n為蠕變指數(shù)，σs為長期強度。當(dāng)σ ≤σs時，NVPB 部分表現(xiàn)為剛體，不參與蠕變，模型將退化為理想黏彈性蠕變模型，適于描述巖石蠕變衰減及穩(wěn)定階段。當(dāng)σ＞σs時，河海模型適于描述巖石蠕變?nèi)^程行為。

圖2 一維巖石非線性蠕變模型Fig.2 One-dimensional nonlinear creep model of rock

利用Laplace 變換及其逆變換可得蠕變應(yīng)變表達式，見式（1）。由式（1）可知，當(dāng)n≤1 時，dε/dt＞0，d2ε/dt2＜0，模型無法反映蠕變加速階段。當(dāng)n＞1時，dε/dt＞0，且存在 d2ε/dt2＜0、d2ε/dt2=0 或d2ε/dt2＞0 這3 種情況，分別對應(yīng)巖石蠕變3 階段行為，詳見圖3。

圖3 巖石蠕變特征曲線Fig.3 Creep characteristic curve of rock

深埋隧洞圍巖變形是復(fù)雜的三維問題，文獻[13]給出了三維應(yīng)力狀態(tài)下巖石蠕變方程，見式（2）。經(jīng)文獻[14]修正，在三維本構(gòu)關(guān)系中，黏彈性模量Ei（E0、E1和E2）應(yīng)替換成黏彈性剪切模量Gi（G0、G1和G2），式（3）給出了兩種模量關(guān)系式。

式中：t為時間；μ為泊松比；σm為平均應(yīng)力；Sij為偏應(yīng)力；則

式中：σkk為應(yīng)力張量第一不變量；σθ、σz和σr分別為圍巖環(huán)向應(yīng)力、軸向應(yīng)力與徑向應(yīng)力；δij為Kronecker 符號。

3 隧洞圍巖蠕變初始應(yīng)力場

深埋隧洞開挖支護符合平面應(yīng)變假設(shè)。由2.1節(jié)中基本假設(shè)（2）可知，圍巖應(yīng)力場形成以后保持恒定，并作為圍巖蠕變前的初始應(yīng)力場。因此，必須先求得該應(yīng)力場，本文采用Hoek-Brown 屈服準(zhǔn)則求解。Hoek-Brown 屈服準(zhǔn)則作為非線性破壞準(zhǔn)則，相比于線性Mohr-Coulomb 屈服準(zhǔn)則更能反映深隧圍巖的固有特點和非線性破壞特征，以及結(jié)構(gòu)面組數(shù)、巖石強度、所處應(yīng)力狀態(tài)對圍巖強度的影響。其常用公式為

式中：σ1和σ3分別為巖體屈服時的最大主應(yīng)力和最小主應(yīng)力（MPa）；σc為完整巖石的單軸抗壓強度（MPa）；m、s 均為與巖體特性有關(guān)的材料參數(shù)，量綱為1，m 反映巖體的軟硬程度，取值為10-7～25，s 反映巖體破碎程度，取值為0～1。Hoek-Brown公式中巖體力學(xué)參數(shù)可通過文獻[15]確定。令σ1= σθ，σ3= σr。

進而可得環(huán)向應(yīng)力為

考慮到塑性體積變化的影響，采用文獻[16]基于塑性勢函數(shù)推得的平面應(yīng)變條件下塑性中主應(yīng)力計算式如下：

式中：ψ為巖體材料擴容角；則

在圍巖彈性區(qū)，當(dāng)r=Rp時，；且當(dāng)r→∞時，σθ= σr=p0；故由平面應(yīng)變理論可得彈性解：

將式（14）代入式（12）、（13），可得彈性區(qū)應(yīng)力場為

在彈性區(qū)，彈性中主應(yīng)力表達式[17]為

特別注意，考慮隧洞內(nèi)邊界條件時，使用如下關(guān)系式：

孫鈞[3]指出，空間約束效應(yīng)使毗鄰開挖面的圍巖存在等效的假想支護力pc。該支護力隨著開挖面的推進而逐漸減小（應(yīng)力釋放所致），隨之支護結(jié)構(gòu)發(fā)揮作用，其支護抗力ps從0 開始逐漸增加。當(dāng)空間約束效應(yīng)基本消失時，pc=0，ps=ps,max。卞躍威等[10]指出，在t=43 d 時，或者在開挖面后方4 倍洞跨處，圍巖的應(yīng)力釋放率接近于1，其空間約束效應(yīng)基本消失；侯公羽等[17]認(rèn)為，空間約束效應(yīng)基本消失在開挖面后方5 倍洞跨處。因此，在0～43 d內(nèi)（或者在4～5 倍洞跨范圍內(nèi)），需考慮空間約束效應(yīng)對圍巖應(yīng)力重分布的影響，建議選取式（8）、（9）、（11）和式（16）、（17）、（19）計算。若t＞43 d（或者支護結(jié)構(gòu)的架設(shè)滯后于開挖面的推進，架設(shè)在4～5 倍洞跨范圍外），則架設(shè)處圍巖應(yīng)力重分布已經(jīng)完成，支護結(jié)構(gòu)只能支護到圍巖的蠕變變形，解析式不需要考慮pi作用。若使洞周面力pi=0，根據(jù)上述的解析思路可得圍巖蠕變初始應(yīng)力場，具體如下：

