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    ON THE BOUNDEDNESS AND THE NORM OF A CLASS OF INTEGRAL OPERATORS?

    2015-02-10 08:37:35周立

    (周立)

    Department of Mathematics,Huzhou University,Huzhou 313000,China

    E-mail:lfzhou@hutc.zj.cn

    ON THE BOUNDEDNESS AND THE NORM OF A CLASS OF INTEGRAL OPERATORS?

    Lifang ZHOU(周立芳)

    Department of Mathematics,Huzhou University,Huzhou 313000,China

    E-mail:lfzhou@hutc.zj.cn

    integral operators;sufcient condition;necessary condition;operator norm; hypergeometric functions

    2010 MR Subject Classifcation47B38;47G10

    1 Introduction

    It is well known that the weighted harmonic Bergman projection

    was discussed while studying the Toeplitz operator on harmonic Bergman space,see[8].And see[9]for the Berezin-type transform with λ=0.Therefore,to give the boundedness and the norm of the integral operators,such as Sλand Berezin-type operator Bλdefned above,we need to consider such class integral operators

    where a,b,c∈R.

    (3)Ta,b,cis bounded on L∞,if and only if

    Corollary 1.2Suppose a,b,c and λ∈R,and c=n+a+b.

    (i)Let 1<p<∞,a,b,λ be such that

    Then we have

    (ii)Suppose p=1.If a,b,λ are such that

    then we have

    If a,b,λ are such that

    then we have

    (iii)Suppose p=∞,a>0,b>-1.If b≤a-n or b≥a-2,then

    If a-n<b<a-2,then

    2 Preliminaries

    A number of hypergeometric functions will appear throughout.We use the classical notation2F1(α,β;γ;z)to denote

    with γ/=0,-1,-2,···,where

    And the hypergeometric series in(2.1)converges absolutely for all the value of|z|<1.

    We list a few formulas for easy reference(see[26,Chapter II]):

    The following integral formulas concerning the hypergeometric functions are signifcant for our main results.

    Lemma 2.1([6,Lemma 2.2])For γ∈R and α>-1,we have

    Corollary 2.2(Forelli-Rudin estimates,see[3,Lemma 4.4])Let α>-1 and β∈R. Then for any x∈Bn,

    where a(x)≈b(x)means that the ratio a(x)/b(x)has a positive fnite limit as|x|→1-.

    Lemma 2.3([6,Lemma 2.1])Suppose Reλ>0,Reδ>0 and Re(λ+δ-α-β)>0. Then

    Lemma 2.4Let α>0,β>0,γ∈R,and n+α+β-2γ-1>0,we have

    ProofUsing Lemma 2.1 in the inner integral of(2.8),we have

    Then(2.7)shows the result.

    Lemma 2.5([27,Theorem 3.6])Suppose that(X,μ)is a σ-fnite measure space and K(x,y)is a nonnegative measurable function on X×X and T the associated integral operator

    Let 1<p<∞and 1/p+1/q=1.If there exist positive constants C and a positive measurable function u on X such that

    for almost every x in X,and

    for almost every y in X,then T is bounded on Lp(X,μ)with‖T‖≤C.

    3 Proof of Theorem 1.1

    The proof of Theorem 1.1 will be divided into two steps.

    Step IProve(2)and(3)in Theorem 1.1.Let T?

    a,b,cdenote the adjoint operator of Ta,b,c, and

    Since

    is a fnite number by Lemma 2.1.From(2.6),we see that

    which gives case(2).And case(3)can be obtained in the same way as case(2).

    Step IIProve(1)in Theorem 1.1.Suppose 1<p<∞,and q is the conjugate number of p such that 1/p+1/q=1 in this step.

    we will take

    where

    With α=b+1+(σ-(λ+1))/p,β=a+σ/q+(λ+1)/p,γ=c/2,applying Lemma 2.4 to the left-hand of last inequality,we frstly get

    Then the arbitrariness of σ>0 implies

    When c=n+a+b,by(2.8),the inequality(3.2)is to be that

    Letting σ→0+in the last inequality,we can see that the limit

    is a fnite non-negative real number.Thus,we can conclude that-pa<λ+1<p(b+1)since the limit of the denominator,

    is a fnite non-negative real number under the condition of(3.3).

    Using Lemma 2.1 and(2.3),we frst calculate the integral

    where

    Thus,applying(2.4),we have

    Similar argument gives

    4 Proof of Corollary 1.2

    whose monotonicity implies the result of(ii)in Corollary 1.2.And the same line as(ii)gives (iii)in Corollary 1.2.?

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    [27]Zhu K H.Operator Theory in Function Spaces.2nd ed.Providence:Amer Math Soc,2007

    ?Received May 20,2014;revised November 27,2014.Supported by the National Natural Science Foundation of China(11426104,11271124,11201141,11301136,and 61473332),Natural Science Foundation of Zhejiang province(LQ13A010005,LY15A010014)and Teachers Project of Huzhou University(RP21028).

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