王　穎

(安徽科技學院 數(shù)理與信息工程學院,安徽 滁州 233100)

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浙江科技學院學報,第27卷第1期,2015年2月

Journal of Zhejiang University of Science and Technology

Vol.27 No.1, Feb. 2015

關(guān)于Q值法的一種改進

王穎

(安徽科技學院 數(shù)理與信息工程學院,安徽 滁州 233100)

摘要:Q值法是處理席位公平分配問題的一種簡便實用的方法。通過分析Q值法和新Q值法的優(yōu)缺點,借鑒它們的思想,對相對不公平度的度量問題進行了探討;并在此基礎(chǔ)上給出了新的相對不公平度的定義及計算Q值的簡易算法,同時結(jié)合實例對3種方法進行了對比分析,進而揭示了三者之間的聯(lián)系與區(qū)別，認為新方法避免了已有Q值法的一些缺陷,相對更為合理。

關(guān)鍵詞:相對不公平度;Q值法;席位公平分配

席位公平分配研究的是一類資源分配問題,在管理和對策論等眾多領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用價值。在處理這個問題時，早期使用的是尾數(shù)最大法,后來又陸續(xù)采用了Q值法[1-3]、D’Hondt法、新Q值法[4]、最大熵法[5]、判別數(shù)法、最小極差法及最大概率法等。然而,由于席位分配問題的復(fù)雜性,很多情況下并不存在絕對公平的分配方法。筆者通過對Q值法和新Q值法的比較研究,參照它們對相對不公平度的定義,給出了相對不公平度的新定義,并在此基礎(chǔ)上提出了較簡單合理的Q值計算方法。

1經(jīng)典Q值法和新Q值法的評價

1.1　問題的一般表述

設(shè)m方共P人參與總席位數(shù)為N的分配,第i方的人數(shù)為pi(i=1,2,…,m),記第i方分配到的席位數(shù)為ni,試問ni是多少？

例如,設(shè)某學院有3個系共200名學生,其中甲系103名、乙系63名、丙系34名?，F(xiàn)召開學生代表會議,設(shè)21個席位,試確定公平合理的席位分配方案。

對于這種問題,通常的做法是按人數(shù)比例分配席位,當出現(xiàn)小數(shù)時采用尾數(shù)最大法。但是實踐表明,這種比例加慣例的分配方法在很多情況下并不一定公平合理,因而出現(xiàn)了很多其他方法,本研究僅就Q值法進行詳細討論。

1.2　經(jīng)典Q值法

設(shè)A、B兩方人數(shù)分別為p1和p2,占有的席位分別為n1和n2,當p1/n1>p2/n2時,經(jīng)典Q值法定義對A方的相對不公平度為

(1)

當總席位增加1席時,根據(jù)公平的席位分配方法應(yīng)該使得相對不公平度盡量小，定義Q值

(2)

并將增加的1席分給Q值較大的一方。式(2)可以推廣到有m方分配席位的情況,當總席位增加1席時,計算Q值為

(3)

并將增加的1個席位分配給Q值最大的一方,這就是席位分配問題的Q值法[3]。

利用Q值法對甲乙丙三系分配21個席位問題的分配結(jié)果是:甲系11席,乙系6席,丙系4席。

Q值法的優(yōu)點是:在pi/ni(i=1,2,…,m)不相等的情況下盡量將相對不公平度降到最低,并且保證了總席位增加時各方所占席位不會減少。然而其缺陷也比較明顯,只有當ni≥1時,Qi才有意義,因而Q值法要求各方至少已有一個席位,在總席位比較少或各方人數(shù)相差較大的時候可能會導(dǎo)致較大的不公平。

1.3　新Q值法

在新Q值法中,將

(4)

定義為第i方的相對不公平值,稱

(5)

為第i方的Q值,并在此基礎(chǔ)上提出了新Q值法:先給各方按人數(shù)比例取整分配,然后由式(5)計算各方的Q值,再將剩余席位逐一增加給那些Q值較大的各方。

2Q值法的改進探討

2.1　Q值計算的改進

尋求公平分配席位方法的關(guān)鍵,是建立衡量不公平程度的既合理又簡明的數(shù)量指標?，F(xiàn)借鑒Q值法和新Q值法的思想,從另一個角度對相對不公平度進行定義。

