含裂隙巖體單軸壓縮裂紋擴展機制離散元分析

蔣明鏡，張 寧，申志福，陳 賀

（1.同濟(jì)大學(xué) 土木工程地下建筑與工程系，上海 200092；2.同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國家重點實驗室，上海 200092；3.同濟(jì)大學(xué)巖土及地下工程教育部重點實驗室，上海 200092；4.云南省交通規(guī)劃設(shè)計研究院 陸地交通氣象災(zāi)害防治技術(shù)國家工程試驗室，云南 昆明 650011）

1 引 言

自然界中的巖石經(jīng)歷了長期的地質(zhì)構(gòu)造作用，使堅硬的巖石材料含有大量的節(jié)理、裂隙等地質(zhì)缺陷，致使巖石的強度降低且易發(fā)生脆性破裂。大量的巖土工程實踐表明，工程的失穩(wěn)破壞與裂紋缺陷的擴展和貫通有密切的關(guān)系[1]。為理清裂紋的擴展與貫通機制，很多學(xué)者以預(yù)制單條、雙條以及多條裂隙巖石為研究對象，從室內(nèi)試驗、理論計算及數(shù)值模擬等方面開展了大量卓有成效的研究工作[2－10]：將單軸壓縮破壞中的裂紋分為翼裂紋和次生裂紋；提出了雙參數(shù)復(fù)合準(zhǔn)則、拉應(yīng)變斷裂準(zhǔn)則、最小J2準(zhǔn)則和有效剪應(yīng)力準(zhǔn)則等壓剪斷裂理論。然而，理論分析很多情況下并不能合理地考慮巖石的各向異性、非均勻及不連續(xù)等特性；室內(nèi)試驗中成功預(yù)制裂隙具有較大的難度，而采用模型材料又不能完全模擬真實巖石的特性[11]。

而通過大量的細(xì)觀試驗研究，發(fā)現(xiàn)巖石破壞主要是裂紋沿著巖石晶體顆粒邊界的擴展造成的[12]。而離散元正是一種從微觀機制出發(fā)，利用非連續(xù)介質(zhì)方法，在不需要較為復(fù)雜的本構(gòu)關(guān)系的前提下，分析材料宏觀破壞過程的數(shù)值計算方法。離散元模擬巖石破損的主要原理為將巖石抽象為巖石晶體顆粒與粒間膠結(jié)物所組成，建立適合的膠結(jié)接觸模型反映巖石的在不同情況下的破壞過程。近年來，國內(nèi)外已有許多學(xué)者采用離散單元法模擬巖石裂紋的擴展過程，分析了巖石的破裂機制，并通過與室內(nèi)試驗資料對比驗證了該方法模擬巖石的可行性[13－14]。然而，通過蔣明鏡等[13－14]的微觀接觸試驗發(fā)現(xiàn)，膠結(jié)物質(zhì)的破壞是法向、切向、轉(zhuǎn)動向荷載共同作用的結(jié)果，而現(xiàn)階段的離散元模型并不能完全考慮這些因素。

本文將基于室內(nèi)微觀膠結(jié)接觸試驗的巖石微觀膠結(jié)模型嵌入離散元軟件，對預(yù)制單裂隙的Lac du Bonnet 花崗巖石進(jìn)行單軸壓縮試驗，對比分析壓縮過程中試樣中應(yīng)力分布與理論計算的差異，并對裂紋擴展判據(jù)的適用性進(jìn)行了對比研究。

2 離散元數(shù)值模擬

2.1 模型簡介

由于巖石中膠結(jié)的存在，常規(guī)的離散元模型不能直接應(yīng)用于巖石的模擬，基于有厚度水泥膠結(jié)顆粒的試驗結(jié)果[15]，通過理論分析推導(dǎo)出無厚度膠結(jié)顆粒的強度包線，采用C++語言與FISH 語言編寫用戶自定義的膠結(jié)接觸模型，然后，通過離散元自帶的模型添加接口即可將該模型嵌入。由于篇幅的限制，推導(dǎo)過程另文做詳細(xì)介紹，此處只給出相應(yīng)的結(jié)果。式（1）～（4）為室內(nèi)試驗總結(jié)得到的強度包線，圖1為無厚度的膠結(jié)顆粒的強度包線。

