尚凡葵，安天霞，謝 力，孫勝祥

(1.海軍駐青島造船廠 軍事代表室，山東 青島 266000；2.海軍青島航保修理廠，山東 青島 266000 ；3.海軍工程大學 裝備經濟管理系，湖北 武漢 430033)

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裝備修理目標價格測算的灰色組合預測模型

尚凡葵1，安天霞2，謝 力3，孫勝祥3

(1.海軍駐青島造船廠 軍事代表室，山東 青島 266000；2.海軍青島航保修理廠，山東 青島 266000 ；3.海軍工程大學 裝備經濟管理系，湖北 武漢 430033)

針對裝備修理目標價格測算中的小樣本和振蕩特性，以灰色預測模型及各種相關改進模型為單項預測模型，綜合考慮直接應用灰色關聯度難以保證組合預測的無偏性和灰色關聯度計算的準確性，以及基于灰色絕對關聯度的最優(yōu)組合預測模型在單項預測模型數量多于樣本數量時無法求解和絕對關聯度信息包含不足的問題，建立了基于灰色關聯度排序的裝備修理目標價格測算的組合預測模型。通過實例分析證明了該方法的可行性和有效性。

裝備修理；目標價格；組合預測；GM(1,1)模型；灰色關聯度

裝備修理價格工作是軍品價格工作的重要組成部分，其中目標價格的生成是裝備修理價格形成機制中的核心問題[1]，也是裝備修理供需雙方關注的焦點問題。由于我國裝備修理實際發(fā)生費用數據長期統(tǒng)計不規(guī)范、裝備修理部門或工廠的信息封閉等原因，裝備修理價格原始數據積累較少[2]，導致裝備修理目標價格的測算成為典型的小樣本問題。

灰色系統(tǒng)理論主要是針對小樣本、貧信息的不確定性系統(tǒng)進行研究的理論，其中GM(1,1)預測模型更是在小樣本預測領域得到廣泛的應用[3]，是裝備修理價格測算的典型方法之一。由于裝備修理故障的隨機性，同型裝備同級別修理的廣度和深度往往會有較大差異，導致裝備修理價格具有振蕩特征。針對小樣本序列的振蕩特征，錢吳永等[4]通過加速平移變換將振蕩序列變換為單調序列，并通過加權均值生成提高序列的光滑度，進而改善GM(1,1)模型在振蕩序列預測中的預測效果；趙宇哲等[5]在文獻[4]的基礎上，研究了將加權均值生成變換調整為幾何平均變換的改進GM(1, 1)模型；崔立志等[6]在文獻[5]的基礎上，進一步研究了將加速平移變換調整為加速指數變換的改進GM(1,1)模型；楊芬等[7]在文獻[5]的基礎上，將GM(1,1)模型調整為DGM(1,1)模型；曾波等[8]提出了一種一階平滑性算子，用于壓縮隨機振蕩序列振幅以提高序列的光滑度，從而改進DGM(1, 1)模型的預測效果。盡管上述灰色預測模型的各種改進形式可以在一定程度上提高裝備修理目標價格的測算效果，但究竟哪一種灰色預測模型能夠更好地反映裝備修理價格的變化規(guī)律目前尚無定論。事實上，由于裝備故障的不確定性及裝備修理價格影響因素多的特點，單一預測模型往往難以準確描述其變化規(guī)律[9]。組合預測方法通過綜合考慮各單項預測方法的特點，將不同單項預測方法進行組合，使最終預測結果能夠充分利用從各單項預測方法中獲得的信息，在一定程度上改善預測的效果[10-11]。筆者擬結合裝備修理價格測算的特征，以GM(1,1)模型及其各種改進模型為基礎，建立裝備修理目標價格測算的灰色組合預測模型，以期提高目標價格測算的準確性和穩(wěn)定性。

