• 
    

    
    

      99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

      有關二維連續(xù)型隨機變量與分布的教學內容探討

      2015-02-17 02:56:50熊允發(fā)
      關鍵詞:連續(xù)型分布

      熊允發(fā), 管 濤

      (中國人民公安大學網絡安全保衛(wèi)學院, 北京 100038)

      ?

      有關二維連續(xù)型隨機變量與分布的教學內容探討

      熊允發(fā),管濤

      (中國人民公安大學網絡安全保衛(wèi)學院, 北京100038)

      摘要我們稱n個隨機變量X1,X2,…,Xspan的整體ξ=(X1,X2,…,Xspan)為n維隨機變量或稱隨機向量。對于二維連續(xù)型隨機變量與分布這一部分內容的講解,主要應從概念的界定入手,著重講解它的分布規(guī)律以及它們的相關關系,即:聯(lián)合密度、邊緣密度、聯(lián)合密度與邊緣密度的關系(積的關系、商的關系)。

      關鍵詞連續(xù)型; 隨機向量; 分布

      0引言

      眾所周知,概率統(tǒng)計是大學理工科學生的一門必修專業(yè)基礎課,它概念新穎,應用廣泛,涉及面寬,在實際應用中存在各種各樣的問題,這樣就給學生們的學習帶來了很多的困難。作者根據二十多年的教學經驗,又查閱了諸多國內外的相關書籍,就二維連續(xù)型隨機變量與分布的教學內容簡單地談幾點教學心得,希望能給廣大教師和學生以新的啟迪。

      1連續(xù)型隨機向量的概念界定

      為了研究問題的方便,我們僅以二維連續(xù)型隨機變量為例。

      如果二維隨機變量ξ=(X,Y)可能取的值不是只有有限個或者可列個(即可排成一個序列),則稱ξ=(X,Y)為連續(xù)型的。若(X,Y)是連續(xù)型的,則X,Y都是一維連續(xù)型隨機變量。反之,也成立。下面我們將其從數(shù)學意義上嚴格定義一下:

      【定義】對于二維隨機變量ξ=(X,Y),如果存在非負可積函數(shù)

      f(x,y)(-∞

      使對任意一個鄰邊分別平行于坐標軸的矩形區(qū)域D:“即由不等式a

      則稱二維隨機變量ξ=(X,Y)為連續(xù)型的,并稱f(x,y)(-∞

      【注釋】該定義中的f(x,y)是非負可積的函數(shù),積分區(qū)域D是平面上的任意區(qū)域[1]。

      簡言之,二維連續(xù)型隨機變量落在平面上任意區(qū)域的概率就等于密度函數(shù)在該區(qū)域上的二重積分。

      【例1】設(X,Y)服從D上的均勻分布, 求P(X+Y≤1)的值。

      其中D:x≥y,0≤x≤1,y≥0.見圖1(a)。

      圖1

      解:D的面積S=1/2,所以(X,Y)的概率密度為

      f(x,y)dxdy

      見圖1(b)所示。

      2連續(xù)型隨機向量的分布規(guī)律

      所謂分布,就是隨機向量取各個不同值的概率的集合。二維連續(xù)型隨機變量(向量)的分布,指的就是以上定義中f(x,y)的不同積分的集合。為便于理解,我們分以下三個部分加以介紹。

      1)聯(lián)合密度

      (1)定義:稱以上定義中f(x,y)為ξ=(X,Y)的聯(lián)合分布密度(簡稱聯(lián)合密度)。

      (2)性質:對于連續(xù)型隨機變量ξ=(X,Y)可以證明,對于平面上任意的集合D,均有

      這里f(x,y)是聯(lián)合分布密度,且具有:

      ①非負性 f(x,y)≥0;

      ③若f(x,y)在(x,y)點連續(xù),F(xiàn)(x,y)在(x,y)點處的二階偏導數(shù)存在且連續(xù),則有

      (3)幾何意義:

      由(2)得,二維隨機變量ξ=(X,Y)落在平面上任一區(qū)域D內的概率就等于聯(lián)合密度f(x,y)在D上的積分,也就是把概率的計算轉化為一個二重積分的計算。由此指出(X,Y)∈D的概率,數(shù)值上就等于以曲面z=f(x,y) 為頂,以平面區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積,這就給出了f(x,y)的幾何意義[2]。

      【例2】設(X,Y)的聯(lián)合密度為

      求(1)常數(shù)C;

      (2)P(0

      ∴C=1

      (2)D=((x,y):0

      ∴P(0

      2)邊緣分布密度

      (1)定義:對于二維隨機變量(X,Y)作為其分量的隨機變量X(或Y)的密度函數(shù)fX(x)(或fY(y)),稱為(X,Y)的關于X(或Y)的邊緣分布密度。

      (2)問題:已知聯(lián)合密度f(x,y),如何求邊緣分布密度fX(x),fY(y)?

