劉國(guó)華
江蘇省海安市實(shí)驗(yàn)中學(xué) (226600)
二次函數(shù)是重要的基本初等函數(shù)之一,備受命題者的青睞,許多高考題、調(diào)研試題均以二次函數(shù)為背景考查學(xué)生素養(yǎng).其中雙重最值問題綜合性強(qiáng),難度大,能力要求高,是學(xué)生眼中的難題.筆者從熟題入手,優(yōu)化處理方法,揭示其變化規(guī)律,幫助學(xué)生提高解決此類問題的能力.
為表述方便,將函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[m,n]上的最大值與最小值的差稱為函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[m,n]上極差.
引例若二次函數(shù)f(x)=a(x-h)2+k(其中a≠0),求函數(shù)f(x)在區(qū)間[x0-l,x0+l](其中l(wèi)>0)上的極差.
解析:記區(qū)間[x0-l,x0+l]中點(diǎn)x0到對(duì)稱軸x=h的距離為d,則d=|x0-h|≥0.
(1)若d>l,極差為|f(x0-l)-f(x0+l)|=
|2al(2x0-2h)|=4|a|l|x0-h|=4|a|ld.
(2)若d≤l.
①當(dāng)x0-l≤h ②當(dāng)x0≤h≤x0+l,即d=h-x0時(shí),極差為|f(x0-l)-f(h)|=|a(x0-l-h)2|=|a|[(h-x0)+l]2=|a|(d+l)2. 由①②可知,若d≤l,極差為|a|(d+l)2. 綜合(1)(2)得:若d>l,極差為4|a|ld;若d≤l,極差為|a|(d+l)2. 揣摩上述結(jié)果,分析二次函數(shù)f(x)=a(x-h)2+k(其中a≠0)在區(qū)間[x0-l,x0+l](其中l(wèi)>0)上的極差的影響因素,不難得出如下結(jié)論: 規(guī)律1 在區(qū)間[x0-l,x0+l](其中l(wèi)>0)上,|a|越大極差越大. 規(guī)律2 在區(qū)間[x0-l,x0+l](其中l(wèi)>0)上,l越大極差越大,即區(qū)間越長(zhǎng)極差越大. 規(guī)律3 在區(qū)間[x0-l,x0+l](其中l(wèi)>0)上,d越大極差越大,即區(qū)間中點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離越遠(yuǎn)極差越大. 由規(guī)律3易得規(guī)律4,當(dāng)d=0,即二次函數(shù)的對(duì)稱軸處于區(qū)間中點(diǎn)時(shí),極差取到最小值|a|l2. 以上4點(diǎn)指明了二次函數(shù)在閉區(qū)間上最大值與最小值的差(即極差)的變化規(guī)律.從最近發(fā)展區(qū)出發(fā),多思考一點(diǎn),形成直達(dá)本質(zhì)的認(rèn)識(shí),有利于提高學(xué)生解決問題的能力. 例1 (2017全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試A卷第9題)設(shè)k,m為實(shí)數(shù),不等式|x2-kx-m|≤1對(duì)所有x∈[a,b]成立,則b-a的取值范圍是. 例2 (2018年江蘇省海安市高三期中調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(其中a,b,c為實(shí)數(shù),且a≠0),若對(duì)于任意b,c,存在x0∈[1,2],使得 |f(x0)|>1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 例3 (2018年南師大附中高三期中考試)已知實(shí)數(shù)a,b,c∈[0,4],若a2,b2,c2是公差為2的等差數(shù)列,則|a-b|+|b-c|的最小值為. 取函數(shù)f(x)=x2,問題轉(zhuǎn)化為:若0≤a 例4 (2018年金陵中學(xué)高三12月檢測(cè))已知偶函數(shù)y=f(x)滿足f(x+4)=f(4-x),當(dāng)x∈ 圖1 解析:因?yàn)閥=f(x)是偶函數(shù),所以f(x+4)=f(4-x)=f(x-4),即函數(shù)f(x)的周期為8,圖像如圖1所示. |f(xi)-f(xi+1)|表示函數(shù)f(x)在區(qū)間[xi,xi+1]上的極差,由結(jié)論2知|f(xi)-f(xi+1)|≤8.又因?yàn)?018=8×252+2,所以要使n+xn的值最小,須x1=0,xi+1=xi+4(i=1,2,…,253),所以n=254,x254=x253+2=252×4+2=1010,故n+xn的最小值為1264.2.反思結(jié)果,規(guī)律顯現(xiàn)
3.應(yīng)用規(guī)律,難題突破