式中：Rs為峰值剪切荷載；μb為室內(nèi)試驗得到的參數(shù)；Rc、Rt分別為壓縮強度和拉伸強度；Fnb、Fnp分別為作用在膠結(jié)和顆粒上的法向力；gs、fs分別為室內(nèi)試驗得到的參數(shù)；μp為顆粒的摩擦系數(shù)。

式中：Rr為峰值扭轉(zhuǎn)荷載；βb為室內(nèi)試驗得到的參數(shù)；為兩個膠結(jié)顆粒（半徑分別為R1，R2）的平均半徑，按計算；gr、fr分別為室內(nèi)試驗得到的參數(shù)；βp為顆?？罐D(zhuǎn)動系數(shù)。

圖1 膠結(jié)模型強度包面Fig.1 Strength envelop of bond model

膠結(jié)破壞后，膠結(jié)和顆粒會同時受力，定義此時為參與狀態(tài)，則殘余強度包線：

式中：Rsr為殘余剪切荷載。

式中：Rrr為殘余扭轉(zhuǎn)荷載。

選用蔣明鏡等[16－17]提出的考慮抗轉(zhuǎn)動的膠結(jié)模型，其力學(xué)響應(yīng)如圖2 所示。圖2(a)為膠結(jié)接觸模型的法向力學(xué)響應(yīng)。該力學(xué)響應(yīng)中，法向力隨著法向位移的增加而線性增加，當(dāng)拉力達(dá)到膠結(jié)峰值拉伸荷載Rt時，膠結(jié)被拉壞，拉力突然跌落為0。圖2(b)為膠結(jié)接觸模型的切向力學(xué)響應(yīng)。剪切力Fs隨著切向位移us的增加首先線性增加，當(dāng)達(dá)到峰值剪切荷載Rs時，膠結(jié)發(fā)生破壞，接觸點的切向力突然跌落至恒定值，該恒定值由Mohr-Coulomb 準(zhǔn)則計算得到。圖2(c)為膠結(jié)接觸模型的轉(zhuǎn)動向力學(xué)響應(yīng)。相對轉(zhuǎn)角θ 同扭矩M 呈線性關(guān)系，達(dá)到峰值扭轉(zhuǎn)荷載Rr之后，殘余扭轉(zhuǎn)荷載Rrr由顆粒材料形狀和荷載類型進(jìn)行確定。

圖2 無厚度膠結(jié)模型的力學(xué)響應(yīng)[16－17]Fig.2 Mechanical responses of zero-thickness bond contact model

2.2 模型參數(shù)的選取

參照Lac du Bonnet 花崗巖特性[2]，本文選擇了如圖3 所示的級配，用分層欠壓法[18]制成平面孔隙比為0.2 的試樣，然后保持一定的豎向壓力為顆粒接觸賦予接觸模型成樣。通過圖4 所示的單軸壓縮試驗和巴西試驗確定了試樣的微觀參數(shù)，如表1所示，試驗得到試樣的宏觀參數(shù)為：單軸壓縮強度為205 MPa，拉伸強度為11.36 MPa，泊松比為0.256。

