江松明,王 沁,劉 洋

(1．西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,四川 成都 610031;2.成都協(xié)信置業(yè)有限公司，四川 成都 610056)

·基礎(chǔ)學(xué)科·

基于狀態(tài)轉(zhuǎn)移-混合Copula模型的量?jī)r(jià)關(guān)系分析

江松明1,2,王 沁1,劉 洋1

(1．西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,四川 成都 610031;2.成都協(xié)信置業(yè)有限公司，四川 成都 610056)

利用混合Copula的權(quán)重與參數(shù)在不同狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移，構(gòu)建一種基于狀態(tài)轉(zhuǎn)換的混合Copula模型，對(duì)相依變量之間上尾下尾的非對(duì)稱結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換進(jìn)行描述。利用該模型對(duì)上證指數(shù)和房地產(chǎn)板塊指數(shù)進(jìn)行實(shí)證研究,結(jié)果發(fā)現(xiàn)：整體上量?jī)r(jià)之間呈現(xiàn)出上尾高下尾低的非對(duì)稱結(jié)構(gòu)，當(dāng)股市由低波動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)向高波動(dòng)狀態(tài)后，量?jī)r(jià)之間的尾部結(jié)構(gòu)相關(guān)程度顯著增強(qiáng)，且下尾結(jié)構(gòu)所占比例也明顯增加，這種相依關(guān)系對(duì)于了解股市的信息傳導(dǎo)機(jī)制與微觀結(jié)構(gòu)有重要意義。

狀態(tài)轉(zhuǎn)移；混合Copula模型；極大似然估計(jì)；量?jī)r(jià)關(guān)系

近幾年來，我國的CPI指數(shù)(消費(fèi)者物價(jià)指數(shù))一直處于歷史高位，市場(chǎng)面臨了一定的通脹壓力。隨著金融市場(chǎng)的不斷完善及投資方式的多樣化，廣大投資者為了使自己的資產(chǎn)達(dá)到保值增資的目的，進(jìn)入股票市場(chǎng)的資金越來越多。企業(yè)也把目光放在了股票市場(chǎng)，通過股票市場(chǎng)來拓寬融資渠道，降低融資成本，保證企業(yè)正常運(yùn)營。

自O(shè)bsborne[1]在1959年發(fā)表《Brownian Motion in the Stock Market》論文之后，國外研究者就慢慢開始對(duì)量?jī)r(jià)關(guān)系進(jìn)行了大量的研究。Nelson[2]于1999年較為系統(tǒng)地概括了Copula理論。Hu Ling[3-4]提出了混合Copula模型，也就是把不同的Copula函數(shù)進(jìn)行線性組合，如此一來保留了各個(gè)Coupla模型的特征，從而能夠更好地捕捉到金融資產(chǎn)組合的相關(guān)結(jié)構(gòu)。Longin等[5]通過利用極值相關(guān)理論對(duì)歐美等股市進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)收益率的極值相關(guān)存在非對(duì)稱性，在牛市下比熊市下要弱。國內(nèi)在這方面的研究已經(jīng)有很多文獻(xiàn)[6-8]，大多數(shù)是基于普通的常相關(guān)Copula模型和時(shí)變Copula模型來進(jìn)行研究的。Hamilton[9]在1994年提出了含狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型，之后又被廣泛應(yīng)用于金融時(shí)間序列[10]之上。

本文針對(duì)股票市場(chǎng)中量?jī)r(jià)關(guān)系的金融特征，引入了一種含狀態(tài)轉(zhuǎn)移的Copula模型，并在此模型上對(duì)股市量?jī)r(jià)關(guān)系進(jìn)行了實(shí)證分析。

1 狀態(tài)轉(zhuǎn)移的混合Copula模型

首先介紹構(gòu)建狀態(tài)轉(zhuǎn)移混合Copula模型的步驟：

第1步：邊緣建模——分別對(duì)收益率序列與成交量序列建立GARCH模型；

第2步：把收益率序列與成交量序列的GARCH模型的殘差用概率積分變換成[0,1]均勻分布；

第3步：選擇可以最能描述隨機(jī)變量之間相關(guān)結(jié)構(gòu)的Copula函數(shù)，聯(lián)合建模。

1.1 邊緣分布

大量研究表明，股市中的成交量與收益率具有波動(dòng)聚集性和尖峰厚尾性等特征，所以利用GARCH-t模型分別估計(jì)成交量與收益率的邊緣分布函數(shù)，給出一般的GARCH-t(1,1)模型如下：

