丁靖洋，周宏偉，陳 瓊，劉 迪，劉建鋒

（1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京)煤炭資源與安全開采國(guó)家重點(diǎn)試驗(yàn)室，北京 100083；2.四川大學(xué) 水利水電學(xué)院，四川 成都 610065)

1 引言

隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)的快速增長(zhǎng)，能源問題日益受到各方重視，而戰(zhàn)略能源儲(chǔ)備則是保障能源安全的重要手段[1]。鹽巖因其本身所具有的結(jié)構(gòu)致密、低孔隙率、低滲透性等特點(diǎn)而成為地下儲(chǔ)存硐室的理想圍巖[2]，而針對(duì)硐室圍巖長(zhǎng)期流變特性及腔體長(zhǎng)期穩(wěn)定性的研究一直是重點(diǎn)及難點(diǎn)[3－4]。鹽巖具有非常良好的流變特性，其典型的流變曲線可分為3個(gè)特征階段：流變速率不斷降低的衰減流變階段；流變速率基本恒定的穩(wěn)態(tài)流變階段；流變速率不斷增加的加速流變階段，因此，建立能夠描述鹽巖流變?nèi)^程的數(shù)學(xué)本構(gòu)模型尤其引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注[5]?？傮w而言，鹽巖流變本構(gòu)模型可以分為以下幾類：經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蚚6－7]、元件模型[8－9]、損傷流變模型[10－12]及分?jǐn)?shù)階流變模型[13－14]等。元件模型因概念直觀、意義明確而被大量應(yīng)用，但大部分模型并不能描述巖石的加速流變階段[15]。若從細(xì)觀機(jī)制角度入手，分析巖石產(chǎn)生流變3個(gè)特征階段的內(nèi)在原因，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建流變本構(gòu)模型，將更有助于模型對(duì)于宏觀流變現(xiàn)象的描述。事實(shí)上，很多學(xué)者已經(jīng)致力于構(gòu)建宏觀現(xiàn)象學(xué)與細(xì)觀力學(xué)之間的橋 梁[16－17]，因此，針對(duì)鹽巖流變過程中細(xì)觀機(jī)制的研究，如微細(xì)觀尺度上裂隙的發(fā)展及損傷的演化，是很有必要的。

分?jǐn)?shù)階微積分算法作為一種最近30年才在工程領(lǐng)域得到較廣泛應(yīng)用的理論[14]，其在描述非線性曲線特性方面具有強(qiáng)大的功能，如Xu 等[18]、Beda等[19]在分?jǐn)?shù)階模型的基礎(chǔ)上對(duì)黏彈性材料進(jìn)行了研究；Chen 等[20]、Fu 等[21]借助于分?jǐn)?shù)階微積分理論研究了離子的反常擴(kuò)散現(xiàn)象。大量的鹽巖流變曲線，尤其是加速流變階段的曲線均表現(xiàn)出明顯的非線性特性，因此，分?jǐn)?shù)階微積分理論無疑將成為構(gòu)建流變本構(gòu)模型的有力工具。Adolfsson 等[22]基于內(nèi)變量理論構(gòu)建了分?jǐn)?shù)階黏彈性本構(gòu)模型；尹德順等[23]基于分?jǐn)?shù)階微積分理論構(gòu)建了一種軟體元件，來描述介于理想固體與理想流體之間的“軟物質(zhì)”流變特性；周宏偉等[14,24]建立了一種新Abel 黏壺元件，通過將分?jǐn)?shù)階Abel 黏壺替代西原模型中Newton 黏壺的方法，構(gòu)建了鹽巖分?jǐn)?shù)階流變本構(gòu)模型，并對(duì)該模型進(jìn)行了無量綱化處理。本文在考慮流變過程中損傷演化機(jī)制的基礎(chǔ)上，借助于鹽巖流變-聲發(fā)射試驗(yàn)，分析了流變3個(gè)特征階段與聲發(fā)射事件數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；基于聲發(fā)射事件數(shù)構(gòu)建了損傷變量隨加載時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，并對(duì)關(guān)系式中的參數(shù)進(jìn)行了敏感性分析；引入分?jǐn)?shù)階微積分理論，構(gòu)建了鹽巖流變損傷本構(gòu)模型。研究結(jié)果表明，該本構(gòu)模型能夠很好地描述鹽巖流變的3個(gè)特征階段，尤其是加速流變階段，且模型中參數(shù)意義較為明確，克服了純粹經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ图霸Ｐ偷闹T多缺陷，將更有利于該本構(gòu)模型對(duì)于鹽巖流變特性的研究和描述。