圖3 DEM 巖石試樣的級配曲線Fig.3 Particle size distribution of DEM rock sample

圖4 DEM 試驗結(jié)果Fig.4 Results of DEM simulation

表1 巖石膠結(jié)模型中的微觀參數(shù)Table 1 DEM micro parameters of rock sample

2.3 預(yù)制裂隙的制樣

預(yù)制裂隙代表此處物質(zhì)的缺失，因此，先按照前節(jié)方法制成單軸試樣備用，然后采用刪除部分顆粒的方法進(jìn)行預(yù)制裂隙，此時裂隙為張開狀態(tài)。對于預(yù)制的單裂隙，裂隙中心與試樣中心重合，為保持與室內(nèi)試驗相同的預(yù)制裂隙角度，選取與水平方向的角度α 分別為0°、30°、45°、60°、75°進(jìn)行研究；預(yù)制裂紋形式和尺寸如圖5 所示。在預(yù)制裂隙形成之后，循環(huán)至平衡，隨后對巖石離散元試樣進(jìn)行單軸壓縮試驗。

圖5 預(yù)制裂隙試樣Fig.5 Pre-cracked samples

3 試驗結(jié)果分析

3.1 試驗結(jié)果

表2為各傾角預(yù)制裂隙試樣的破壞形態(tài)圖與室內(nèi)試驗的對比，詳細(xì)內(nèi)容已另文介紹[19]，本文只列出結(jié)果說明模型的合理性。

表2 DEM 模擬與室內(nèi)試驗[19]試樣破壞形態(tài)對比Table 2 Comparison of failure modes between DEM and experimental results [19]

從表2 可以看到，DEM 模擬裂隙擴展形態(tài)與室內(nèi)試驗的相似度較高，都可以觀察到明顯的翼裂紋擴展：發(fā)啟于裂紋端部向主應(yīng)力方向發(fā)展。試驗結(jié)果證明了模型模擬巖石的適用性，下文將從試樣的應(yīng)力分布和擴展判據(jù)來論述裂隙的擴展機制。

3.2 裂隙周圍的應(yīng)力分布

巖石中的裂隙是由巖石中應(yīng)力引起膠結(jié)破壞導(dǎo)致的，預(yù)制裂隙的存在使巖石中應(yīng)力的分布更加復(fù)雜和不均勻。因而，研究預(yù)制裂隙周圍的應(yīng)力分布對于揭示巖石裂隙的萌生和發(fā)育具有重要意義。

平面問題中的裂紋主要有兩種類型：Ⅰ型（張開型裂紋）、Ⅱ型（滑開型裂紋）。Westergaard[20]提出了一個復(fù)變應(yīng)力函數(shù)，通過假定給出了兩種類型裂紋周圍的應(yīng)力場和位移。如圖6 所示，中心有長為2a 的貫穿裂隙，邊界作用拉應(yīng)力σx和σy致使裂紋張開，即張開型裂紋（Ⅰ型）；作用剪應(yīng)力τ 使得裂紋相互剪切，即剪切型裂紋（Ⅱ型）。試樣裂隙類型可視為兩者的疊加。

圖6 裂紋類型Fig.6 Crack modes

根據(jù)其推導(dǎo)結(jié)論，在拉剪作用下裂紋周圍的全場應(yīng)力的表達(dá)式為

其中：K?和KⅡ分別為Ⅰ型和Ⅱ型裂紋的應(yīng)力強度因子；r 和θ為圖6 中的幾何參數(shù)。

對于如圖7 所示的單軸壓縮，試樣承受著上下兩側(cè)的均布壓力q，試樣的中心位置為一張開型裂紋，該裂紋與加載方向的夾角為β，裂紋的長度為2a，設(shè)置笛卡爾坐標(biāo)系(oxy)和極坐標(biāo)系的原點分別在試樣的中心和裂紋的右端點。據(jù)彈性力學(xué)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)公式可得oxy 坐標(biāo)系下的等效邊界應(yīng)力

圖7 裂紋擴展判據(jù)的計算模型Fig.7 Model for crack propagation criterion

將式（6）帶入式（5）即得裂隙巖石單軸壓縮的應(yīng)力分布：

其中，應(yīng)力強度因子為

需要說明的是，在前文推導(dǎo)中裂紋受力為拉剪，若裂隙尚未閉合，則式（5）依然適用。在單軸壓縮中裂紋周圍為壓剪受力。若裂紋在壓剪受力時裂隙已經(jīng)閉合，此時會有界面之間的摩擦力。在離散元模擬過程中，觀察到在試樣發(fā)生膠結(jié)破壞，即開裂之前，裂隙并未閉合，因此，式（5）依然適用。