(1)

其中：et服從t分布；模型中yt分別可設(shè)為成交量序列與收益率序列。

1.2 含狀態(tài)轉(zhuǎn)移的混合Copula模型

在量?jī)r(jià)關(guān)系研究中，混合Copula模型能夠較好地刻畫它們之間的非線性和非對(duì)稱性等特性，然而在不同狀態(tài)下，成交量與價(jià)格之間的相關(guān)性結(jié)構(gòu)是必然會(huì)發(fā)生變化的。例如，在牛市中，當(dāng)價(jià)格大幅走高必會(huì)導(dǎo)致成交量的增大；在熊市中，價(jià)格的劇烈下跌，不一定就會(huì)伴隨著成交量的減少。

顯而易見，單一狀態(tài)下的混合Copula模型已不能滿足對(duì)多變的證券市場(chǎng)的量?jī)r(jià)分析，所以在混合Copula模型中引入了一個(gè)含狀態(tài)轉(zhuǎn)移的量，使其在不同狀態(tài)下，能夠更好地描述成交量與價(jià)格之間的相關(guān)性及其波動(dòng)。

狀態(tài)轉(zhuǎn)移的混合Copula模型(MRS-Mixture-Copula的表達(dá)式為

(2)

含狀態(tài)變量的Gumbel Copula和Clayton Copula的表達(dá)式為

(3)

其中，Λ=[(-ln(ut))αt,st+(-ln(vt))αt,st]。

(4)

2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移的混合Copula模型的參數(shù)估計(jì)方法

兩狀態(tài)的MRS-Mixture-Copula模型的待估參數(shù)為

θ=(λ1,λ2,α1,α2,β1,β2,p11,p12,p21,p22)。

這些參數(shù)滿足以下條件：

1)根據(jù)模型定義當(dāng)St=1時(shí)將λ1,α1,β1都要附上初始值；同理當(dāng)St=2時(shí)將λ2,α2,β2都要附上初始值。以此帶入程序中循環(huán)得到最優(yōu)值。

2)λ1,λ2∈[0,1] ；p11+p12=1;p21+p22=1;pij≥0,i,j=1,2。

SETP1當(dāng)t=1，給定p(St-1|ut-1,vt-1,…,u1,v1)的初始值，本文設(shè)定它等于任何給定時(shí)期的無條件概率，并計(jì)算聯(lián)合概率

p(St,St-1|ut-1,vt-1…,u1,v1)=pij×p(St-1|ut-1,vt-1…,u1,v1)，

(5)

STEP2 計(jì)算聯(lián)合概率密度函數(shù)

p(St,St-1,ut,vt|ut-1,vt-1…,u1,v1)=

p(St,St-1|ut-1,vt-1…,u1,v1)·c(ut,vt|St,St-1,ut-1,vt-1…,u1,v1,θ)

(6)

其中ut,vt服從[0,1]均勻分布。

STEP3計(jì)算

(7)

其中

c(ut,vt,St|St-1,ut-1,vt-1,…,u1,v1,θ)=

(8)

STEP4 根據(jù)STEP3計(jì)算對(duì)數(shù)似然函數(shù)的值，如下：

STEP5 讓t=t+1，并計(jì)算概率

(9)

3 實(shí)證分析

本文選取了2009年1月5日至2013年12月31日的證券市場(chǎng)中上證指數(shù)(SZ)和房地產(chǎn)板塊指數(shù)(DC)的收盤價(jià)格和成交量為統(tǒng)計(jì)樣本，分為2組，一組共計(jì)2 422個(gè)數(shù)據(jù)(樣本數(shù)據(jù)來自于大智慧數(shù)據(jù)庫)。

3.1 邊緣模型的參數(shù)估計(jì)

將對(duì)收益率序列和成交量序列都建立GARCH-t模型，以此來刻畫它們所具有的金融特征。表1、表2分別給出了2只股票收益率序列與成交量序列在GARCH-t模型下的各個(gè)參數(shù)的估計(jì)值。

注：括號(hào)里的數(shù)值表示參數(shù)估計(jì)值相對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差

注：括號(hào)里的數(shù)值表示參數(shù)估計(jì)值相對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差

