彭維玲，歷建蘭

(通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 通化134002)

數(shù)學(xué)文化融入高師數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的案例與分析*

彭維玲，歷建蘭

(通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 通化134002)

在數(shù)學(xué)文化觀下，高師數(shù)學(xué)課堂教學(xué)除了遵循數(shù)學(xué)規(guī)律傳授數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法外，更應(yīng)挖掘其文化價(jià)值．文章在給出數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，結(jié)合課堂教學(xué)實(shí)際，列舉了數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)和常微分方程中數(shù)學(xué)文化的教學(xué)案例，并且進(jìn)行了分析，這些對(duì)于深化高師數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有一定的幫助．

數(shù)學(xué)文化；數(shù)學(xué)分析；高等代數(shù)

1 數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵

關(guān)于“數(shù)學(xué)文化”一詞的內(nèi)涵，不同學(xué)者從不同的角度給出了不同的定義，美國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾德從人類學(xué)的角度提出了“數(shù)學(xué)是一種文化體系”[1]；我國(guó)學(xué)者黃秦安從系統(tǒng)論的角度提出了“數(shù)學(xué)文化是以數(shù)學(xué)科學(xué)體系為核心，由數(shù)學(xué)的精神、思想、知識(shí)、方法、技術(shù)、理論等組成的一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)”[2]．鄭毓信從表現(xiàn)形式的角度提出了“數(shù)學(xué)概念存在于文化之中，數(shù)學(xué)真理存在于個(gè)人降生其內(nèi)的文化傳統(tǒng)之中”[3].而顧沛從廣義和狹義兩個(gè)方面給出了數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，“狹義是指數(shù)學(xué)的精神、思想、方法、觀點(diǎn)、語(yǔ)言，以及它們的形成和發(fā)展；廣義的解釋是除這些以外，還包含數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)與人文的交叉、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系”[4].

高師數(shù)學(xué)課程教學(xué)除了傳授數(shù)學(xué)知識(shí)以外，更為重要的是培養(yǎng)能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以勝任將來(lái)的中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)．然而，我國(guó)現(xiàn)行的大多數(shù)數(shù)學(xué)教材嚴(yán)格遵循定義——定理——例題——習(xí)題的思路，將數(shù)學(xué)符號(hào)一一展示出來(lái)，將數(shù)學(xué)的抽象性和邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性表現(xiàn)得淋漓盡致，但缺少數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的滲透，使學(xué)生失去了了解這部分知識(shí)來(lái)龍去脈的機(jī)會(huì)．這樣的授課模式對(duì)培養(yǎng)高素質(zhì)的數(shù)學(xué)教師是十分不利的.所以張奠宙提出“數(shù)學(xué)文化必須走進(jìn)課堂，在實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)中使得學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中真正受到文化感染，產(chǎn)生文化共鳴．體會(huì)數(shù)學(xué)的文化品味和世俗的人情味”．

2 數(shù)學(xué)分析中數(shù)學(xué)文化的教學(xué)案例及分析

數(shù)學(xué)分析中含有豐富多彩的數(shù)學(xué)思想、方法和技巧，在教學(xué)中要開(kāi)發(fā)好教學(xué)案例，激發(fā)學(xué)生探索的好奇心，深刻領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，凸顯數(shù)學(xué)文化的教育功能．

2.1 有限與無(wú)限的問(wèn)題

初等數(shù)學(xué)更多地是以有限為手段討論問(wèn)題，而數(shù)學(xué)分析則更多地是在無(wú)限的領(lǐng)域里討論問(wèn)題，如極限、導(dǎo)數(shù)和定積分，在授課時(shí)，可以先引入芝諾悖論的阿基里斯追不上烏龜?shù)墓适拢⒒锼故枪畔ＥD傳說(shuō)中跑得最快的神，而烏龜是爬得最慢的動(dòng)物，芝諾說(shuō)，如果先讓烏龜爬出一段距離后，那么阿基里斯永遠(yuǎn)也追不上烏龜．這當(dāng)然是荒謬的，產(chǎn)生悖論的原因在于無(wú)限長(zhǎng)度的和有可能是有限的，無(wú)限段時(shí)間的和也可能是有限的．表面上看起來(lái)，阿基里斯要追上烏龜需要跑無(wú)窮段路，由于是無(wú)窮段，所以感覺(jué)永遠(yuǎn)也追不上．實(shí)際上這無(wú)窮段路的和卻是有限的，所以只要阿基里斯跑完這段有限的路程后，其實(shí)已經(jīng)追上烏龜了．