表3為DEM 數(shù)值試驗和理論分析得到的軸向應(yīng)變0.7εp（εp為峰值應(yīng)力對應(yīng)應(yīng)變）所對應(yīng)的應(yīng)力分布圖。由表可以看出：（1）盡管由于各向同性的假設(shè)，預(yù)制裂隙試樣中理論計算應(yīng)力分布的數(shù)值與DEM 模擬得到的數(shù)值有差異，但當(dāng)預(yù)制角度小于75°時，在定性規(guī)律上是一致的，在預(yù)制裂隙的周圍出現(xiàn)了明顯的應(yīng)力集中現(xiàn)象，側(cè)向應(yīng)力σxx中拉應(yīng)力集中于裂隙的上下兩面、壓應(yīng)力集中于裂隙的左右兩端，而切應(yīng)力則在預(yù)制裂隙的上下兩面和左右兩端呈現(xiàn)相反的方向。產(chǎn)生這樣現(xiàn)象的原因應(yīng)該為軸向的壓縮使裂隙有閉合的趨勢，此時對于裂隙兩端較大的壓應(yīng)變使裂隙上下兩面產(chǎn)生拉應(yīng)變，從而使裂隙周圍產(chǎn)生拉應(yīng)力。（2）而當(dāng)預(yù)制裂隙角度為75°時，理論計算值中側(cè)向應(yīng)力σxx處于拉應(yīng)力狀態(tài)，而DEM 計算結(jié)果表明，此時試樣處于拉壓應(yīng)力狀態(tài)，但與軸向應(yīng)力σyy相比數(shù)值較小，說明此時裂隙對試樣整體的應(yīng)力分布影響已經(jīng)不大。（3）隨著預(yù)制裂隙角度的增加，在達(dá)到0.7εp時，軸向應(yīng)力會增加，而側(cè)向應(yīng)力的最大拉應(yīng)力卻越來越小，說明傾角較大的裂隙可以有效地減小應(yīng)力的集中，也因此預(yù)制裂隙角度較大的試樣具有更高的強度。

3.3 裂紋擴展判據(jù)

裂紋的擴展總是從應(yīng)力集中的端部開始的，而從上節(jié)的分析中可知，裂隙的左右兩端是壓應(yīng)力集中的地方，裂隙的上下兩面是拉應(yīng)力集中的地方。而裂隙擴展正是從拉壓應(yīng)力的交界部分開始，而由于裂隙周圍應(yīng)力較難測量，因而，許多學(xué)者開始從理論上分析裂紋的擴展方向，并為此提出了最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則、最大拉應(yīng)變準(zhǔn)則、最小應(yīng)變能密度準(zhǔn)則、最大能量釋放準(zhǔn)則、最小J2準(zhǔn)則等。

表3 DEM 數(shù)值試驗和理論分析得到的單裂隙試樣應(yīng)力場Table 3 Stress fields in rock samples containing single flaw obtained from DEM numerical simulations and theoretical analyses

基于圖7 中坐標(biāo)系，巖石受壓剪荷載作用時，裂紋尖端的奇異應(yīng)力在極坐標(biāo)中應(yīng)力分量表達(dá)式為

巖石受壓剪荷載作用時，裂紋尖端的奇異應(yīng)力場在笛卡爾坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量表達(dá)式為

（1）最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則[21]

最大周向拉應(yīng)力準(zhǔn)則認(rèn)為，裂紋沿著最大的周向應(yīng)力σθθmax擴展，所以該方向滿足下列條件：

聯(lián)立式（8）、（9）、（10）、（12）可得到裂紋擴展角為

（2）最大拉應(yīng)變準(zhǔn)則[22]