1 灰色預測相關定義與模型

1.1 相關定義

定義1 設系統(tǒng)行為數據序列為X=(x(1),x(2),…,x(n)),存在以下3種情況：

(1)?k=2,3,…,n,x(k)-x(k-1)>0，稱X為單調增長序列。

(2)?k=2,3,…,n,x(k)-x(k-1)<0，稱X為單調衰減序列。

(3)若存在k,k′∈{2,3,…,n}，有x(k)-x(k-1)>0，x(k′)-x(k′-1)<0,則稱X為振蕩序列。令M=max{x(k)|k=1,2,…,n}，m=min{x(k)|k=1,2,…,n}，稱T=M-m為振蕩序列X的振幅，并記R=M/m。

定義2 設系統(tǒng)行為數據序列為X=(x(1),x(2),…,x(n))，則稱變換x(k)d1=x(k)+(k-1)T,k=1,2,…,n，為加速平移變換，記作D1。

定義3 設系統(tǒng)行為數據序列為X=(x(1),x(2),…,x(n))，則稱變換x(k)d2=x(k)Rk-1,k=1,2,…,n，為加速指數變換，記作D2。

定義6 設系統(tǒng)行為數據序列為X=(x(1),x(2),…,x(n))，則稱變換x(k)d5=[(x(k)+T)+(x(k+1)+T)]/4,k=1,2,…,n-1,為序列X的一階平滑算子，或稱一階平滑性變換，記作D5。

1.2 基本預測模型

1.2.1 GM(1,1)模型

GM(1,1)模型主要是利用原始數列X(0)進行一階累加生成，然后對生成的序列X(1)建立如下的白化形式方程：

(1)

對式(1)進行求解，得到：

將得到的生成序列的預測值進行一階累減生成，就得到了原始數據預測值。

1.2.2 DGM(1, 1)模型

設原始數據序列X(0)進行一階累加生成后的序列為X(1)，則：

x(1)(k+1)=β1x(1)(k)+β2

(3)

式(3)為GM(1,1)模型的離散形式(discretegreymodel,DGM)，稱為DGM(1,1)模型。

(4)

2 灰色組合預測模型

目前關于灰色組合預測模型的相關研究還處于起步階段，一般簡單地將GM(1,1)模型與其他預測模型進行組合[12-13]，也有少數文獻開始探討基于灰色關聯度的組合預測模型[14-15]。

2.1 基于灰色關聯度的組合預測模型

設某裝備歷史修理價格的實際值為y0(k)(k=1,2,…,n)，對該裝備修理價格共有m種可行的灰色預測方法，第i種灰色預測方法在第k時刻的預測值為yi(k)(i=1,2,…,m)，在線性組合預測中，組合預測模型一般可以表示為：

yc(k)=w1y1(k)+w2y2(k)+…+wmym(k)

(5)

式中：yc表示組合預測；w1+w2+…+wm=1，為相應單項預測方法的權系數。

定義7 設參考數列為y0(k)，比較數列為yi(k)(k=1,2,…,n)，則令：

(6)

式中：ξi(k)為y0(k)與yi(k)在第k點的關聯系數；ρ為待分辨系數，一般取ρ=0.5。

綜合各點的關聯系數，可以得到y(tǒng)0(k)與yi(k)的關聯度ri為：

(7)

文獻[14]將y0(k)與yi(k)標準化后，將求得的關聯度ri直接作為組合預測的權重，即取wi=ri。

定義8 設參考數列為y0(k)，比較數列為yi(k) (k=1,2,…,n)，則令：

(8)