數(shù)學(xué)中的有限和無(wú)限是進(jìn)行對(duì)立與統(tǒng)一、量變與質(zhì)變等辯證唯物主義教學(xué)的好案例，有助于培養(yǎng)學(xué)生的世界觀和方法論．?dāng)?shù)學(xué)的思想方法往往隱藏在數(shù)學(xué)的概念、定理之中，通過(guò)數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)，可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，把數(shù)學(xué)知識(shí)提升到觀點(diǎn)、思想和精神的層面上．

2.2 歷史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)

著名數(shù)學(xué)家陳省身曾說(shuō)過(guò)“了解歷史的變化是了解這門(mén)科學(xué)的一個(gè)步驟”．?dāng)?shù)學(xué)發(fā)展史上共有三次數(shù)學(xué)危機(jī)，每一次都是數(shù)學(xué)的基本部分受到質(zhì)疑，實(shí)際上這三次危機(jī)引發(fā)了三次思想解放，推動(dòng)了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展．第一次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在公元前5世紀(jì)，危機(jī)來(lái)源是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派內(nèi)部提出的，當(dāng)時(shí)認(rèn)為所有的數(shù)都能表示為整數(shù)之比，但突然發(fā)現(xiàn)有的數(shù)，如π和e不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比，引起了學(xué)者們的恐慌，其實(shí)質(zhì)是π和e是無(wú)理數(shù)，全體整數(shù)之比構(gòu)成的是有理數(shù)系，隨著有理數(shù)系的擴(kuò)充，問(wèn)題得到了完美的解決；第二次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在十七世紀(jì)牛頓創(chuàng)立微積分以后，貝克萊大主教對(duì)牛頓的“無(wú)窮小量”的說(shuō)法提出質(zhì)疑，其實(shí)質(zhì)是微積分的概念中用到了極限，但由于當(dāng)時(shí)極限理論的基礎(chǔ)還沒(méi)有建立，有限與無(wú)限之間可經(jīng)任意通行造成的，直到十九世紀(jì)，建立了嚴(yán)格的極限理論，問(wèn)題才得以解決；到了十九世紀(jì)末，集合論出現(xiàn)了，這給數(shù)學(xué)家?guī)?lái)了曙光，甚至龐加萊在1900年的巴黎數(shù)學(xué)家大會(huì)上宣稱：“現(xiàn)在我們可以說(shuō)，完全的嚴(yán)格性已經(jīng)達(dá)到了”，但是在1902年羅素發(fā)現(xiàn)了悖論，引發(fā)了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，其實(shí)質(zhì)是“其本身成員的所有集合的集合”這樣界定集合的說(shuō)法犯了自我指謂、惡性循環(huán)的錯(cuò)誤，人們對(duì)康托的集合論進(jìn)行了改造，提出了公理集合論，誕生了“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”學(xué)科，這樣數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)就成為了整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的基石．

從歷史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)可以看出，每次都有典型的悖論作為代表，解決這些悖論不僅沒(méi)有導(dǎo)致數(shù)學(xué)大廈的坍塌，反而推動(dòng)了數(shù)學(xué)向前發(fā)展，這表明數(shù)學(xué)文化具有很強(qiáng)的傳遞性和繼承性．高師院校的學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷12年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，但是對(duì)數(shù)學(xué)的宏觀認(rèn)識(shí)和總體把握還不是很強(qiáng)，關(guān)于歷史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)的介紹，可以涉及數(shù)系、微積分以及集合論的發(fā)展過(guò)程，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的宏觀認(rèn)識(shí)．

3 高等代數(shù)中數(shù)學(xué)文化的教學(xué)案例及分析

高等代數(shù)具有獨(dú)特的理論體系和思想方法，對(duì)其中的數(shù)學(xué)典故和思想方法進(jìn)行討論，能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．