由表1和表2可以看出，所有參數(shù)的值均是顯著的，那么選擇GARCH-t模型是合理的。

3.2 狀態(tài)轉(zhuǎn)換混合Copula的參數(shù)估計(jì)及分析

圖1、圖2為2只股票的各個(gè)序列經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化處理得到[0,1]均為分布后的收益率與成交量的散點(diǎn)圖。

圖1 上證指數(shù)收益率與成交量散點(diǎn)圖

圖2 房地產(chǎn)板塊指數(shù)收益率與成交量散點(diǎn)圖

從圖1、圖2可知，上證指數(shù)和房地產(chǎn)板塊指數(shù)的收益率與成交量之間的相關(guān)關(guān)系是比較復(fù)雜的，不僅存在正相關(guān)關(guān)系，而且也包含了負(fù)相關(guān)關(guān)系。圖中的各個(gè)散點(diǎn)大多數(shù)集中在主對(duì)角線和副對(duì)角線上，這也反映出收益率與成交量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)存在正負(fù)相關(guān)的情況。

2只股票的收益率與成交量2個(gè)序列同時(shí)取極大值的概率比較大。當(dāng)股市處于牛市或者熊市時(shí)，收益率與成交量正、負(fù)相關(guān)性會(huì)有所加強(qiáng)。那么，在構(gòu)建Copula模型時(shí)，要選取出能夠反映量?jī)r(jià)之間這樣一些相關(guān)特性的混合模型，同時(shí)還要分出股市的不同波動(dòng)狀態(tài)下的量?jī)r(jià)關(guān)系；所以在模型由對(duì)上尾相關(guān)結(jié)構(gòu)敏感的Gumel函數(shù)和對(duì)下尾相關(guān)結(jié)構(gòu)敏感的Clayton函數(shù)組成，期間還加入兩狀態(tài)的狀態(tài)轉(zhuǎn)換，以此來刻畫股市不同狀態(tài)下的量?jī)r(jià)關(guān)系。各序列的狀態(tài)轉(zhuǎn)換混合Copula的參數(shù)估計(jì)值如表3所示。

根據(jù)表3中的參數(shù)值，再計(jì)算出股市波動(dòng)率分別處于狀態(tài)1和狀態(tài)2的無條件概率，用P1和P2表示，其中P1=(1-p22)/(2-p11-p22)，p2=(1-p11)/(2-p11-p22)，結(jié)果如表4所示。

首先分析上證指數(shù)與房地產(chǎn)板塊指數(shù)各自的收益率與成交量的量?jī)r(jià)模型的參數(shù)，從表3和表4中的第2列、第3列的模型參數(shù)估計(jì)值可知。

1)在波動(dòng)狀態(tài)方面與之前MRS-GARCH建模時(shí)對(duì)上證指數(shù)量?jī)r(jià)的分析結(jié)果相差不多，p11,p22的值都比較大，同時(shí)p11>p22，則可認(rèn)為股市處于低波動(dòng)狀態(tài)的持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)于處于高波動(dòng)狀態(tài)的持續(xù)時(shí)間。p12、p21的值較小，p21>p12，相對(duì)來說，中國股市很容易從高波動(dòng)狀態(tài)向低波動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)換。p1>p2表明了中國股市處于低波動(dòng)狀態(tài)的概率較大。而在房地產(chǎn)板塊指數(shù)的量?jī)r(jià)關(guān)系模型中，其波動(dòng)率的狀態(tài)無條件概率的數(shù)值大小恰恰與上證指數(shù)的相反——p1

2)就量?jī)r(jià)關(guān)系的相關(guān)結(jié)構(gòu)方面而言，無論股市處于低波動(dòng)或者高波動(dòng)時(shí)，上證指數(shù)和房地產(chǎn)板塊指數(shù)都體現(xiàn)出上尾高而下尾低的非對(duì)稱結(jié)構(gòu)關(guān)系，且房地產(chǎn)板塊指數(shù)的Gumbel函數(shù)與Clayton函數(shù)的參數(shù)值都大于上證指數(shù)。當(dāng)處于低波動(dòng)狀態(tài)時(shí)，上證指數(shù)Gumbel函數(shù)的權(quán)重系數(shù)大于Clayton函數(shù)的權(quán)重系數(shù)，房地產(chǎn)板塊指數(shù)Gumbel函數(shù)與Clayton函數(shù)的權(quán)重系數(shù)卻相差無幾。當(dāng)處于高波動(dòng)狀態(tài)時(shí)，2只股票的Gumbel函數(shù)的權(quán)重系數(shù)都相應(yīng)減小，而Clayton函數(shù)的權(quán)重系數(shù)隨之增加，表明收益率與成交量之間的下尾結(jié)構(gòu)顯著增強(qiáng)；與此同時(shí)，二者的Gumbel函數(shù)與Clayton函數(shù)的參數(shù)值也明顯的增大，意味著在股市劇烈波動(dòng)時(shí)，二者之間的上尾結(jié)構(gòu)與下尾結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)程度同時(shí)加強(qiáng)。一狀態(tài)各個(gè)密度函數(shù)圖如圖3—6所示。

