王宇譜 呂志平 宮曉春 周海濤 王 寧

1 信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，鄭州市科學(xué)大道62號，450001

衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，星載原子鐘的鐘差預(yù)報有著重要的作用［1－4］。鐘差預(yù)報模型主要包括二次多項式（QP）模型［4－5］、灰色模型（GM（1，1））［5］、譜分析（SA）模型［6－8］、時間序列（ARIMA）模型［9，10］、Kalman 濾波（KF）模型［2，11］及其改進(jìn)模型［12－14］等。本文使用IGS提供的精密鐘差數(shù)據(jù)，從不同建模鐘差數(shù)據(jù)量進(jìn)行相同時間段鐘差預(yù)報的角度，利用5種常用鐘差模型對目前在軌運(yùn)行的6種GPS衛(wèi)星鐘進(jìn)行1、15、60d的鐘差預(yù)報，根據(jù)預(yù)報結(jié)果對各模型的預(yù)報效果進(jìn)行分析和比較。

1 預(yù)報試驗與結(jié)果分析

使用GPS系統(tǒng)15min采樣間隔的最終精密鐘差產(chǎn)品進(jìn)行預(yù)報試驗。以GPS Week 17 464～17 576（2013－06－27～2013－09－14）共80d的鐘差數(shù)據(jù)為例，同時考慮此時間段的星載原子鐘包 括BLOCK ⅡA銫鐘、BLOCK ⅡA銣鐘、BLOCK ⅡR銣鐘、BLOCK ⅡR－M銣鐘、BLOCK ⅡF銫鐘、BLOCK ⅡF銣鐘6種類型，隨機(jī)選取該時間段內(nèi)不存在鐘差跳變和間斷、數(shù)據(jù)完整的每類鐘的一顆衛(wèi)星進(jìn)行試驗。文中選取PRN01、PRN10、PRN22、PRN24、PRN29、PRN32六顆衛(wèi)星。預(yù)報試驗中，以對應(yīng)的IGS精密鐘差數(shù)據(jù)作為參考真值，使用均方根誤差（RMS）和極差（最大誤差與最小誤差之差的絕對值，記為Range）作為統(tǒng)計量，分析各模型的預(yù)報效果。其中均方根誤差的計算公式為：

式中，errori為預(yù)報誤差，是i時 刻IGS精密鐘差值，ti為i時刻鐘差預(yù)報值。

對于5種常用鐘差預(yù)報模型，有以下3點需要說明：

1）本文SA 模型確定的過程為［6］：首先，利用二次多項式對已知鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合得到擬合殘差；然后，使用Daubechies小波進(jìn)行信號分解并對殘差進(jìn)行降噪處理；接下來，采用傅里葉變換將降噪后的信號從時域變換到頻域中，則信號分解為多個簡單的正弦和余弦信號的疊加；最后，根據(jù)最大功率譜的量級，確定周期函數(shù)的階數(shù)及其功率譜對應(yīng)的頻率。

2）本文使用ARIMA 模型進(jìn)行鐘差預(yù)報建模時，首先根據(jù)自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)的截尾性初步確定模型和模型的階數(shù)［9］。在模型確定后，利用AIC準(zhǔn)則準(zhǔn)確地確定模型的階數(shù)［10］，并通過最小二乘估計方法［9］求解模型參數(shù)。

3）本文使用基于方差遞推法來確定噪聲矩陣的KF模型進(jìn)行鐘差預(yù)報［4］。

最后，設(shè)計兩種方案對各模型的鐘差預(yù)報效果進(jìn)行分析說明。方案一，使用2013－07－03的鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，預(yù)報接下來1d（代表短期預(yù)報）、15d（代表中期預(yù)報）、60d（代表長期預(yù)報）。方案二，使用2013－06－27～07－03共7d的鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，預(yù)報接下來1、15、60d的鐘差。兩方案中各衛(wèi)星的鐘差預(yù)報結(jié)果統(tǒng)計見表1～6（單位：ns）。

1）分析6個表中QP模型對應(yīng)列的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以看出：①從表1、4可知，對于1d以內(nèi)的短期預(yù)報，QP模型能夠通過對歷史鐘差數(shù)據(jù)的有效擬合來反映鐘差的變化規(guī)律，從而得到較好的預(yù)報結(jié)果：預(yù)報精度在亞ns到幾個ns之間，預(yù)報穩(wěn)定性對于銣鐘在數(shù)個ns之內(nèi)，而銫鐘在幾個ns到數(shù)十ns之間。而在中長期預(yù)報中，隨著預(yù)報時間的增加，由于預(yù)報結(jié)果誤差的不斷累積，該模型預(yù)報結(jié)果的精度和穩(wěn)定性迅速下降。因此，不宜采用該模型進(jìn)行鐘差的中長期預(yù)報。②由各表中6顆衛(wèi)星的預(yù)報結(jié)果統(tǒng)計值可知，QP模型進(jìn)行鐘差預(yù)報時，其精度和穩(wěn)定性隨著星載原子鐘種類的不同而變化。