式中：ε0i表示y0(k)與yi(k)的灰色絕對關聯度；Δy0(k)=y0(k)-y0(k-1)；Δyi(k)=yi(k)-yi(k-1)。

文獻[15]以組合預測與原始數列的灰色絕對關聯度最大為目標函數，建立了組合預測最優(yōu)模型。

2.2 基于灰色關聯度排序的組合預測模型

文獻[15]中的灰色組合預測模型存在兩點不足之處：①在小樣本預測中，當用于組合預測的單項模型的數量多于樣本數量時，最優(yōu)組合預測模型可能無法求解[16]；②式(8)中灰色絕對關聯度僅考慮了y0(k)與yi(k)兩個序列之間的關系，而式(6)中灰色關聯度的計算因考慮了所有待比較的數列之間的整體關系而包含較多信息。針對這兩個問題，筆者認為在裝備修理目標價格測算的過程中采用文獻[14]中的灰色組合預測模型(以定義7中的灰色關聯度為基礎計算權重)可能更加合適。但是文獻[14]中的灰色組合預測模型也存在兩點不足之處：①通過對數列標準化后，難以保證所有預測模型產生的序列與原始序列的關聯度的和為1，這樣也就無法保證組合序列的無偏性[17]，從而影響預測的效果；②計算過程相對復雜，計算過程中的數據誤差會迅速放大，且ρ的取值也會影響關聯度的計算結果，關聯度計算的準確性難以保證。

針對上述問題，筆者認為，盡管采用定義7中公式計算的關聯度的準確性難以保證，但裝備修理價格的實際值與各灰色預測之間灰色關聯度的相對大小是可以保證的。因此，可以考慮采用灰色關聯度的排序作為組合預測權重的計算基礎。

不妨設裝備歷史修理價格的實際值序列y0(k)與m種灰色預測模型的擬合值yi(k)序列之間的灰色關聯度滿足：

r1≤r2≤…≤rm

(9)

則基于灰色關聯度排序的組合預測模型為：

yc(k)=w1y1(k)+w2y2(k)+…+wmym(k)

(10)

即某灰色預測模型的關聯度越大，其排序越靠前，序號越小，序號的倒數越大，相應的組合預測權重也越大，且滿足w1+w2+…+wm=1，組合預測為實際值序列的無偏估計。

3 實例分析

根據對某型裝備主要承修單位的修理成本的跟蹤調研，獲得該型裝備連續(xù)8年某一級別計劃修理成本數據，以各修理單位同一年修理成本的平均值作為基礎數據，并經過脫密處理得到該型裝備修理成本數據。裝備修理目標價格的測算，主要是對裝備修理成本的預測，然后再考慮合理的目標利潤，作為裝備修理目標價格制定的基礎。因此，筆者直接以裝備修理成本數據為基礎進行建模分析，選取前6年的數據作為各預測模型的建模樣本，后兩年的數據作為模型的檢驗樣本以驗證模型預測的有效性。

3.1 單項灰色預測模型

從表1可以看出，某型裝備修理成本數據樣本量小，且為振蕩變化。將原始GM(1,1)模型記為y1，根據上述相關定義，針對振蕩序列的GM(1,1)相關改進模型主要包括以下幾種：

(1)離散GM(1,1)模型，也稱DGM(1,1)模型，記為y2。

(2)對振蕩序列樣本進行單調性變換，包括加速平移變換和加速指數變換，將經過這兩種變換后的GM(1,1)模型分別記為y3和y4。

(3)對單調性變換后的樣本再進行光滑性變換，包括加權均值生成變換和幾何平均變換。相應的GM(1,1)改進模型有：加速平移變換+加權均值生成變換、加速平移變換+幾何平均變換、加速指數變換+加權均值生成變換、加速指數變換+幾何平均變換，分別記為y5、y6、y7、y8；還包括經過這些變換后再采用DGM(1,1)模型建模，筆者主要采用文獻[7]中的模型，記為y9。

(4)對振蕩序列直接采用平滑算子進行變換，如文獻[8]中的一階平滑算子變換，再采用DGM(1,1)模型建模，相應的灰色模型記為y10。

上述y1～y10的擬合數據和預測結果如表1所示。

3.2 灰色組合預測

由于該實例中單項預測模型有10項，而用于建模的樣本數僅6個，所有基于最優(yōu)化的組合預測模型無法適用，筆者主要采用以下幾種灰色組合預測模型，預測(擬合)結果見表1。