定義:設(shè)A、B兩方人數(shù)分別為p1和p2,所占席位分別為n1和n2,記P=p1+p2,N=n1+n2

當n1/p1

(6)

為對A方的相對不公平度。

當n1/p1>n2/p2時,稱

(7)

為對B方的相對不公平度。

以下利用新定義的相對不公平度討論當總席位增加1席時,應(yīng)該分配給A方還是B方。假設(shè)n1/p1

1)若(n1+1)/p1≤n2/p2,則顯然增加的1席應(yīng)分給A方;

2)若(n1+1)/p1>n2/p2,則說明當A方增加1席時將對B方不公平,此時

(8)

3)若n1/p1<(n2+1)/p2,則說明當B方增加1席時將對A方不公平,此時

(9)

因為公平分配的原則是使相對不公平度盡可能小,所以如

rA(n1,n2+1)>rB(n1+1,n2)

(10)

則這一席應(yīng)分給A方;反之則分給B方。根據(jù)式(7)~(9),可知式(10)等價于

(11)

該方法可以推廣到有m方分配席位的情況,當總席位增加1席時,計算Q值如下:

(12)

可將增加的1個席位分配給Q值最大的一方。為方便起見,不妨將式(12)定義的Q值稱為修正Q值。

現(xiàn)用修正Q值討論甲乙丙三系分配21個席位的問題。

對于前19個席位,采用修正Q值進行分配與采用按比例取整分配的結(jié)果是一致的,即甲系10席,乙系6席,丙系3席。

最終的分配結(jié)果是:甲系11席,乙系6席,丙系4席,總席位得到了相對公平的分配。這個結(jié)果與采用經(jīng)典Q值法的結(jié)果一致,而與新Q值法的結(jié)果存在差異。

2.2　經(jīng)典Q值、新Q值與修正Q值的比較

為便于比較分析,對3種Q值計算公式進行變形后分別為:

3結(jié)語

公平的席位分配是一個實用性很強且比較復(fù)雜的問題。本研究在Q值法和新Q值法的基礎(chǔ)上,對席位分配進行了探討,給出了相對不公平度的新定義,并在此基礎(chǔ)上提出了較為簡便的計算Q值的方法,最后對3種方法進行了比較分析?？傮w而言,修正Q值具有較為直觀的意義,且計算簡便,適用性強,在席位分配問題中具有一定的實用價值。

參考文獻:

[1]王若鵬.席位公平分配問題Q值法的改進[J].北京石油化工學院學報,2011,19(2):61-64.

[2]邵正隆,王愨,鄒向榮.基于Q值法的獎學金自動分配方案的設(shè)計與應(yīng)用[J].計算機應(yīng)用,2011,31(11):3132-3134.

[3]姜啟源,謝金星,葉俊.數(shù)學模型[M].3版.北京:高等教育出版社,2003.

[4]岳林.關(guān)于Q值法的一種新定義[J].系統(tǒng)工程,1995,13(4):70-72.

[5]高尚.席位分配的最大熵法[J].數(shù)學的實踐與認識,1996(2):73-75.

Improvement of Q-value method

WANG Ying

(College of Mathematics, Physics and Information Engineering, Anhui Science and Technology University,

Chuzhou 233100, China)

Abstract:Q-value method is a simple and practical method for processing the fair allocation of seats. After analyzing the advantages and disadvantages of Q-value method and new Q-value method, and refering their ideas to discuss just allocation of seats number, we put forward a new definition of relative unjustice value and a simple calculating method ofQvalue. We also compare and analyze the three methods, reveal the connection and distinction among them. The new method avoids some shortcomings of Q-value method now, which is more reasonable.

Key words:relative unjustice value; Q-value method; just allocation of seats number

中圖分類號:O221

文獻標志碼:A

文章編號:1671-8798(2015)01-0011-04

作者簡介:王穎(1975—),女,江蘇省徐州人,副教授,碩士,主要從事泛函微分方程及高等教育與教學的研究。

基金項目:安徽省重大教學改革研究項目(2014zdjy098);安徽科技學院自然科學研究項目(ZRC2014441)

收稿日期:2014-12-02

doi:10.3969/j.issn.1671-8798.2015.01.003