雙參數(shù)指數(shù)型分布最小和最大次序統(tǒng)計(jì)量矩的精確計(jì)算公式

劉 宣

(福州大學(xué) 陽(yáng)光學(xué)院 基礎(chǔ)部 福建 福州 350015)

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雙參數(shù)指數(shù)型分布最小和最大次序統(tǒng)計(jì)量矩的精確計(jì)算公式

劉 宣

(福州大學(xué) 陽(yáng)光學(xué)院 基礎(chǔ)部 福建 福州 350015)

討論雙參數(shù)指數(shù)型分布最小和最大次序統(tǒng)計(jì)量矩的計(jì)算，利用雙參數(shù)指數(shù)型分布矩的遞推關(guān)系及密度函數(shù)的特點(diǎn)獲得了它的最小和最大次序統(tǒng)計(jì)量各階矩以及各階混合矩的精確計(jì)算公式．

雙參數(shù)指數(shù)型分布； 次序統(tǒng)計(jì)量； 矩

0 引言

次序統(tǒng)計(jì)量是統(tǒng)計(jì)理論與應(yīng)用中常用的一種統(tǒng)計(jì)量，有關(guān)其矩的計(jì)算問(wèn)題是人們感興趣的課題．然而，由于一般次序統(tǒng)計(jì)量分布的復(fù)雜性，使得其高階矩計(jì)算十分困難，并不是任意總體的次序統(tǒng)計(jì)量的高階矩都能獲得精確簡(jiǎn)單的計(jì)算公式，但已有部分結(jié)果，如文獻(xiàn)[1-4]．本文考慮了一個(gè)特殊的總體—雙參數(shù)指數(shù)型分布總體次序統(tǒng)計(jì)量矩的計(jì)算問(wèn)題，獲得了它的最小和最大次序統(tǒng)計(jì)量高階原點(diǎn)矩和混合矩的精確計(jì)算公式．

雙參數(shù)指數(shù)型分布是可靠性工程中一種有用的失效分布，常用于描述伺服機(jī)構(gòu)、車輛、電子產(chǎn)品等的壽命分布，具有重要的應(yīng)用價(jià)值，它的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為[5]：

其中,α∈R稱為門限參數(shù)，β∈R+稱為尺度參數(shù)．

1 引理

引理1[5]若{Xn:1≤k≤n}是來(lái)自某總體的一個(gè)樣本，該總體具有密度函數(shù)f(x)和分布函數(shù)F(x)，X(1),X(2),…,X(n)為其次序統(tǒng)計(jì)量，則

1) X(1)的密度函數(shù)為

f1(x)=n[1-F(x)]n-1f(x)；

2) X(n)的密度函數(shù)為

fn(x)=nFn-1(x)f(x)；

3) (X(1),X(n))的密度函數(shù)為

引理2若隨機(jī)變量X服從門限參數(shù)為α、尺度參數(shù)為β的雙參數(shù)指數(shù)型分布，則X的k階原點(diǎn)矩為

證明由隨機(jī)變量k階原點(diǎn)矩的定義可知

2 主要結(jié)論

定理1若{Xk:1≤k≤n}是來(lái)自參數(shù)為α∈R，β∈R+的雙參數(shù)指數(shù)型分布總體的一個(gè)樣本，X(1),X(n)為其最小和最大次序統(tǒng)計(jì)量，則

1) X(1)的密度函數(shù)為

2) X(n)的密度函數(shù)為

3) (X(1),X(n))的密度函數(shù)為

證明由引理1及雙參數(shù)指數(shù)型分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)立即可得此結(jié)論．

② 最大次序統(tǒng)計(jì)量已不服從雙參數(shù)指數(shù)型分布，但其密度函數(shù)可看做不同雙參數(shù)指數(shù)型分布密度函數(shù)的線性組合．

定理2若{Xk:1≤k≤n}是來(lái)自參數(shù)為α∈R，β∈R+的雙參數(shù)指數(shù)型分布總體的一個(gè)樣本，X(1),X(n)為其最小和最大次序統(tǒng)計(jì)量，則

1)

2)

3)

證明1) 由定理1的注①及引理2可證．

2) 由定理1的2)及引理2可知

故結(jié)論(2)成立．

3) 由定理1的3)及引理2可得

注由上可知，E(X(1))≠E(X(n))，E(X(1)X(n))≠E(X(1))E(X(n))．因此，若{Xk:1≤k≤n}是來(lái)自參數(shù)為α∈R，β∈R+的雙參數(shù)指數(shù)型分布總體的一個(gè)樣本，X(1),X(2),…,X(n)為其順序統(tǒng)計(jì)量，則X(1),X(2)-X(1),…,X(n)-X(n-1)既不獨(dú)立也不同分布．