(1)基于灰色關聯度的組合預測模型，筆者對關聯度進行了歸一化處理，再作為組合預測的權重，記為組合1。

(2)基于灰色絕對關聯度的組合預測模型，筆者沒有采用最優(yōu)化模型，而是對灰色絕對關聯度進行歸一化后作為組合預測的權重，記為組合2。

(3)筆者提出的基于灰色關聯度排序的組合

表1 某型裝備修理成本實際值與各種預測模型的預測值

預測模型，記為組合3。

3.3 預測結果分析

實例中的10種灰色預測模型和3種灰色組

合預測模型與某裝備修理實際成本之間的相對誤差的絕對值，以及各預測模型的擬合、預測、整體相對誤差絕對值平均見表2。

表2 各種預測模型擬合、預測、整體相對誤差絕對值平均 %

從表2可以看出，首先，由于灰色系統(tǒng)數列生成的特征及灰色預測建模的特點，各單項預測模型對第1項數據的擬合都與實際值完全相同；其次，由于一階平滑算子的計算特點，y10對第2項數據的擬合也與實際值相同。

(1)從整體上來看，組合1和組合2的效果差強人意，筆者提出的灰色組合預測模型(組合3)效果最好。因為有4項單項灰色預測模型(y1、y2、y8、y10)的整體效果都優(yōu)于組合1和組合2。其原因可能是預測誤差在灰色(絕對)關聯度計算過程中被放大。

(2)從擬合效果來看，3種組合模型并不具備優(yōu)勢，組合1、組合2和組合3在所有模型中分別排在第8位、第9位和第3位。并且y10的擬合效果在所有13種模型中表現最好，其原因之一就是y10對第2項數據的擬合與實際值相同。

(3)從預測效果來看，組合預測的優(yōu)勢則十分明顯，3種組合模型的預測效果均優(yōu)于單一模型，并且筆者提出的基于灰色關聯度排序的組合預測模型表現最佳。

4 結論

筆者通過對灰色預測相關定義、GM(1, 1)預測模型、DGM(1,1)預測模型進行闡述，結合裝備修理成本樣本小且具有振蕩型的特點，對灰色預測的各種相關改進模型進行了分析。通過灰色關聯分析建立不同裝備修理目標價格灰色預測模型的灰色組合預測模型。針對現有灰色組合預測模型中，直接應用灰色關聯度產生組合權重，以及通過灰色絕對關聯度建立最優(yōu)組合預測模型時存在的局限性，通過將灰色關聯分析獲得的各單項灰色預測模型與裝備修理成本之間的灰色關聯度大小進行排序，根據排序情況建立了基于灰色關聯度排序的組合預測模型，并通過對某型裝備修理目標價格測算進行了實例分析?？偟膩碚f，由于裝備故障的不確定性導致了裝備修理成本的不確定性，再加上各種主客觀因素的影響，造成各單項模型很難準確把握裝備修理成本的變化規(guī)律，而出現模型擬合效果欠佳的現象。而組合預測能夠綜合各單項預測模型中所包含的信息，消除單項預測模型中的隨機偏差，提高裝備修理目標成本預測的穩(wěn)定性和準確性。

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SHANG Fankui:Engineer; Naval Representative Room, Quartered at Qingdao Boatyard, Qingdao 266000, China.

[編輯：王志全]

Grey Forecast Combination Model for Estimating Target Price of Equipment Repair

SHANGFankui,ANTianxia,XIELi,SUNShengXiang

Equipment repair price estimation usually has small samples with turbulence characteristics. In the combination model, individual models come from various grey forecast model, and the combination method is based on grey relational analysis. Because the unbiasedness of forecast and the accuracy of grey correlation degree are difficult to meet in the existing grey combination model, and the optimal forecast combination model based on grey absolute correlation degree cannot solve, and the information conceived in grey absolute correlation degree is insufficient, a forecast combination model based on rank of grey correlation degree was proposed. Finally an example was given to verify the availability of this method.

equipment repair; target price; forecast combination; GM(1, 1) model; grey relational grade

2015-03-26.

尚凡葵(1981-)，女，山東東營人，海軍駐青島造船廠軍事代表室工程師.

國家社會科學基金資助項目(13GJ003-258，14GJ003-149).

2095-3852(2015)05-0635-05

A

C931

10.3963/j.issn.2095-3852.2015.05.024