2 鹽巖流變-聲發(fā)射試驗(yàn)及損傷模型的建立

2.1 鹽巖流變-聲發(fā)射試驗(yàn)分析

一般認(rèn)為，當(dāng)應(yīng)力水平低于巖石屈服應(yīng)力時(shí)，在流變?cè)囼?yàn)中巖石將經(jīng)歷衰減、穩(wěn)態(tài)流變階段；當(dāng)應(yīng)力水平高于屈服應(yīng)力時(shí)，巖石將經(jīng)歷衰減、穩(wěn)態(tài)、加速3個(gè)流變階段[25]。圖1為文獻(xiàn)[26]鹽巖單軸流變-聲發(fā)射試驗(yàn)結(jié)果，由圖可以看出，整個(gè)試驗(yàn)過程可以分為3個(gè)階段：第1 階段對(duì)應(yīng)流變曲線中的衰減流變階段，在此階段聲發(fā)射事件數(shù)在逐漸減少，可以解釋為在軸向應(yīng)力加載的初期，鹽巖發(fā)生了瞬時(shí)彈性應(yīng)變以及隨后的內(nèi)部微裂隙的閉合。由于鹽巖屬于結(jié)晶沉積型巖石，內(nèi)部晶粒排列致密[27]，因此，若將聲發(fā)射事件數(shù)定義為鹽巖內(nèi)部微元體的破壞個(gè)數(shù)，則可以解釋為隨著鹽巖內(nèi)部結(jié)構(gòu)致密性的增加，由于微元體破壞造成的損傷值在不斷降低，此階段可以理解為鹽巖初始損傷的自愈合過程；第2階段對(duì)應(yīng)流變曲線中的穩(wěn)態(tài)流變階段，在此階段聲發(fā)射事件數(shù)處于一個(gè)較低水平且趨于平穩(wěn)，可以解釋為在軸向應(yīng)力作用下，鹽巖內(nèi)部晶體由于發(fā)生黏彈性流動(dòng)（如晶體位錯(cuò)、滑移）而進(jìn)行了重新排布，在此階段鹽巖流變并無明顯的損傷產(chǎn)生；第3 階段對(duì)應(yīng)流變曲線中的加速流變階段，在此階段聲發(fā)射事件數(shù)呈現(xiàn)出明顯的增大趨勢(shì)，可以解釋為隨著加載時(shí)間的增長(zhǎng)，鹽巖內(nèi)部產(chǎn)生了黏塑性流動(dòng)，伴隨著較多的微元體破壞及微裂隙的發(fā)育，在此階段鹽巖產(chǎn)生明顯的損傷，因此，可以理解為損傷的發(fā)展是鹽巖流變曲線出現(xiàn)加速流變階段的內(nèi)在原因。

圖1 鹽巖單軸流變?cè)囼?yàn)中的聲發(fā)射曲線[26]Fig.1 Curves of acoustic emission events for salt rock in uniaxial rheological test[26]

2.2 基于Weibull 分布的損傷表達(dá)式

巖石的聲發(fā)射現(xiàn)象是其內(nèi)部損傷演化的結(jié)果，因此，可利用損傷理論來建立基于聲發(fā)射規(guī)律的模型[28]。對(duì)于單軸應(yīng)力下的各向同性損傷，定義d為損傷變量，Kachanov 將其定義為即時(shí)承載面上微缺陷的總面積 Ad與無損時(shí)斷面面積A 的比值。

假設(shè)斷面微缺陷面積達(dá)到 Ad時(shí)的累積聲發(fā)射事件數(shù)為N；斷面面積A 完全破壞時(shí)，即巖石發(fā)生破壞時(shí)的累積聲發(fā)射事件數(shù)為Nm，則

由式（1）、（2）可得

假設(shè)聲發(fā)射事件數(shù)對(duì)應(yīng)于鹽巖內(nèi)部微元體的破壞數(shù)，則基于細(xì)觀損傷力學(xué)，假設(shè)損傷演化為一個(gè)隨時(shí)間持續(xù)變化的過程，將巖石劃分為若干個(gè)微元體，并假設(shè)微元體破壞的概率密度函數(shù)符合Weibull統(tǒng)計(jì)規(guī)律[29]，則可得