3.1 韓信點(diǎn)兵的故事與帶余除法

帶余除法是高等代數(shù)中多項(xiàng)式整除理論的基礎(chǔ)，在講解帶余除法之前，可以從韓信點(diǎn)兵的故事說(shuō)起，韓信是漢高祖劉邦的大將，屢建戰(zhàn)功，他閱兵時(shí)，先讓一隊(duì)士兵5人一行排隊(duì)從閱兵臺(tái)前面走過(guò)，他記下最后一行士兵的人數(shù)(1人)；再讓這隊(duì)士兵6人一行排隊(duì)從閱兵臺(tái)前面走過(guò)，他記下最后一行士兵的人數(shù)(5人)；再讓這隊(duì)士兵7人一行排隊(duì)從閱兵臺(tái)前面走過(guò)，他記下最后一行士兵的人數(shù)(4人)；再讓這隊(duì)士兵11人一行排隊(duì)從閱兵臺(tái)前面走過(guò)，他記下最后一行士兵的人數(shù)(10人)，然后韓信憑這些數(shù)求得這隊(duì)士兵的總?cè)藬?shù)．這里給出的條件是作除法時(shí)的余數(shù)，由此如何求出士兵的人數(shù)？可以讓全班學(xué)生進(jìn)行討論，發(fā)表自己的看法，教師可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)和提醒，然后在分析的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生提出解決問(wèn)題的辦法，講解帶余除法的具體內(nèi)容，講完以后再讓學(xué)生求解這個(gè)問(wèn)題．

這種教學(xué)法被稱之為問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法，它不像傳統(tǒng)的教學(xué)那樣先學(xué)習(xí)理論知識(shí)再解決問(wèn)題，它是充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用、以問(wèn)題作為學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，以問(wèn)題來(lái)規(guī)劃學(xué)習(xí)內(nèi)容，讓學(xué)生圍繞問(wèn)題展開(kāi)討論，尋求解決方案，在此過(guò)程中教師是問(wèn)題的提出者、課程的設(shè)計(jì)者以及效果的評(píng)估者；這樣可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，提高學(xué)生的參與程度，容易激起學(xué)生的求知欲，活躍學(xué)生的思維．對(duì)于啟發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維是非常有效的．因此在數(shù)學(xué)文化觀指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)有一個(gè)更為廣闊的空間，它可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新的能力．

3.2 初等變換與類比法

矩陣是高等代數(shù)的重要研究對(duì)象，矩陣初等變換是高等代數(shù)的一種重要的計(jì)算工具，而初等變換包括行初等變換和列初等變換，但教材中只介紹了行初等變換的方法，并說(shuō)明了行初等變換的應(yīng)用. 在教學(xué)中，要鼓勵(lì)學(xué)生利用類比法，積極探索列初等變換的方法，然后研究列初等變換定理的應(yīng)用．包括列初等變換定理：矩陣的列初等變換不改變列向量組的線性相關(guān)性和線性組合關(guān)系，利用列初等變換定理能解決以下五個(gè)問(wèn)題：討論向量組的線性關(guān)系；求向量組的極大線性無(wú)關(guān)組；求任一向量在任意一個(gè)基下的坐標(biāo)；判斷兩個(gè)向量組的等價(jià)；求從一個(gè)基到另一個(gè)基的過(guò)渡矩陣等．

這樣在傳授數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，傳授了類比法，即根據(jù)兩個(gè)(或兩類)對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗨苹蛳嗤囊环N推理方法．類比的過(guò)程是由已知推向未知的過(guò)程，使用它可以達(dá)到事半功倍的效果，因此它不僅是獲得新思路、新發(fā)現(xiàn)的一種手段，也是提高創(chuàng)新能力的一種途徑．

4 常微分方程中數(shù)學(xué)文化的教學(xué)案例及分析

常微分方程的產(chǎn)生和發(fā)展源于實(shí)際問(wèn)題的需要，同時(shí)它也成為解決實(shí)際問(wèn)題的有力工具．

4.1 海王星的發(fā)現(xiàn)

海王星是太陽(yáng)系最遠(yuǎn)的行星，它是1846年在數(shù)學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)上被發(fā)現(xiàn)的．十九世紀(jì)，人們?cè)谟^測(cè)天王星時(shí)，發(fā)現(xiàn)它的運(yùn)行總是偏離軌道，數(shù)學(xué)家貝塞爾和一些天文學(xué)家猜想，在天王星的外側(cè)一定還存在著一顆行星干擾著天王星的運(yùn)行．1845年，法國(guó)數(shù)學(xué)家勒威耶利用微分方程，計(jì)算出這顆新行星的運(yùn)行軌道．柏林天文臺(tái)的工作人員收到了勒威耶的信，當(dāng)夜按照勒威耶指定的位置觀察，很快就找到一顆以前沒(méi)有見(jiàn)過(guò)的星，即太陽(yáng)系的第八顆大行星——海王星．