      若(X,Y)的聯(lián)合密度是f(x,y),則X,Y的分布密度分別是

      證明:由于{-∞

      P(a

      令D=((x,y):a

      P(a

      根據隨機變量分布密度的定義,不難看出

      【注釋】從以上的證明可以看出,聯(lián)合密度決定了邊緣密度。因此,我們做題分析問題時,一定要先求出聯(lián)合密度[3]。

      【定義】設G是平面上面積為a(0

      則(X,Y)的聯(lián)合密度為:

      【例3】 設(X,Y)服從如圖2所示區(qū)域G(拋物線y=x2和直線y=x所圍成的區(qū)域)上的均勻分布,求聯(lián)合分布密度和邊緣分布密度。

      圖2

      故所求(X,Y)的聯(lián)合分布密度為

      f(x,y)dy

      3)聯(lián)合分布與邊緣分布的關系

      (1)積的關系(聯(lián)合密度等于邊緣密度的乘積)具體的就是講X與Y相互獨立的問題。

      何謂X與Y相互獨立呢?

      【定義】設X與Y是兩個隨機變量,如果對任意a

      【定理】設X,Y分別有分布密度fX(x)和fY(y),則X與Y相互獨立的充要條件是二元函數(shù)fX(x)·fY(y)為隨機向量(X,Y)的聯(lián)合密度。

      即X,Y相互獨立?f(x,y)=fX(x)·fY(y)

      證明:①設fX(x)·fY(y)是(X,Y)的聯(lián)合密度,

      P((a

      =P(a

      =P(a

      可見,X與Y是相互獨立的。

      ②設X,Y相互獨立,

      D=((x,y):a

      P((X,Y)∈D)=P(a

      =P(a

      故fX(x)·fY(y)是(X,Y)的聯(lián)合密度。

      【注釋】一般情況下,邊緣密度是不能決定聯(lián)合密度的。只有當X,Y相互獨立時,兩個邊緣密度的乘積就是它們的聯(lián)合密度。即當X,Y獨立時,邊緣密度也能確定聯(lián)合密度[4]。

      解:由題意

      故(X1,X2)的聯(lián)合密度為

      f(x1,x2)=fX1(x1)·fX2(x2)

      (2)商的關系(條件分布密度等于聯(lián)合密度除以邊緣密度)

      【注釋】要求條件分布密度,首先要知道聯(lián)合密度,其次要求出邊緣密度,兩者的比值即為條件概率密度[5]。

      【例5】設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為

      ①求條件概率密度fY|X(y|x)

      ②求條件概率P(X<1|Y<1)

      其中

      P(X≤1,Y≤1)

      參考文獻

      [1]王展青,李壽貴. 概率統(tǒng)計[M].北京:科學出版社,2000:83-84.

      [2]錢小軍. 數(shù)量方法[M].北京:高等教育出版社,1999:89-91.

      [3]李茂年,周兆麟.數(shù)理統(tǒng)計方法[M].天津:天津人民出版社,1982:58-70.

      [4]許承德. 概率統(tǒng)計[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學出版社,2000:60-65.

      [5]李排昌,熊允發(fā).概率統(tǒng)計[M].北京:中國人民公安大學出版社,2004:48-60.

      (責任編輯于瑞華)

      作者簡介熊允發(fā)(1963—), 男, 湖北仙桃人,教授。研究方向為概率統(tǒng)計與隨機過程。

      中圖分類號D035.319

      猜你喜歡
      連續(xù)型分布
      自變量分段連續(xù)型Volterra積分微分方程的配置法
      思維建模在連續(xù)型隨機變量中的應用
      連續(xù)型美式分期付款看跌期權
      大葉千斤拔活性成分分布及積累動態(tài)
      28例醫(yī)療糾紛起訴案件特點分析
      “一帶一路”沿線直接投資分布與挑戰(zhàn)應對
      剩余油分布狀況研究綜述
      北京市流動人口的分布與變化趨勢探析
      商(2016年7期)2016-04-20 17:56:29
      基于晶圓優(yōu)先級的連續(xù)型Interbay搬運系統(tǒng)性能分析
      分段連續(xù)型隨機延遲微分方程指數(shù)Euler方法的收斂性
      任丘市| 喀什市| 普兰店市| 赤壁市| 米脂县| 永善县| 滦南县| 武汉市| 云浮市| 阿瓦提县| 永和县| 栖霞市| 镇赉县| 凤台县| 巴林左旗| 涞水县| 台南县| 巴林右旗| 达尔| 景宁| 昌图县| 饶平县| 沙田区| 保靖县| 宝兴县| 长垣县| 贵州省| 麦盖提县| 江山市| 日土县| 和龙市| 那坡县| 呼和浩特市| 拜泉县| 和静县| 太谷县| 茶陵县| 开封市| 翼城县| 清水河县| 崇明县|