4 隧洞圍巖非線性蠕變位移解

在解析中，假設(shè)應(yīng)力重分布完成后應(yīng)力場恒定。從以上各式可知，圍巖內(nèi)部偏應(yīng)力Sij≠0；在偏應(yīng)力作用下圍巖將產(chǎn)生隨時間增加的蠕變變形。

4.1 黏彈性區(qū)

由基本假設(shè)（3）可知，圍巖黏彈性區(qū)應(yīng)變含彈性應(yīng)變和黏彈性應(yīng)變。在非線性蠕變模型中，當(dāng)NVPB 部分不參與蠕變時，模型將退化為含Hooke體和廣義Kelvin 體的線性黏彈性蠕變模型，可充分反映圍巖黏彈性區(qū)蠕變特性。在形式上等價于Sij≤σs情況。隧洞圍巖蠕變符合空間軸對稱假設(shè)，因此，幾何方程 εθ=u/r、εr=du/dr 成立。

將式（16）、（17）、（19）代入式（4）、（5），再代入式（2），并結(jié)合/r 可得

4.2 黏塑性區(qū)

由基本假設(shè)（3）可知，圍巖黏塑性區(qū)應(yīng)變含彈性應(yīng)變、黏彈性應(yīng)變和黏塑性應(yīng)變。相應(yīng)地，蠕變模型由Hooke 體、廣義Kelvin 體和NVPB 構(gòu)成。

在黏塑性區(qū)，隨著蠕變的進行，圍巖裂隙發(fā)展并張開，使擴容效應(yīng)增大。因此，黏塑性區(qū)蠕變位移的確定采用非關(guān)聯(lián)流動法則，結(jié)合幾何方程有

將式（2）代入式（31），可得

將式（8）、（9）、（11）代入式（4）、（5），再代入式（32），并結(jié)合邊界條件，可得

隨著掌子面推進，隧洞內(nèi)壁出現(xiàn)了自由面，圍巖黏彈、黏塑性區(qū)均產(chǎn)生向內(nèi)的位移。因此，黏塑性區(qū)總?cè)渥兾灰苪rcp，應(yīng)包含黏彈性區(qū)產(chǎn)生的蠕變量。同時，考慮原巖應(yīng)力作用下產(chǎn)生的初始地層位移u0。計算公式如下：

其中，材料函數(shù)如下：

若不計洞周面力影響，則把pi=0 代入材料函數(shù)式（37）～（39）可得結(jié)果。

5 分析與討論

5.1 NVPB 參數(shù)η3和n

河海模型含7 個蠕變參數(shù)，因為參數(shù)眾多，這里僅選取可充分反映圍巖蠕變加速特性的NVPB 蠕變參數(shù)η3和n 進行分析。采用文獻[18]的綠片巖蠕變參數(shù)進行分析，詳見表1。影響圍巖應(yīng)力分布的相關(guān)參數(shù)取值：m=15，s=0.8，R0=3 m，φ=25°，ψ=10°，μ=0.25，α=0.8，pi=0.8 MPa，p0=40 MPa，σc=45 MPa；根據(jù)文獻[19]確定σs=0.8，σc=36 MPa。

表1 綠片巖蠕變參數(shù)[18]Table 1 Creep parameters of green schist[18]

圖4 給出了NVPB 蠕變參數(shù)η3和n 影響下綠片巖隧洞洞壁蠕變特征曲線。容易發(fā)現(xiàn)，在高地應(yīng)力作用下，采用非線性蠕變模型可獲得蠕變?nèi)^程曲線。如圖所示，蠕變衰減及穩(wěn)定階段產(chǎn)生的位移量很小，一旦進入加速階段，洞壁位移呈現(xiàn)出非線性劇烈增長，故在蠕變?nèi)^程曲線中往往難以體現(xiàn)出前兩個階段的蠕變規(guī)律（下同）。隨著蠕變指數(shù)n增大和黏滯系數(shù)η3減小，圍巖蠕變行為逐漸由黏彈性向黏彈塑性過渡?？梢姡瑓?shù)η3和n 對隧洞圍巖蠕變規(guī)律影響極大，決定了其是否進入加速階段以及出現(xiàn)該階段的時間，進而決定了隧洞圍巖臨崩預(yù)報工作的開展。因此，開挖巖石蠕變參數(shù)的辨識準(zhǔn)確性應(yīng)引起工程實踐者的重視。

