賴喜德，陳小明，張 翔，茍秋琴

(西華大學能源與動力工程學院，四川 成都 610039)

·能源與環(huán)境·

混流式水輪機尾水管螺旋渦帶的近似解析模型及驗證

賴喜德，陳小明，張 翔，茍秋琴

(西華大學能源與動力工程學院，四川 成都 610039)

混流式水輪機在偏離設(shè)計工況特別是在部分負荷下運行時,轉(zhuǎn)輪出口的旋流會在尾水管中產(chǎn)生螺旋狀渦帶，該渦帶引起的壓力脈動是引起水輪機水力不穩(wěn)定的最主要原因。采用全流道非定常三維流場數(shù)值模擬來計算尾水管流場不僅對計算資源性能要求很高和耗時，而且很難在設(shè)計階段快速計算出尾水管渦帶誘導的流場，不利于在較寬運行工況范圍預(yù)評估水力穩(wěn)定性。本文在螺旋渦管誘導流場理論的基礎(chǔ)上探索建立在部分負荷運行下尾水管中螺旋渦帶的近似解析模型。采用該模型可以快速近似地計算出尾水管的流速，與國外相關(guān)的試驗結(jié)果對比，驗證了該模型的正確性?？梢赃M一步研究將該模型用于混流式水輪機設(shè)計過程中的優(yōu)化流道設(shè)計，以減輕尾水管渦帶的影響和擴大運行工況范圍。

渦帶；尾水管；混流式水輪機；流場計算

混流式水輪機在部分負荷下運行的水力不穩(wěn)定性問題尤為突出，大量的試驗已證實尾水管渦帶引起的壓力脈動是引起水力不穩(wěn)定的最主要原因[1-3]。雖然近年來國內(nèi)外在水輪機內(nèi)部非穩(wěn)定流和尾水管渦帶數(shù)值模擬方面開展了一些研究工作[3-4]，通過數(shù)值模擬結(jié)果可以初步預(yù)測壓力脈動，但是到目前為止評價水輪機水力穩(wěn)定性的主要手段仍是進行模型壓力脈動試驗[1]。如何在設(shè)計階段有效控制水輪機尾水管渦帶引起的壓力脈動，變事后評估為設(shè)計過程中控制是提高水輪機水力穩(wěn)定性的有效途徑，這是水輪機水力優(yōu)化設(shè)計的難點[5-6]。在設(shè)計階段采用非穩(wěn)定流的數(shù)值模擬來預(yù)測尾水管渦帶引起的圧力脈動不僅耗時和需要高性能的計算資源，而且并不十分有效[3-4]。在流道的自動優(yōu)化設(shè)計過程中，也很難將尾水管渦帶引起的水壓脈動特性作為優(yōu)化目標函數(shù)來表達。近年來，國內(nèi)外一些學者都在試圖建立渦帶的流動解析模型，通過解析方法來計算尾水管的流場[7-10]。從試驗觀察在尾水管直錐管段內(nèi)，隨著運行工況變化可能呈現(xiàn)出直柱管狀渦帶、葫蘆管狀渦帶和螺旋管狀渦帶(稱其為螺旋渦帶)等，引起尾管壁強烈壓力脈動的主要是螺旋渦帶[1,7-10]。本文在此基礎(chǔ)上探索建立尾水管中螺旋渦帶的近似解析模型來近似計算尾水管的流速，在此基礎(chǔ)上可預(yù)測其尾水管水壓脈動，為在水力設(shè)計階段能有效控制水輪機尾水管渦帶引起的壓力脈動奠定理論基礎(chǔ)，尋找出可行的優(yōu)化設(shè)計目標函數(shù)方法。