圖3 一狀態(tài)SZ(R),SZ(V)混合Copula密度函數(shù)圖

圖4 一狀態(tài)DC(R),DC(V)混合Copula密度函數(shù)圖

圖5 一狀態(tài)SZ(R),DC(V)混合Copula密度函數(shù)圖

圖6 一狀態(tài)DC(R),SZ(V)混合Copula密度函數(shù)圖

然后再來分析上證指數(shù)與房地產(chǎn)板塊指數(shù)之間的收益率序列與成交量序列交叉的相關(guān)結(jié)構(gòu)關(guān)系，簡(jiǎn)而言之就是分析板塊對(duì)大盤的量?jī)r(jià)關(guān)系影響和大盤對(duì)板塊的量?jī)r(jià)關(guān)系影響。從表3和表4的第4列、第5列的參數(shù)估計(jì)值可以得出：整體來說，它們之間還是出現(xiàn)了上尾高的非對(duì)稱相關(guān)結(jié)構(gòu)關(guān)系，且Gumbel函數(shù)的參數(shù)值大于Clayton函數(shù)的參數(shù)值；在低波動(dòng)狀態(tài)時(shí)，二者模型中Gumbel函數(shù)的權(quán)重系數(shù)要大一些；當(dāng)股市從低波動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)入高波動(dòng)狀態(tài)時(shí)，它們Clayton函數(shù)的權(quán)重系數(shù)隨之增加，并且Cumbel函數(shù)、Clayton函數(shù)的參數(shù)值也一并變大，意味著在高波動(dòng)狀態(tài)時(shí)，雖然它們之間的上尾結(jié)構(gòu)與下尾結(jié)構(gòu)的相關(guān)程度明顯加強(qiáng)，但是主體上體現(xiàn)出下尾的結(jié)構(gòu)更為顯著。與之不同的是，在大盤對(duì)板塊的量?jī)r(jià)關(guān)系影響中，大盤的成交量對(duì)板塊的波動(dòng)影響較大，并且其影響的持續(xù)性也較長(zhǎng)，其中P1=0.387 1，P2=0.612 9，P1的值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于P2，表明大盤的成交量的波動(dòng)會(huì)促使房地產(chǎn)板塊的波動(dòng)較為容易處于高波動(dòng)狀態(tài)，且高波動(dòng)狀態(tài)的持續(xù)時(shí)間也會(huì)長(zhǎng)于低波動(dòng)狀態(tài)的時(shí)間。而板塊的成交量對(duì)大盤價(jià)格的波動(dòng)相對(duì)來說就要偏小很多，各個(gè)參數(shù)值相比板塊指數(shù)自身的模型參數(shù)值都相差不大(參考表3、表4的第3列與第5列)。二狀態(tài)各個(gè)密度函數(shù)圖如圖7—10所示。

圖7 二狀態(tài)SZ(R),SZ(V)混合Copula密度函數(shù)圖

圖8 二狀態(tài)DC(R),DC(V)混合Copula密度函數(shù)圖

圖9 二狀態(tài)SZ(R),DC(V)混合Copula密度函數(shù)圖

圖10 二狀態(tài)DC(R),SZ(V)混合Copula密度函數(shù)圖

當(dāng)處于高波動(dòng)狀態(tài)時(shí)，熊市與牛市出現(xiàn)的頻率增加，而熊市時(shí)的相關(guān)性比牛市更強(qiáng)，因?yàn)閺男畔⒌慕嵌瓤紤]，所有的股票以及股票投資者對(duì)利空消息都要比利好消息的反應(yīng)更為強(qiáng)烈，這也是導(dǎo)致2者Clayton函數(shù)的權(quán)重系數(shù)隨之增加，并且Cumbel函數(shù)Clayton函數(shù)的參數(shù)值也一并變大的原因之一。