圖4 綠片巖隧洞洞壁蠕變特征曲線Fig.4 Creep curves of tunnel wall in green schist

5.2 洞周面力

計算參數(shù)與上述一致，這里洞周面力pi分別取為0.0、0.8、1.6 MPa。為了突出蠕變衰減及穩(wěn)定階段，圖5 只給出pi=0.8 MPa 時1.5 d 內(nèi)隧洞洞壁蠕變特征曲線。如圖所示，隨著m 值增大，洞壁位移明顯減小，這在加速蠕變階段尤為突出，表明圍巖軟硬程度對洞壁位移影響較大，巖體越軟，洞壁位移越大。圖6 給出了洞周面力及m 值影響下圍巖蠕變?nèi)^程的洞壁位移差值曲線；[Δu1]和[Δu2]是以pi=0.8 MPa為基準(zhǔn)，洞周面力減至0.0 MPa和增至1.6 MPa 時的洞壁位移差值函數(shù)。由分布象限可知，[Δu1]＞0 且[Δu2]＜0，表明隨著洞周面力pi增大，洞壁蠕變位移減小。當(dāng)m=7，t=2.1 d 時，[Δu1]-[Δu2]=76.4-(-62.5)=138.9 mm，即洞周面力由0.0 MPa 增大到1.6 MPa 時位移差值接近于14 cm；發(fā)展此差值位移量需要一定時間，可見洞周面力對加速蠕變階段的出現(xiàn)起到一定的延緩作用。由圖6 可知，洞周面力對圍巖蠕變的影響主要體現(xiàn)在加速階段，[Δu1]+[Δu2]≠0，蠕變具有一定非線性特征。

圖5 pi=0.8 MPa 時隧洞洞壁蠕變特征曲線Fig.5 Creep curves of tunnel wall with pi=0.8 MPa

圖6 洞周面力及材料參數(shù)敏感性分析Fig.6 Sensitivity analysis of surface force around tunnel and material parameter

5.3 擴容角

計算參數(shù)與上述一致，擴容角ψ 分別取為0°、10°、20°和30°。圖7 給出了ψ=10°時隧洞洞壁蠕變特征曲線。容易發(fā)現(xiàn)，圖7與圖5 所得規(guī)律一致，巖體越軟，洞壁位移越大。圖8 給出了擴容角及m值影響下圍巖蠕變?nèi)^程的洞壁位移差值曲線。[Δu10]=uR0(10°)-uR0(0°)，表示以ψ=10°為基準(zhǔn)，擴容角減至0°時的洞壁位移差值函數(shù)；[Δu12]和[Δu13]曲線簇意義等同，即為擴容角增至20°和30°時的洞壁位移差值函數(shù)。如圖所示，[Δu10]＞0 且[Δu13]＜[Δu12]＜0，表明隨著擴容角ψ 增大，洞壁蠕變位移增大，這與擴容的實際作用相符。另外，擴容角對圍巖蠕變的影響也主要體現(xiàn)在加速階段，這是圍巖蠕變加劇擴容效應(yīng)的結(jié)果。當(dāng)m 值取值較小，即巖體較軟 時，[Δu10]+[Δu12]≠0 且[Δu13]-[Δu12]+[Δu10]≠0，更能說明深埋隧洞圍巖蠕變的非線性特征。

圖7 ψ=10°時隧洞洞壁蠕變特征曲線Fig.7 Creep curves of tunnel wall with ψ=10°

圖8 擴容角及材料參數(shù)敏感性分析Fig.8 Sensitivity analysis of the dilatancy angle and material parameter

6 結(jié) 論

（1）在高地應(yīng)力作用下，采用非線性蠕變模型描述深埋隧洞圍巖蠕變問題可獲得蠕變?nèi)^程曲線，隨著NVPB 蠕變指數(shù)n增大和黏滯系數(shù)η3減小，圍巖蠕變行為逐漸由黏彈性向黏彈塑性過渡。

（2）材料參數(shù)m 值越小，巖體越軟，洞壁蠕變位移量越大，且蠕變行為更多體現(xiàn)為非線性特征。洞周面力在一定程度上可以減小洞壁位移，對加速蠕變階段的出現(xiàn)起到一定的延緩作用；擴容角越大，洞壁位移就越大，對圍巖長期穩(wěn)定不利。

（3）深埋隧洞圍巖非線性蠕變位移是一個多參數(shù)函數(shù)，其中巖石蠕變參數(shù)、洞周面力 pi、擴容角ψ與m 值等參數(shù)的準(zhǔn)確獲得對圍巖臨崩預(yù)報工作的開展具有重要意義。

本文獲得的理論解仍有待結(jié)合實際工程作進一步驗證和完善。

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