1 在部分負荷下運行的尾水管螺旋渦帶的特征

當定葉式水輪機處于低水頭與低負荷工況運行時，由于流量減小，單位轉(zhuǎn)速增加，致使轉(zhuǎn)輪出口產(chǎn)生一正向旋轉(zhuǎn)的水流速度環(huán)量，于是尾水管中心一帶形成強制旋渦，渦流的偏心會引起渦流的螺旋狀運動，形成通常所說的螺旋狀渦帶。在模型試驗[2]時可以觀測的尾水管渦帶如圖1所示，可以簡化成如圖2所示的示意模型。渦帶可看作是一束高速旋轉(zhuǎn)的水體，此旋轉(zhuǎn)水體(不管是否形成空腔)以自身旋轉(zhuǎn)頻率Ωrope繞渦帶螺旋軸線，并以進動頻率Ω繞尾水管中心軸線在尾水管內(nèi)作螺旋狀運動時，它就周期性地影響尾水管內(nèi)的速度場。由于尾水管內(nèi)整個速度場發(fā)生周期性的變化，速度脈動和壓力脈動也就以同樣的頻率出現(xiàn)了，這樣就在尾水管內(nèi)形成了周期性的低頻壓力脈動。

2 尾水管直管段中螺旋渦管的流函數(shù)

2.1 螺旋渦管簡化模型

如圖3所示，將尾水管螺旋渦帶簡化為螺旋渦管，假設(shè)螺旋渦管無限長，具有左或右旋向，均勻分布螺旋渦管在圓錐直管中作整體均勻運動：繞Z軸以勻角速度Ω轉(zhuǎn)動，同時沿Z軸以勻線速度V0移動。相關(guān)參數(shù)如下：R為圓柱直管半徑；Q為尾水管內(nèi)流體的流量；a0為圓柱螺旋渦管中心軸線包絡(luò)柱面半徑；i為圓柱螺旋渦管的根數(shù)；h為圓柱螺旋渦管中心軸線節(jié)距(l=h/2)，取右旋l>0，左旋l<0；Lk為第k根圓柱螺旋渦管中心軸線；為單根集中渦強度，取>0與圖示相同，<0與圖示相反；(er，，B)為螺旋正交標架，B、為非單矢量，Ber=；V0為圓柱螺旋渦管沿Z軸方向線速度；(x′,y′,z′)為絕對直角坐標系；Ω為圓柱螺旋渦管沿Z軸旋轉(zhuǎn)角速度，取Ω>0與圖示相同，Ω<0與圖示相反；(x，y，z)為相對直角坐標系；為螺旋渦管半徑，對于渦絲，它趨于零；(a0，0k)為第k根圓柱螺旋渦管中心軸線與z=z0的水平橫截面交點坐標，也是該軸線的螺旋坐標(0k=0k-z0/l，k=1,2，..，i)；V,V′為螺旋渦管誘導的相對和絕對速度場；p為螺旋渦管誘導壓力場；ω,ω′為螺旋渦管的相對和絕對渦量場。

(a)右旋 (b)左旋 (c)渦管水平截面

圖3 尾水管渦帶簡化為勻動圓柱螺旋小單渦管示意圖

2.2 相對螺旋坐標系下螺旋渦管的流場控制方程

2.2.1 相對螺旋自變量及螺旋標架的引入

考慮到簡化螺旋渦管的尾水管流場中的相對渦量場和速度場具有螺旋對稱性，如圖3所示，為了便于模型建立，通過相對柱坐標系中的自變量(r，，z) 和標架 (er，e，ez)來定義相對螺旋變量(r，)和螺旋標架(er，，B)，并給出絕對和相對螺旋自變量與相對柱坐標系之間的關(guān)系：

r=r; χ=φ-z/l; r=r′; χ=χ′-(Ω-V0/l)t。

(1)

已知函數(shù)B2=l/(l2+r2)，螺旋標架矢量(er，，B)是正交非單位矢量系，螺旋標架隨螺旋渦管中心線變化，相對螺旋標架定義為

er=er;χ=rB2χ;B=B2(rr·χ)。

(2)

2.2.2 在相對螺旋標架系下流體的控制方程

連續(xù)性方程：

(3)

歐拉方程：

(4)

渦輸運方程：

(5)

2.3 相對螺旋坐標系下螺旋渦管的流函數(shù)

由連續(xù)性方程(3)，引入流函數(shù)ψ，并滿足

(6)

流場中的相對速度在螺旋標架系下可分解為V=Vrer+V+VBB，將式(6)代入可推導相對速度場，表達式為

V=ψ·B+VBB。

(7)

