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      Stolz定理應(yīng)用探討及相關(guān)問題

      2015-02-22 09:15:34翟金成蔣妍
      關(guān)鍵詞:正數(shù)鄭州定理

      翟金成,蔣妍

      (1.鄭州幼兒師范高等??茖W(xué)校;2.鄭州旅游職業(yè)學(xué)院,河南鄭州450000)

      Stolz定理應(yīng)用探討及相關(guān)問題

      翟金成,蔣妍

      (1.鄭州幼兒師范高等專科學(xué)校;2.鄭州旅游職業(yè)學(xué)院,河南鄭州450000)

      本文首先給出了Stolz定理的推廣形勢及其證明,其次給出了它在證明L’Hospital法則及求待定型數(shù)列極限上的一些應(yīng)用,最后又利用它研究了具有非線性遞推關(guān)系數(shù)列的漸進性。

      Stolz定理;L’Hospital法則;待定型.

      引言

      Stolz定理是數(shù)學(xué)分析中處理待定型數(shù)列極限一個非常有效的工具。在本文中我們將會給出推廣的Stolz定理及其證明,最后還將給出它在證明L’Hospital法則等方面的應(yīng)用。

      一、推廣的Sto lz定理及其證明

      為了便于比較,我們首先不加證明的給出Stolz定理.

      Stolz定理2(?o型)..設(shè){an}是趨向于零的數(shù)列,{bn}是嚴格單調(diào)遞減趨于零的數(shù)列,如果

      推廣的Stolz定理1.

      設(shè)T為正常數(shù),若函數(shù)g(x),g(x),x∈[a,+∞)滿足:

      (2)Lim g(x)=+∞,f(x),g(x)在[a,+∞)的任意子區(qū)間上有界;

      證明:不妨設(shè)g(x)>0,x∈[a,+∞)。由(3)及極限定義容易推知,對任意給定的∈>0,必有正數(shù)A>a,使對一切x∈[A,A+T]及一切自然數(shù)P有

      上述各式相加有

      利用(4)的右邊不等式可得

      由于顯然f(x),g(x)在[A,A+T]中有界,當(dāng)P→+∞時g(x+PT)關(guān)于x∈[A,A+T]一致趨于+∞故存在正整數(shù)P。使

      于是對一切y≥A0=A+P0,恒有

      于是

      推廣的Stolz定理2(?o型).

      設(shè)T為正常數(shù),若函數(shù)g(x),f(x),x∈[a,+∞)滿足

      (1)0<g(x+T)<g(x),x∈[a,+∞)

      (2)lim g(x)=0,lim f(x)=0;

      證明:和上述定理中(4)式類推可得:對任意給定∈>0,必有正數(shù)A>a,使對一切x∈[A,A+T]自然數(shù)P都有

      (注意,這里與(4)式不同的是與以及與的位置調(diào)換了。)

      對任意固定的x>A,我們在(5)式中令P→+∞,由于

      lim g(x+PT)=lim f(x+PT)=0,故得

      對于l=+∞,-∞的情形結(jié)論仍真。

      利用推廣的Stolz定理證明L’Hospital法則

      設(shè)g'(x)≠0,x∈[a,+∞),lim g(x)=+∞,lim則

      證明:只須驗證?(x)及g(x)在[a,+∞]上滿足推廣的Stolz定理1的一切條件即可。這里T=1.

      首先,由于g'(x)≠0,x∈[a,+∞),由Darboux定理我們知g'(x)≠0,在[a,+∞)內(nèi)恒不改變符號,再因為條件給出lim g(x)=+∞,所以g'(x)>0,x∈[a,+∞),然后驗證條件:

      (1)利用Lagrange公式,對任意的x∈[a,+∞),有θx∈(0,1),使g'(x)≠0,x∈[a,+∞),

      (2)由于g'(x+θx)>0,故g(x+1)-g(x)>0,

      或即g(x+1)>g(x),x∈[a,+∞)。

      (3)由條件,?(x)在[a,+∞]上可導(dǎo),故?(x)在[a,+∞]的任意子區(qū)間上有界,lim g(x)=+∞已由條件給出。

      (4)由Cauchy公式,對任意的x∈[a,+∞),有θx∈(0,1),使

      b)(?o型)的L’Hospital法則.

      證明可仿照1的證明。

      三、Stolz定理在求待定型數(shù)列極限上的應(yīng)用

      例設(shè)級數(shù)∑an收斂,又{Pn}為單調(diào)增加的正數(shù)列,且Pn→+∞(n→+∞)證明

      四、Stolz定理在研究數(shù)列漸進性方面的應(yīng)用

      結(jié)論:設(shè)a>0,p>1,取x。為正數(shù)使得0<ax0p-1<1令 xn+1=xn-axpn,那么有換個寫法就是

      證明:首先,易知limn∞→xn=0再有Stolz公式和L`Hospital法則,我們有

      [1]裴禮文.數(shù)學(xué)分析問題中的典型例題和方法[M].高等教育出版社,2001.

      [2]舒陽春.高等數(shù)學(xué)中的若干問題解析[M].科學(xué)出版社,2005.

      O171

      A

      1674-6198(2015)03-0078-02

      2015-03-12

      翟金成(1981-),男,河南工業(yè)大學(xué)講師,碩士研究生,主要研究方向:數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用;蔣妍(1978-),女,鄭州旅游職業(yè)學(xué)院講師,碩士,主要從事數(shù)值優(yōu)化、圖像處理方面研究。

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