4 結(jié)論

在基于狀態(tài)轉(zhuǎn)移的混合Copula模型上，得到了上證指數(shù)和房地產(chǎn)板塊指數(shù)以及它們相互交叉的收益率序列與成交量序列的相關(guān)結(jié)構(gòu)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率值。研究發(fā)現(xiàn)：它們的收益率與成交量整體上都存在較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系，并且有著上尾高下尾低的非對(duì)稱相關(guān)結(jié)構(gòu)特征。這意味著當(dāng)一個(gè)市場(chǎng)的指數(shù)大幅度地震蕩時(shí)，另外一個(gè)市場(chǎng)也會(huì)出現(xiàn)相同的情況。在某種極端情況下，一般股市因?yàn)閮r(jià)格上漲而導(dǎo)致成交量的增大的概率要大于價(jià)格下跌而導(dǎo)致成交量減少的概率。作為股市中的參與者多空雙方，其雙方力量對(duì)比也是影響因素之一。當(dāng)多方力量大，致使價(jià)格上漲和成交量增加；反之，空方力量占主導(dǎo)地位時(shí)，會(huì)致使價(jià)格下跌而成交量也會(huì)增加。量?jī)r(jià)之間同時(shí)存在這樣的正相關(guān)和負(fù)相關(guān)的混合相關(guān)關(guān)系，是符合股票市場(chǎng)實(shí)際交易現(xiàn)象的。

在狀態(tài)轉(zhuǎn)移方面，上證指數(shù)多處于低波動(dòng)狀態(tài)，且易從高波動(dòng)狀態(tài)向低波動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移，而房地產(chǎn)板塊指數(shù)卻多處于高波動(dòng)狀態(tài)，同時(shí)經(jīng)常從低波動(dòng)狀態(tài)向高波動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移。上證指數(shù)代表著中國A股市場(chǎng)的大盤走勢(shì)，而地產(chǎn)指數(shù)代表著中國房地產(chǎn)行業(yè)板塊的發(fā)展趨勢(shì)。二者的統(tǒng)計(jì)分析結(jié)論出現(xiàn)了稍微的差異，表明了大盤雖然影響著行業(yè)板塊的發(fā)展走勢(shì)，但是股價(jià)還與政策等多方面因素有關(guān)。中國整個(gè)股市各項(xiàng)制度管理以及政策方面，較之房地產(chǎn)行業(yè)來說，發(fā)展較為完善，整個(gè)市場(chǎng)比較成熟，而在中國地產(chǎn)行業(yè)中，國家政策還不完善，還在摸索中前進(jìn)。中國是人口大國，雖然對(duì)于土地房產(chǎn)有很強(qiáng)的剛需，但是過度的開發(fā)擴(kuò)建，投資者們?cè)谕顿Y中過度投機(jī)，使地產(chǎn)這一板塊的股票價(jià)格還處于易高波動(dòng)狀態(tài)之中。

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(編校：葉超)

The Dependence Relationship Between the Returns and Volume of Stock Based on the State transfer - Mixed Copula Model

JIANG Song-ming, WANG Qin, LIU Yang

(1.CollegeofMathematics，SouthwestJiaoTongUniversity，Chengdu610031China;2.ChengduRealEstateAssociationLetterco.,LTD.,Chengdu610031China)

A State transfer - mixed Copula model is constructed. It has been using mixed copulas’ weight coefficient and the parameters of the transfer between different states to describe the dependent variables between the up-tail and down-tail of the asymmetric structure under transformation. In this paper, it was used in empirical research of Shanghai composite index and real estate sectors index. The research result shows that the overall trend is asymmetric. up-tail is high while down-trail is low. After the stock market runs from the low volatility states to high volatility states, it significantly has enhanced the tail structure related degree between volume and price, and the proportion of tail structure also increased.

state transfer; mixed Copula model; the maximum likelihood estimation; relationship between volume and price

2014-10-08

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目( 71271227)

江松明(1987—) ，男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)闀r(shí)間序列分析。

F224;F830

A

1673-159X(2015)05-0063-07

10.3969/j.issn.1673-159X.2015.05.012