式中：m、n為表征損傷的參數(shù)，其取值大小受試驗(yàn)條件（如應(yīng)力水平、溫度等）及試件本身等因素影響。

在任意時(shí)刻t 內(nèi)破壞的微元體個(gè)數(shù)為

式（5）為聲發(fā)射事件數(shù)隨加載時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式。式中：Nm既為鹽巖最終破壞時(shí)的累積聲發(fā)射數(shù)（即破壞的總微元體數(shù)），也可視為與鹽巖力學(xué)性質(zhì)相關(guān)的參數(shù)。

加載至斷面微缺陷面積達(dá)到 Ad時(shí)的微元體破壞總數(shù)為

由式（3）可得損傷表達(dá)式為

式（7）為基于Weibull 分布的損傷表達(dá)式。

圖2 聲發(fā)射數(shù)據(jù)擬合Fig.2 Fitting and testing curves based on acoustic emission events

圖2為基于式（5）擬合獲得的鹽巖聲發(fā)射事件數(shù)-時(shí)間曲線，式中擬合參數(shù)分別為：m=16，n=60，Nm=20×106。通過與實(shí)際試驗(yàn)曲線對(duì)比可知，式（5）可以較真實(shí)地反映聲發(fā)射事件數(shù)隨時(shí)間的演化規(guī)律，從而證明了采用Weibull 分布作為概率密度函數(shù)的可取性。

圖3 損傷變量曲線Fig.3 Curve of damage variable vs.time

將m=16，n=60 代入式（7），可得損傷變量隨加載時(shí)間的演化曲線，如圖3 所示，從圖可以看出，損傷演化趨勢(shì)與聲發(fā)射曲線規(guī)律具有一致性，在加載初期損傷值較小，而當(dāng)超過某個(gè)閾值之后，損傷迅速發(fā)展，伴隨著聲發(fā)射事件數(shù)的激增，直至鹽巖試件最終發(fā)生流變破壞。

采用在德國(guó)進(jìn)行的鹽巖流變-超聲波試驗(yàn)來驗(yàn)證式（7）的適用性。

超聲波探傷試驗(yàn)被認(rèn)為是研究巖石內(nèi)部結(jié)構(gòu)損傷演化的有效手段[30]，基于鹽巖流變?cè)囼?yàn)中的縱波波速（見圖4），定義其損傷變量為[11]

式中：εv為體積應(yīng)變；vp為縱波波速；v0為初始波速。

基于式（8）計(jì)算獲得鹽巖流變損傷變量值，并基于式（7）對(duì)圖5 中的試驗(yàn)數(shù)值進(jìn)行擬合，參數(shù)擬合結(jié)果為m=0.5，n=80 000。圖5 擬合參數(shù)較圖2 有一定差異，除了試樣本身及應(yīng)力水平、溫度等的差異性，還與流變-超聲波試驗(yàn)中，鹽巖試件并未發(fā)生最終的流變破壞有關(guān)。但從擬合效果來看，式（7）對(duì)于流變-超聲波試驗(yàn)同樣具有適用性。m、n 與各影響因素之間具體的函數(shù)關(guān)系將是今后研究的重點(diǎn)。

圖4 鹽巖超聲波試驗(yàn)數(shù)據(jù)Fig.4 Data of ultrasonic test on salt rock

圖5 損傷變量擬合分析Fig.5 Data fitting of damage variable

2.3 參數(shù)m、n 敏感性分析

Weibull 分布中，m為表征概率密度函數(shù)曲線的形狀參數(shù)，n為尺度參數(shù)，由本文上述分析可知，對(duì)于式（5）、（7），m、n為表征聲發(fā)射事件數(shù)曲線形狀的兩個(gè)參數(shù)，也為表征損傷變量曲線形狀的兩個(gè)參數(shù)。對(duì)m、n 參數(shù)的敏感性分析曲線如圖6、7 所示。

圖6 不同m 值下的聲發(fā)射曲線Fig.6 Curves of acoustic emission events with different values of m

圖7 不同n 值下的聲發(fā)射曲線Fig.7 Curves of acoustic emission events with different values of n