海王星的發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)事先計(jì)算出來(lái)的，這是數(shù)學(xué)理性思維的一大勝利．

4.2 傳染病模型

隨著人類文明的進(jìn)步和醫(yī)療水平的提高，很多傳染性疾病得到了有效的控制，但是還有一些如艾滋病毒等至今仍在蔓延.2003年春來(lái)歷不明的SARS病毒突襲人間，給人們的生命財(cái)產(chǎn)帶來(lái)極大地危害．建立傳染病的數(shù)學(xué)模型，描述傳染病的傳播過(guò)程、分析傳染病的變化規(guī)律，控制傳染病的蔓延途徑等變得尤為重要．這個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)SI模型、SIS模型、SIR模型來(lái)刻畫(huà)．

這是微分方程造福人類的生動(dòng)一例．類似例子還有很多，比如我國(guó)人口發(fā)展預(yù)測(cè)、馬王堆一號(hào)墓年代的確定、經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型和懸鏈線方程在橋梁建筑中的應(yīng)用等等，讓學(xué)生深切感受到微分方程的應(yīng)用之廣、威力之大，進(jìn)而確立了學(xué)以致用的理念，增強(qiáng)了勤奮學(xué)習(xí)報(bào)效國(guó)家的信心和決心．

5 結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)文化融入高師數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，不僅可以讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史，開(kāi)闊視野；而且可以拓寬學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，引起興趣；更主要的是可以感悟數(shù)學(xué)的思想方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；最終掌握以數(shù)學(xué)的理性思維觀察世界的方法．正如鄭毓信所說(shuō)“如果您的教學(xué)始終只是停留于知識(shí)與技能的層面，您就只能算是一個(gè)‘教書(shū)匠’；如果您的教學(xué)能夠很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維，您就是一個(gè)‘智者’，您給學(xué)生帶來(lái)了真正的智慧；如果您的教學(xué)能給學(xué)生無(wú)形的文化熏陶，那您是一個(gè)真正的大師，您的生命也因此而充滿了真正的價(jià)值”[5].

[1]Smorynski C.數(shù)學(xué)——一種文化體系[J].數(shù)學(xué)譯林,1988,7(3):247.

[2]黃秦安.數(shù)學(xué)文化觀念下的數(shù)學(xué)素質(zhì)教育[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2001(8):12-17.

[3]鄭毓信,王憲昌,蔡仲.數(shù)學(xué)文化學(xué)漫談數(shù)學(xué)文化[M].成都:四川教育出版社,2001.

[4]顧沛.數(shù)學(xué)文化[M].北京:高等教育出版社,2008.

[5]鄭毓信.漫談數(shù)學(xué)文化[J].小學(xué)教學(xué)(數(shù)學(xué)版),2008(3):37-39.

(責(zé)任編輯:陳衍峰)

Case and Analysis of Mathematical Culture Blending into Mathematics Classroom Teaching in Normal Universities

PENG Wei-ling,LI Jian-lan

(CollegeofMathematics,TonghuaNormalUniversity,Tonghua,Jilin134002,China)

In view of mathematical culture,mathematics classroom teaching in addition to follow the mathematical laws teaches mathematical knowledge,mathematical thought and mathematical methods,but should explore cultural value.In this paper,based on the connotation of mathematical culture,combining with classroom teaching practice,gives the teaching cases of mathematical culture of the mathematical analysis,higher algebra and ordinary differential equation,and analyzes these for deepening of the reform of mathematical classroom teaching in normal universities,the training of students' mathematical literacy have some help.

mathematical culture;mathematical analysis;higher algebra

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2015.04.026

2014-11-20

2012年吉林省高等教育教學(xué)改革課題“數(shù)學(xué)文化融入高師數(shù)學(xué)課程教學(xué)的研究與實(shí)踐”；吉林省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題“數(shù)學(xué)文化融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的研究與實(shí)踐”(GH13522)

彭維玲,女,吉林撫松人,教授．

G642

A

1008-7974(2015)02-0077-03