2）分析6個表中SA 模型對應(yīng)列的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以看出：①由于SA 模型較好地擬合了星載原子鐘的周期項部分，因此，整體上使用SA 模型進(jìn)行鐘差預(yù)報能夠得到較QP 模型更好的預(yù)報結(jié)果，預(yù)報精度和預(yù)報結(jié)果的穩(wěn)定性均有一定程度的提高。而從表1～3中PRN10和PRN29的預(yù)報結(jié)果統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，此時QP 模型的預(yù)報效果均優(yōu)于SA 模型的預(yù)報效果，說明在建模鐘差數(shù)據(jù)相對較少的情況下，該模型還存在周期確定不準(zhǔn)而導(dǎo)致預(yù)報效果不如QP 模型的現(xiàn)象。同時，在鐘差的短期預(yù)報中，其預(yù)報結(jié)果的精度、穩(wěn)定性與QP模型相當(dāng)。長期預(yù)報中由于受到二次多項式主項的影響，隨著預(yù)報時間的增加，模型的預(yù)報誤差迅速增加，但預(yù)報效果優(yōu)于QP 模型。②由各表中6顆衛(wèi)星的預(yù)報結(jié)果統(tǒng)計可知，該模型進(jìn)行鐘差預(yù)報時，其精度和穩(wěn)定性隨著星載原子鐘的不同而變化。

表1 方案一中5種模型1d預(yù)報結(jié)果的統(tǒng)計Tab.1 Statistics of prediction results for five models in 1day on the case ones

表2 方案一中5種模型15d預(yù)報結(jié)果的統(tǒng)計Tab.2 Statistics of prediction results for five models in 15day on the case one

表3 方案一中5種模型60d預(yù)報結(jié)果的統(tǒng)計Tab.3 Statistics of prediction results for five models in 60day on the case one

表4 方案二中5種模型1d預(yù)報結(jié)果的統(tǒng)計Tab.4 Statistics of prediction results for five models in 1day on the case two

3）分析6個表中GM（1，1）模型對應(yīng)列的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以看出：①與其他4 種模型相比，GM（1，1）模型較為顯著的特點是整體上對于鐘差的中長期預(yù)報其預(yù)報效果較好，隨著預(yù)報時間的增加其預(yù)報誤差的增長較為緩慢，但預(yù)報有時會出現(xiàn)較大的誤差，例如表3、6中PRN01衛(wèi)星的長期預(yù)報。同時可以看出，GM（1，1）模型在使用試驗所給時間段的鐘差數(shù)據(jù)時，其短期預(yù)報結(jié)果的精度和穩(wěn)定性與QP 模型和SA 模型相當(dāng)。所以，GM（1，1）模型不但可用于鐘差的短期預(yù)報，而且比較適合用來進(jìn)行鐘差的中長期預(yù)報。②由各表中6顆衛(wèi)星的預(yù)報結(jié)果統(tǒng)計可知，該模型進(jìn)行鐘差預(yù)報時，鐘差預(yù)報結(jié)果的精度和穩(wěn)定性隨著星載原子鐘的不同而不同。

表5 方案二中5種模型15d預(yù)報結(jié)果的統(tǒng)計Tab.5 Statistics of prediction results for five models in 15day on the case two

表6 方案二中5種模型60d預(yù)報結(jié)果的統(tǒng)計Tab.6 Statistics of prediction results for five models in 60day on the case two

4）分析6個表中ARIMA（p，d，q）模型對應(yīng)列的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以看出：①該模型在鐘差的短期預(yù)報中能夠得到與前面3 種模型相當(dāng)?shù)念A(yù)報結(jié)果；而在鐘差的長期預(yù)報中，由于一次差分后的鐘差數(shù)據(jù)并不是一個絕對平穩(wěn)的時間序列，隨著預(yù)報時間的增加，誤差累積量急劇增加，所以這種方法并不適合鐘差的長期預(yù)報。②由各表中6顆衛(wèi)星的預(yù)報結(jié)果統(tǒng)計值可知，該模型進(jìn)行鐘差預(yù)報時，不同的衛(wèi)星其鐘差預(yù)報結(jié)果差異較大，這也說明了ARIMA（p，d，q）模型由于模型識別和階數(shù)確定較為困難，預(yù)報結(jié)果的穩(wěn)定性不好。

5）分析6個表中KF模型對應(yīng)列的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以看出：①從表1、4可知，KF 模型利用1d的鐘差數(shù)據(jù)建模進(jìn)行短期預(yù)報時，預(yù)報結(jié)果的精度和穩(wěn)定性與前4種模型相當(dāng)。對比表1～3和表4～6可知，該模型進(jìn)行長期預(yù)報時，一方面由于歷史數(shù)據(jù)對濾波預(yù)報值的影響較大，初始數(shù)據(jù)的誤差會被放大得越來越嚴(yán)重；另一方面濾波引入的系統(tǒng)狀態(tài)方程雖然能有效顧及擬合精度，但其確定整體模型的精度較差，從而使得6顆衛(wèi)星預(yù)報結(jié)果的精度和穩(wěn)定性都隨著預(yù)報時間的增加而變差。②由各表中6 顆衛(wèi)星的預(yù)報結(jié)果統(tǒng)計可知，使用KF模型進(jìn)行鐘差預(yù)報時，其精度和穩(wěn)定性隨著星載原子鐘的不同而變化。