3 應(yīng)用

定義1若{Xn:1≤k≤n}是來(lái)自某總體的一個(gè)樣本，X(1),X(2),…,X(n)為其次序統(tǒng)計(jì)量，則稱Rn=X(1)-X(n)為樣本極差．

樣本極差可以反映總體分布的變異范圍和離散程度，在質(zhì)量控制分析中有廣泛應(yīng)用．如對(duì)于某產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)，當(dāng)生產(chǎn)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，可通過(guò)設(shè)定置信水平得到這項(xiàng)指標(biāo)取值的控制區(qū)間.在實(shí)際應(yīng)用時(shí)通常每次都要計(jì)算樣本均值與方差，計(jì)算較繁瑣，且為了保證樣本均值和方差計(jì)算的準(zhǔn)確性，做檢查時(shí)必須逐個(gè)檢查樣本觀察值．若對(duì)檢驗(yàn)結(jié)果有疑問(wèn)則需要加大樣本容量，一些計(jì)算又得重新進(jìn)行.在高度自動(dòng)化的現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)條件下，這種做法對(duì)檢驗(yàn)生產(chǎn)過(guò)程是否正常等及時(shí)作出判斷是很不適應(yīng)的[6]，而樣本極差在一定程度上可以彌補(bǔ)上述缺陷，計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)捷，因此可用于質(zhì)量控制，但這個(gè)過(guò)程通常需要求出樣本極差的期望和方差．

假設(shè)根據(jù)以往的生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，某產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)X服從門限參數(shù)為α、尺度參數(shù)為β的雙指數(shù)分布，{Xn:1≤k≤n}為抽取的樣本，下面求出此樣本極差的期望和方差．

由于樣本極差的分布較復(fù)雜，因此不宜用此分布函數(shù)去求．直接利用本文定理2所得結(jié)論計(jì)算可得,

4 結(jié)論

綜上，本文獲得了雙參數(shù)指數(shù)型分布總體最小和最大次序統(tǒng)計(jì)量各階原點(diǎn)矩以及各階混合矩的精確計(jì)算公式．從公式的形式上看沒(méi)有積分運(yùn)算，稍微復(fù)雜一點(diǎn)不過(guò)是有限項(xiàng)求和，用數(shù)學(xué)軟件容易實(shí)現(xiàn)比較精確的計(jì)算結(jié)果，因此在質(zhì)量分析中具有一定的應(yīng)用價(jià)值． 當(dāng)然，任意總體次序統(tǒng)計(jì)量矩的計(jì)算問(wèn)題較復(fù)雜，有待進(jìn)一步研究．

[1]ChildsA．HigherordermomentsoforderstatisticsfromINIDexponentialrandomvariables[J]．StatisticalPapers，2003，44(2)：151-167．

[2]ThomasPY，SamuelP．Recurrencerelationforthemomentsoforderstatisticsfromabetadistribution[J]．StatisticalPapers，2008，49(1)：139-146．

[3] 張金延．次序統(tǒng)計(jì)量矩的計(jì)算[J]．中國(guó)科學(xué)院研究生院學(xué)報(bào)，1990，7(1)：1-29．

[4]NadarajahS．Explicitexpressionsformomentsoforderstatistics[J]．Statistics&ProbabilityLetters，2008，78(2)：196-205．

[5] 茆詩(shī)松，王靜龍，濮曉龍．高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M]．2版.北京：高等教育出版社，2006．

[6] 張方仁．極差的概率分布和它在質(zhì)量控制中的應(yīng)用[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，1985，15(3)：4-14．

(責(zé)任編輯：王浩毅)

Precise Calculation Formula of the Minimum and Maximum Order Statistic Moments of Two-parameter Exponential Distribution

LIU Xuan

(FoundationDepartment,FuzhouUniversitySunshineCollege，F(xiàn)uzhou350015，China)

The calculation of the minimum and maximum order statistic moments of two-parameter exponential distribution was discussed． The moments and mixed moments precise calculation formula of two-parameter exponential distribution were obtained by using the recursive relations of moments and the characteristics of the density function of two-parameter exponential distribution．

two-parameter exponential; order statistic; moment

2014-12-19

福建省教育廳資助項(xiàng)目，編號(hào)JB13262．

劉宣(1982-)，男，湖南耒陽(yáng)人，講師，碩士，主要從事隨機(jī)過(guò)程研究， E-mail: liuxuanyg@163.com．

劉宣. 雙參數(shù)指數(shù)型分布最小和最大次序統(tǒng)計(jì)量矩的精確計(jì)算公式[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2015，47(2)：41-44.

O212．1

A

1671-6841(2015)02-0041-04

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.02.009