由相對渦量與相對速度的關(guān)系ω=·V以及式(7)，相對渦量場與相對速度關(guān)系分解表達式為

ω=

(8)

即

(9)

式(9)是在相對坐標系中具有螺旋對稱性流場必須滿足的流函數(shù)與渦分量微分關(guān)系。為了用流函數(shù)直接表達速度和渦量，可從Euler方程求解出VB。根據(jù)流場旋渦管的渦分布特點，可推導速度VB分量為

(10)

2.4 螺旋坐標系下螺旋渦管的流函數(shù)

從式(9)和坐標架關(guān)系可以得到在螺旋坐標系下渦量表示的流函數(shù)方程：

W0=lΩ+U0。

(11)

3 尾水管中渦帶的流函數(shù)

3.1 尾水管中渦帶的誘導速度場

假設(shè)尾水管直管段內(nèi)的流場由兩部分組成，一部分是軸對稱的直管渦誘導的速度場，另一部分是螺旋渦管誘導的速度場，實際尾管內(nèi)的速度場是由兩部分速度場疊加而成。螺旋渦帶和螺旋渦管在概念上有所不同，螺旋渦管是一個力學名詞，指流場中的渦量聚集于螺旋管內(nèi)。螺旋渦帶是一個工程名詞，是指渦旋流場中出現(xiàn)螺旋形狀的管狀物。實驗表明這時流場中的渦量即聚集于螺管之內(nèi)，同時也有可能分布于螺管之外，如圖4所示?？蓪懗鰡螠u管水平截面區(qū)域的周線極坐標方程，在任給z=z0水平截面上，被截單渦管區(qū)域Sz1為橢圓區(qū)域，其中心位置坐標為(a0，01=01-z0/l)，它的面積為)，從上式可解得1與a的關(guān)系(Sz1的橢圓周線極坐標方程)為：

φ1=φ01±θ0(a)，

(12)

Ximing WANG和Michihiro NISHI等在研究尾水管內(nèi)螺旋渦帶誘導的流場時，通過試驗，認為對于小核螺旋渦帶，尾管截面上的渦量這樣分布[9-10]：

(13)

ω′=0，其他

3.2 渦帶流函數(shù)控制方程及其解

(14)

USin(r)=1，在0≤r′≤a0-ε區(qū)域內(nèi)，USin(r)=0，在其他區(qū)域內(nèi)；USz1(r,χ)=(Se/Γ2)ωz′(r,χ)，當(r,χ)在渦內(nèi)為1，其他區(qū)域為0。

式中：Ψrope表示柱管內(nèi)由渦帶誘導流場的相對流函數(shù)；常數(shù)W0rope=lΩrope+U0rope為這種渦帶誘導流場下的速度常數(shù)。

根據(jù)線性微分方程的疊加原理，方程(14)的解為下列兩個線性微分方程的特解之和。這兩個微分方程分別為:

(15)

式(15)的第一方程為螺旋渦管的流函數(shù)微分方程，尾水管的螺旋渦帶一般為小單螺旋渦管(ε

(16)

第二方程為直管渦的流函數(shù)微分方程，直管渦流函數(shù)解析表示為

(17)

(18)

3.3 尾水管渦帶誘導的速度場求解

在前面的假設(shè)下由于流場中仍保持螺旋對稱性，可以根據(jù)流函數(shù)先求出螺旋標架系下的3個相對速度分量，再求出在圓柱坐標系下相對速度場和絕對速度場，其絕對速度場的解析解為：

(19)

常數(shù)V0rope+U0rope是在柱管軸心處流體介質(zhì)鉛直向下的速度，如果設(shè)柱管內(nèi)流體的流量為Q，那么介質(zhì)沿z′軸方向速度在整個柱管橫截面上的積分應(yīng)該等于柱管內(nèi)流量，注意在方程(19)最后一式中，無窮求和項在柱管橫截面上的積分為零，即可推導得：

(20)

(21)