6）分析6個表中銣鐘鐘差預(yù)報結(jié)果的平均值可看出，對于銣鐘的短期預(yù)報，5種常用預(yù)報模型預(yù)報精度和穩(wěn)定性基本相當(dāng)，預(yù)報精度的平均值為ns量級。對比6個表中最后一列各顆衛(wèi)星使用5種模型進(jìn)行鐘差預(yù)報時的統(tǒng)計結(jié)果平均值可知，相同預(yù)報條件下，不同種類的星載原子鐘其鐘差預(yù)報效果不同。同時，各模型預(yù)報效果隨著原子鐘類型的變化而不同。而對比各表最后一列中“銫鐘的均值”與“銣鐘的均值”可知，對于GPS系統(tǒng)衛(wèi)星鐘的預(yù)報，其星載銣原子鐘的預(yù)報效果整體上優(yōu)于銫原子鐘。

7）對比表1、4，2、5和3、6可以看出，在鐘差建模數(shù)據(jù)充足的條件下，由于SA 模型的周期函數(shù)根據(jù)較長的鐘差序列得到了更可靠的確定，因此，其預(yù)報效果較QP模型有了改善；而該條件下這兩種模型的預(yù)報效果優(yōu)于GM（1，1）模型。根據(jù)6個表中的統(tǒng)計結(jié)果可知，5種模型在兩種數(shù)據(jù)方案下，GM（1，1）模型的預(yù)報結(jié)果最為穩(wěn)定，ARIMA 模型的預(yù)報結(jié)果隨著建模鐘差數(shù)據(jù)量及預(yù)報條件的不同而變化較大，QP、SA、ARIMA、KF 4種模型能夠通過增加建模鐘差數(shù)據(jù)量來改善模型的預(yù)報性能，特別是對于前3種模型的中長期預(yù)報。對于GM（1，1）模型，增加鐘差建模數(shù)據(jù)使得短期預(yù)報結(jié)果的精度和穩(wěn)定性均變差，也不能明顯改善中長期預(yù)報效果。造成該現(xiàn)象的主要原因是對于GPS衛(wèi)星鐘差短期預(yù)報，該模型的指數(shù)系數(shù)是只與歷元個數(shù)有關(guān)的函數(shù)，不同的建模鐘差數(shù)據(jù)量會產(chǎn)生差異較大的預(yù)報結(jié)果。

2 結(jié) 語

1）QP模型具有建模簡單、物理意義明確、短期預(yù)報效果好等優(yōu)點，存在的不足是預(yù)報精度隨著預(yù)報時間的增加而迅速變差。

2）SA 模型能夠一定程度上顧及鐘差的周期性變化部分，得到更為精確的鐘差預(yù)報值；但該模型的周期函數(shù)要根據(jù)較長的鐘差序列才能更可靠地確定，同時該模型的建立較QP模型更復(fù)雜。

3）GM（1，1）模型不但短期預(yù)報效果好且比較適合進(jìn)行鐘差的長期預(yù)報，存在的不足是模型的指數(shù)系數(shù)是與歷元個數(shù)有關(guān)的函數(shù)，不同的建模鐘差數(shù)據(jù)量會產(chǎn)生差異較大的預(yù)報結(jié)果；同時，還存在有時會出現(xiàn)較大預(yù)報誤差的現(xiàn)象。

4）ARIMA 模型在鐘差的短期預(yù)報中能取得較好的預(yù)報結(jié)果，但不適合鐘差的長期預(yù)報；同時，該模型的預(yù)報效果會隨著星載原子鐘類型的不同和預(yù)報條件的變化而產(chǎn)生較大差異。

5）KF模型的優(yōu)點是不僅能夠預(yù)報鐘差值還能實時求解出鐘差、鐘速和鐘漂3個表征星鐘特性的物理參數(shù)；但該模型的預(yù)報效果與先驗信息認(rèn)知程度等密切相關(guān)，通常難以較好地獲取這些信息。該模型鐘差短期預(yù)報效果較好，特別是在建模數(shù)據(jù)充足的條件下；但其鐘差長期預(yù)報的效果較差，因此，不適合用來進(jìn)行鐘差的長期預(yù)報。

6）對于GPS系統(tǒng)，其星載銣鐘的預(yù)報效果整體上優(yōu)于星載銫鐘。同時，在5種常用鐘差預(yù)報模型中，QP模型和GM（1，1）模型較為簡單，而且具有較好的預(yù)報效果。

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