最大拉應(yīng)變準(zhǔn)則認(rèn)為，環(huán)向拉應(yīng)變 εθθ達(dá)到最大值的方向為裂紋擴展方向。對于平面應(yīng)變問題，由巖石斷裂力學(xué)可知，裂紋尖端的環(huán)向拉應(yīng)變?yōu)?/p>

式中：E為彈性模量；ν為泊松比。

將式（8）、（9）代入式（14），推導(dǎo)得到：

（3）最小應(yīng)變能密度因子準(zhǔn)則[23]

最小應(yīng)變能密度準(zhǔn)則認(rèn)為，裂紋沿應(yīng)變能力最小方向發(fā)展。由斷裂力學(xué)可知，單位體積的應(yīng)變能（又稱為應(yīng)變能密度）為

聯(lián)立式（8）、（9）、（11）、（16），求導(dǎo)得到極小值時裂紋的擴展角θ0為

（4）最大能量釋放率準(zhǔn)則

最大能量釋放準(zhǔn)則認(rèn)為，裂紋沿著能量釋放率最大的方向擴展，由文獻(xiàn)[24]可得到能量釋放率G的表達(dá)式為

將式（8）、（9）代入式（18），求得G 取極大值時的裂紋擴展角滿足：

（5）最小J2準(zhǔn)則

最小J2準(zhǔn)則認(rèn)為，裂紋沿J2最小的方向擴展，J2的表達(dá)式為

將式（11）代入式（20），求得J2極小值時得到裂紋的起裂角θ0滿足[25]：

圖8為DEM 數(shù)值試驗、室內(nèi)試驗和理論分析得到的預(yù)制裂隙傾角與裂紋起裂角之間的關(guān)系。由圖可見，三者的結(jié)果，裂紋的起裂角均隨著預(yù)制裂隙傾角的增加而減小；除了最小J2準(zhǔn)則之外，其他的理論分析結(jié)果與DEM 數(shù)值試驗及室內(nèi)試驗得到的結(jié)果在定性上的一致性良好；DEM 數(shù)值試驗與室內(nèi)試驗得到的裂紋起裂角在數(shù)值上的一致性較好。另外，最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則與最大能量釋放率準(zhǔn)則得到的裂紋起裂角與DEM 數(shù)值試驗得到的結(jié)果較為相似。以上分析表明，最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則和最大能量釋放率準(zhǔn)則在預(yù)測裂紋起裂角上較為準(zhǔn)確。

圖8 不同方法所得預(yù)制裂隙傾角與裂紋起裂角之間的關(guān)系Fig.8 Relationships between the pre-existing crack inclination and crack initiation inclination obtained by different methods

5 結(jié) 論

（1）由室內(nèi)試驗總結(jié)得到的無厚度由抗轉(zhuǎn)動膠結(jié)模型適用于模擬巖石裂隙的擴展規(guī)律。

（2）與DEM 模擬結(jié)果相比，理論分析得到的應(yīng)力在定性上一致，而在定量上有差距。主要是由于理論分析中假設(shè)了巖石為各向同性彈性體，這不能反映真實巖石的非均勻、不連續(xù)的特性。當(dāng)預(yù)制裂隙角度較小時，可以觀察到明顯的應(yīng)力集中現(xiàn)象：在側(cè)向應(yīng)力中，裂隙左右兩端壓應(yīng)力集中，并由此導(dǎo)致了裂紋上下兩面的拉應(yīng)力集中；而當(dāng)裂隙角度較大時，裂紋周圍的應(yīng)力集中現(xiàn)象已經(jīng)不明顯，這導(dǎo)致了DEM 結(jié)果與理論分析的差別。

（3）DEM 數(shù)值試驗得到的裂紋起裂角與室內(nèi)試驗得到的結(jié)果較一致，且與最大周應(yīng)力準(zhǔn)則和最大能量釋放率準(zhǔn)則得到的裂紋擴展角較為吻合。

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