李 曦

(西華大學(xué)理學(xué)院，四川 成都 610039)

·基礎(chǔ)學(xué)科·

Banach空間中廣義f投影算子的穩(wěn)定性

李 曦

(西華大學(xué)理學(xué)院，四川 成都 610039)

廣義f投影算子是求解變分不等式問(wèn)題的重要工具。 本文在Banach空間中研究當(dāng)混合項(xiàng)f和約束集K同時(shí)擾動(dòng)時(shí)廣義f投影算子的穩(wěn)定性。

變分不等式；廣義f投影算子；Hausdorff距離；凸性模；光滑模

眾所周知，變分不等式產(chǎn)生于工程學(xué)、金融管理科學(xué)和物理學(xué)等領(lǐng)域，它在最優(yōu)化理論、力學(xué)、控制論、微分方程、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)和交通均衡等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-8]。變分不等式理論中重要而有趣的問(wèn)題就是研究有效的方法求解變分不等式問(wèn)題。近年來(lái)，投影方法逐漸成為求解變分不等式問(wèn)題的重要方法之一，并取得了重要的進(jìn)展。

Hilbert空間中的度量投影算子具有單調(diào)性、非擴(kuò)張性和最佳逼近等良好性質(zhì)，然而，Banach空間中的度量投影算子并不具備這些良好性質(zhì)；因此，在1994年，Alber[1]在一致凸一致光滑的Banach空間中引入了廣義投影算子πK:X*→K和ΠK:X→K，并且給出了它們類似Hilbert空間中度量投影算子的許多性質(zhì)。在1996年，Alber[2]研究了廣義投影算子πK:X*→K和ΠK:X→K關(guān)于集合K擾動(dòng)的穩(wěn)定性，并且借助于廣義投影算子來(lái)計(jì)算變分不等式和Von-Neumann交問(wèn)題的近似解。在2005年，Li[8]將廣義投影算子從一致凸一致光滑的Banach空間推廣到自反的Banach空間。隨后，Abler[3]研究了一類迭代逼近算法關(guān)于算子和約束集同時(shí)擾動(dòng)的穩(wěn)定性。

在2006年，Wu等[9]在Banach空間中引入了一類新的廣義f投影算子，并且給出此類算子的一些基本性質(zhì)，他們的投影算子推廣了Abler[1]引入的廣義投影算子。此后，Wu和Huang繼續(xù)研究廣義f投影算子，他們?cè)谖墨I(xiàn)[10]中證明了廣義f投影算子是極大單調(diào)算子，在文獻(xiàn)[11]中借用廣義f投影算子的性質(zhì)得到了廣義集值變分不等式和廣義似變分不等式解的存在性理論。在2009年，F(xiàn)an等[12]進(jìn)一步完善了廣義f投影算子的基本性質(zhì)，并且得到了Banach空間中非緊子集上廣義變分不等式解的存在性結(jié)果。最近，Li等[14]在Banach空間中研究了廣義f投影算子關(guān)于集合擾動(dòng)的穩(wěn)定性。

受上述工作的啟發(fā)，本文我們將在Banach空間中繼續(xù)研究廣義f投影算子。在一定條件下，我們證明了廣義f投影算子關(guān)于混合項(xiàng)f和約束集K同時(shí)擾動(dòng)的穩(wěn)定性質(zhì)。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)X是一個(gè)Banach空間，其對(duì)偶空間為X*，〈·，·〉為X與X*之間的對(duì)偶。X上的凸性模函數(shù)和光滑模函數(shù)分別定義為:

ε2δ(η)≥(4L)-1η2δ(ε),?η≥ε>0，

其中,L是Figiel不等式中的系數(shù)[13]。

設(shè)X是光滑的Banach空間，我們知道正規(guī)對(duì)偶映象J是單值映象，正規(guī)對(duì)偶映象的定義為

Jx={x*∈X*∶〈x,x*〉=‖x‖2=‖x*‖2},?x∈X。

設(shè)

Gf∶X*×K→R∪{+}∶Gf(φ,ξ)=‖φ‖2-2〈φ,ξ〉+‖ξ‖2+2ρf(ξ)，

其中:K是X的一個(gè)非空閉凸子集;ξ∈K,φ∈X*,ρ>0;f:K→R∪{+}是真凸下半連續(xù)泛函?，F(xiàn)在我們回顧廣義f投影算子的定義和它的基本性質(zhì)。

定義1[9]設(shè)X是光滑的Banach空間，K是X的一個(gè)非空閉凸子集，廣義f投影算子定義為

引理1[9]設(shè)X是自反光滑的Banach空間，K是X的一個(gè)非空閉凸子集，那么

引理2[4]設(shè)X是嚴(yán)格凸的Banach空間，那么對(duì)任意的x,y∈X，

〈Jx-Jy，x-y〉≥(2L)-1C2δ(‖x-y‖/2C)。

引理3[14]設(shè)X是一致凸光滑的Banach空間，K是X的一個(gè)非空閉凸子集，f:X→R∪{+}是凸的一致連續(xù)泛函。如果n=0?X是一族非空閉凸子集，使得f在每個(gè)Kn上是真的，并且當(dāng)n→+時(shí)H(Kn,K)→0，其中H(·,·)為Hausdorff距離