式中：

C0rope=V0rope+U0rope，

4 基于近似解析模型的流速場計算與驗證

為了驗證前面建立的近似解析模型的正確性，引用Ximing Wang，Michihiro NISHI等的實驗和數(shù)值結(jié)果[9-10]進行對比，其渦帶的基本參數(shù)是從文獻[9-10]中獲取的，螺旋渦帶量綱一化基本參數(shù)取為：

a0=0.668，ε=0.132，l=-0.6，Γ1=1.572，Γ2=0.96，U0rope+V0rope=-0.51

(22)

采用式(21)、(22)計算軸向和周向平均速度，將其數(shù)值結(jié)果與Ximing Wang等的實驗和數(shù)值計算結(jié)果進行對比，如圖5所示。

(a)周向平均速度 (b)軸向平均速度

圖5 本文的近似解析模型與X. Wang等的實驗結(jié)果對比

從速度場對比中發(fā)現(xiàn)，近似解析結(jié)果與Ximing Wang等的數(shù)值計算結(jié)果完全吻合，因此本文的近似解析公式完全能夠替代Ximing Wang數(shù)值計算方法。從圖5可以看出，在渦核和尾水管壁附近，計算的速度數(shù)值與實驗值有較大的偏差，這主要是由于忽略了這兩處流體黏性造成的，而在流場的其他大部分區(qū)域，近似解析計算結(jié)果與實驗相吻合。

5 結(jié)論

混流式水輪機在偏離設(shè)計工況，特別是在部分負荷下運行時螺旋狀渦帶是引起尾水管壓力脈動的主要因素。雖然近年來業(yè)界在探索采用全流道的非定常三維流場的數(shù)值模擬來計算尾水管流場；但是不僅對計算資源要求巨大，而且耗時，難以用于水力設(shè)計過程中預(yù)測水輪機的尾水管渦帶引起的壓力脈動。本文在螺旋渦管誘導流場理論的基礎(chǔ)上探索建立了在部分負荷下運行下尾水管中螺旋渦帶的近似解析模型。采用該近似解析模型可以快速近似計算尾水管的流速分布，與國外相關(guān)的試驗結(jié)果對比，在渦核和尾水管壁附近計算的速度數(shù)值與實驗值有較大的偏差，這主要是由于忽略了這兩處流體黏性造成的。而在尾水管流場的其他大部分區(qū)域，近似解析計算結(jié)果與實驗相吻合，證明該近似解析模型的正確性?？梢栽谠O(shè)計過程中根據(jù)較寬范圍運行工況參數(shù)初步計算尾水管流場，以優(yōu)化流道設(shè)計，還可以進一步研究該解析模型在設(shè)計過程中如何用于預(yù)測其尾水管水壓脈動來評估水力穩(wěn)定性。

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(編校：夏書林)

Approximated Analytical Model and Validation of Helical Vortex Rope inside Draft Tube of Francis Turbine

LAI Xi-de , CHEN Xiao-ming ,ZHANG Xiang，GOU Qiu-qin

(SchoolofEnergyandPowerEngineering,XihuaUniversity,Chengdu610039China)

When a Francis hydraulic turbine operates at off-design regimes and particular at partial discharge, the residual swirl downstream runner leads to flow instability of the turbine, with development of a heliacal vortex rope and associated large pressure fluctuations on the draft tube. It is not only notoriously difficult and expensive to be computed by using full 3D turbulent unsteady flow models, but also can not meet the requirement of robust, tractable and accurate prior assessment of the flow unsteadiness level with a wide operating range before actually knowing the detail runner geometry. We established a quasi-analytical model of the vortex rope in the discharge cone based on the theory of processing helical vortex tube in swirl flow. The axial and circumferential velocity profiles can be quickly calculated with this averaged velocities model, and were validated by comparing the numerical results with the experimental results presented in the references. It can be further applied to optimize the flow path design in order to reduce the vortex rope and expanding the operating range for a Francis turbine.

vortex rope; draft tube; francis turbine; flow field analysis

2015-05-10

國家自然科學基金項目(51379179)

賴喜德(1962—)，男，教授，博士，主要研究方向為流體機械及工程、水電動力工程。

TK730.2

A

1673-159X(2015)05-0024-10

10.3969/j.issn.1673-159X.2015.05.004