由圖可知，n 取定值，改變m 值大?。ㄒ妶D6），或者m 取定值，改變n 值大?。ㄒ妶D7），聲發(fā)射事件數(shù)曲線差異性均較大。對(duì)于圖6，m 值越大，其峰值點(diǎn)越晚出現(xiàn)，巖石經(jīng)歷的穩(wěn)態(tài)流變階段也就越長(zhǎng)，越晚發(fā)生蠕變破壞；對(duì)于圖7，n 值越大，其峰值點(diǎn)越低，聲發(fā)射事件數(shù)達(dá)到峰值所需時(shí)間也越長(zhǎng)，相同時(shí)間內(nèi)損傷值也越小。這些特性反映了式（7）在描述損傷變量上的靈活性。

3 基于損傷的鹽巖分?jǐn)?shù)階流變本構(gòu)模型

Abel 黏壺本構(gòu)模型表達(dá)式為

式（9）可寫成如下形式：

西原模型是最能全面反映巖石彈-黏-塑性特性的力學(xué)模型，但并不能很好地描述巖石流變的全程曲線，尤其是加速流變階段的曲線，如上文分析，巖石產(chǎn)生加速流變的內(nèi)在原因是微裂隙的發(fā)展及損傷的積累，因此，若將損傷理論引入到本構(gòu)模型的構(gòu)建當(dāng)中，并采用Abel 黏壺替代西原模型中的Newton 黏壺，則將更有利于該模型對(duì)于流變各階段特性的描述。

基于損傷演化的鹽巖分?jǐn)?shù)階流變本構(gòu)模型如圖8 所示，該模型由虎克體、黏彈性體、黏塑性體3部分串聯(lián)而成，對(duì)應(yīng)的3 部分應(yīng)變分別為εe、εve及 εvp，則由組合元件原理，總應(yīng)變?chǔ)艦?/p>

圖8 鹽巖分?jǐn)?shù)階流變模型[14]Fig.8 Fractional rheological model of salt rock[14]

（1）εe表征的是加載一瞬間產(chǎn)生的瞬時(shí)彈性變形，本構(gòu)關(guān)系為

式中：E0為虎克體的彈性系數(shù)。

（2）εve表征的是黏彈性變形，可以解釋為鹽巖內(nèi)部較軟弱部分由于黏彈性流動(dòng)而產(chǎn)生的變形，此時(shí)鹽巖內(nèi)部并無明顯的損傷產(chǎn)生[31]，采用Abel 黏壺元件替代黏彈性體中的Newton 黏壺元件，則可得

式中：E1為黏彈性體的彈性系數(shù)；為黏性系數(shù)。

求解式（13），可得[14]

（3）εvp表征的是黏塑性流動(dòng)，可以解釋為鹽巖內(nèi)部較堅(jiān)硬部分由于微破裂及黏塑性流動(dòng)而產(chǎn)生的變形，此時(shí)鹽巖內(nèi)部損傷開始積累并不斷發(fā)展，直至達(dá)到某個(gè)閾值，鹽巖發(fā)生流變破壞。受損傷演化影響，黏塑性體中Abel 黏壺的黏性系數(shù)將不再是一個(gè)常數(shù)，而將隨流變時(shí)間的增加而不斷衰減[32]，定義損傷與黏性系數(shù)的劣化關(guān)系滿足下式：

將式（7）、（15）代入式（9），可得基于損傷的Abel 黏壺本構(gòu)關(guān)系為

黏塑性體中，塑性元件應(yīng)力 σp的表達(dá)式為

式中：σs為屈服應(yīng)力。

由組合元件原理，可得

式中：σ為黏塑性體的總應(yīng)力；σd為黏塑性體中Abel 黏壺的應(yīng)力。

當(dāng)σ＜ σs時(shí)，由式（17）、（18），可得 σd=0，即εvp=0。

當(dāng)σ≥ σs時(shí)，由式（16），可得

由初值條件 εve(0)=0，Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)化，即，根據(jù)分?jǐn)?shù)階微分方程的求解方法[33]求解式（19）得