2 廣義f投影算子關(guān)于混合項(xiàng)f和約束集K的穩(wěn)定性

由廣義f投影算子的定義，我們知道廣義f投影算子比Abler[1]研究的廣義投影算子多了混合項(xiàng)泛函f。本節(jié)我們將研究廣義f投影算子關(guān)于混合項(xiàng)f和約束集K同時(shí)擾動(dòng)時(shí)的穩(wěn)定性。

定理1 設(shè)X是嚴(yán)格凸自反光滑的Banach空間，K是X的一個(gè)非空閉凸子集，f1,f2:K→R∪{+}是真凸下半連續(xù)泛函。對(duì)任意的x∈X，令，那么

‖x1-x2‖≤2Cδ-1[2ρLC-2|(f1-f2)(x2)-(f1-f2)(x1)|]。

證明 由引理2可知

(1)

(2)

(3)

由式(2)和式(3)可知

〈Jx1-Jx2，x1-x2〉≤ρ|(f1-f2)(x2)-(f1-f2)(x1)|，

(4)

從而由式(1)可得

如果X是一致凸自反光滑的Banach空間，并且存在C>0使得‖x1‖

〈Jx1-Jx2，x1-x2〉≥(2L)-1C2δ(‖x1-x2‖/2C)。

從而由(4)可得

(2L)-1C2δ(‖x1-x2‖/2C)≤ρ|(f1-f2)(x2)-(f1-f2)(x1)|，

‖x1-x2‖≤2Cδ-1[2ρLC-2|(f1-f2)(x2)-(f1-f2)(x1)|]。證畢。

定理2 設(shè)X是一致凸自反光滑的Banach空間，Kn,K?X是非空閉凸子集，fn,f∈X*,n=0，1,2,…。 如果f是一致連續(xù)泛函， 在每個(gè)Kn上是真的，并且當(dāng)n→+時(shí)，H(Kn,K)→0，‖fn-f‖→0。那么對(duì)任意的x∈X，

證明 下面我們分兩步證明：

Gfn(Jx,xn) =‖x‖2-2〈Jx,xn〉+‖xn‖2+2ρfn(xn)=

‖x‖2-2〈Jx-ρfn,xn〉+‖xn‖2≥

‖x‖2-2‖Jx-ρfn‖‖xn‖+‖xn‖2=

(‖xn‖-‖Jx-ρfn‖)2+‖x‖2-‖Jx-ρfn‖2。

(5)

Gfn(Jx,xn) ≤Gfn(Jx,yn)=‖x‖2-2〈Jx,yn〉+‖yn‖2+2ρfn(yn)≤

(‖x‖+‖yn‖)2+2ρ‖fn‖‖yn‖。

(6)

由式(5)和式(6)可知

(‖xn‖-‖Jx-ρfn‖)2+‖x‖2-‖Jx-ρfn‖2≤(‖x‖+‖yn‖)2+2ρ‖fn‖‖yn‖。

(7)

由于當(dāng)n→+時(shí)，‖fn-f‖→0并且，我們知道n=0和n=0均有界。所以(7)表明n=0有界。特別地，將上述證明過(guò)程中的每個(gè)fn替換成f，我們將得到也是有界的。那么存在M>0使得‖‖≤M，‖‖≤M。

(8)

(9)

對(duì)任意的n∈N,有

這就表明，當(dāng)n→+時(shí)，。

如果對(duì)任意的x∈X，fn(x)=f(x)=0，那么廣義f投影算子就退化為廣義投影算子。定理2表明廣義投影算子當(dāng)集合K擾動(dòng)時(shí)是穩(wěn)定的，Abler在文獻(xiàn)[2]中首次研究了這類廣義投影算子關(guān)于約束集合時(shí)的穩(wěn)定性。

根據(jù)定理2，我們將很容易得到廣義f投影算子只有混合項(xiàng)擾動(dòng)的穩(wěn)定性質(zhì)。

推論1 設(shè)X是一致凸自反光滑的Banach空間，K?X是非空閉凸子集，fn,f∈X*,n=0，1,2,…。如果f在每個(gè)K上是真的，并且當(dāng)n→+時(shí)，‖fn-f‖→0。那么對(duì)任意的x∈X，

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(編校：葉超)

The Stability of Generalized F-projection Operators in Banach Spaces

LI Xi

(SchoolofScience,XihuaUniversity,Chengdu610039China)

The generalizedf-projection operator is an important and useful tool for solving variational inequality problems. In this paper, we study the stability of generalizedf-projection operators when the constraint setKand the mappingfare simultaneously perturbed.

variational inequality; generalizedf-projection operator; Hausdorff distance; modulus of convexity；modulus of smoothness

2015-01-13

四川省教育廳資助科研項(xiàng)目(14ZB0130)；國(guó)家自然科學(xué)基金數(shù)學(xué)天元基金項(xiàng)目(11426180)

李曦(1987—)，女，講師，博士，主要研究方向?yàn)樽顑?yōu)化理論和非線性分析。

O178 ；O177.2

A

1673-159X(2015)05-0055-04

10.3969/j.issn.1673-159X.2015.05.010