由式（12）、（14）、（20），考慮3 部分應(yīng)變，可得基于損傷演化的鹽巖分?jǐn)?shù)階流變本構(gòu)模型為

4 鹽巖分?jǐn)?shù)階流變本構(gòu)模型參數(shù)擬合

鹽巖單軸流變?cè)囼?yàn)采用四川大學(xué)程控流變?cè)囼?yàn)儀，儀器參數(shù)為：?jiǎn)屋S荷載為0～600 kN，圍壓為0～30 MPa，室驗(yàn)室恒溫為22℃。鹽巖樣品選自湖北江漢油田王儲(chǔ)1#，距地面約2 000 m。試件加工成高度為150 mm、直徑為75 mm 的標(biāo)準(zhǔn)鹽樣共3件，編號(hào)為RS01a、RS02a、RS05a，如圖9 所示。通過對(duì)比分析流變?cè)囼?yàn)結(jié)果，選取3 階段特征明顯，具有代表意義的RS02a 試件流變曲線進(jìn)行本構(gòu)模型的參數(shù)擬合。RS02a 試件軸向荷載采用分級(jí)加載的方式，由σ=4 MPa 開始分10 級(jí)加載，每級(jí)增加2 MPa，加載至22 MPa，每級(jí)加載時(shí)間約為14 d。

圖9 流變?cè)囼?yàn)儀及鹽巖試件Fig.9 Rheological apparatus and salt rock specimens

同時(shí)，對(duì)RS02a 試件加載前、后的內(nèi)部結(jié)構(gòu)進(jìn)行了CT 掃描（如圖10 所示），由對(duì)比可知，鹽巖在流變過程中產(chǎn)生了明顯的損傷：隨著加載時(shí)間的進(jìn)行，鹽巖內(nèi)部破裂單元個(gè)數(shù)逐漸增多，損傷不斷積累，直至最終發(fā)生流變破壞。

采用最小二乘法擬合鹽巖流變的全過程試驗(yàn)曲線，以此來確定本文提出的分?jǐn)?shù)階流變本構(gòu)模型中的參數(shù)。做為對(duì)比，采用西元模型擬合獲得的曲線也在圖中同時(shí)給出。擬合曲線如圖10 所示，參數(shù)擬合結(jié)果如表1 所示。

由圖10 全過程流變?cè)囼?yàn)曲線可知，RS02a 試件先后經(jīng)歷了衰減、穩(wěn)態(tài)、加速3個(gè)階段，且較西元模型，分?jǐn)?shù)階流變本構(gòu)模型能更好地描述鹽巖流變的3個(gè)特征階段，尤其是加速流變階段。

圖10 試驗(yàn)數(shù)據(jù)與模型擬合效果對(duì)比Fig.10 Comparison between experimental data and fitting curves with constitutive model

表1 模型參數(shù)擬合結(jié)果Table 1 Parameters fitting of the model

式（22）為西原模型的流變本構(gòu)模型，由此可知，西原模型實(shí)際上為本文構(gòu)建的分?jǐn)?shù)階流變模型的一種特殊情況。

5 結(jié)論

（1）分析了鹽巖流變-聲發(fā)射試驗(yàn)各階段的特性，在此基礎(chǔ)上將聲發(fā)射事件數(shù)定義為巖石內(nèi)部微元體的破壞個(gè)數(shù)。通過假定微元體破壞的概率密度函數(shù)滿足Weibull 統(tǒng)計(jì)規(guī)律，獲得了聲發(fā)射事件數(shù)、損傷變量隨加載時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式。

（2）通過擬合鹽巖流變-聲發(fā)射試驗(yàn)數(shù)據(jù)、鹽巖流變-超聲波試驗(yàn)數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了聲發(fā)射事件數(shù)、損傷變量函數(shù)表達(dá)式的合理性及適用性，并對(duì)表達(dá)式中的形狀參數(shù)m、尺度參數(shù)n 進(jìn)行了敏感性分析，揭示了m、n 與聲發(fā)射事件數(shù)及損傷值的關(guān)系。

（3）基于分?jǐn)?shù)階微積分理論及損傷理論，通過定義損傷與流變系數(shù)之間的劣化關(guān)系式，獲得基于損傷的Abel 黏壺函數(shù)表達(dá)式，并在西原模型的基礎(chǔ)上，求解獲得基于損傷的鹽巖分?jǐn)?shù)階流變本構(gòu)模型。通過與西原模型的對(duì)比發(fā)現(xiàn)，本文提出的本構(gòu)模型能更好地反映鹽巖流變的3個(gè)階段特性，尤其是加速流變階段特性，且驗(yàn)證了西原模型為該本構(gòu)模型的一個(gè)特殊形式。

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