牟 俊，夏 伯 男，郭 文 強(qiáng)，李 婷，王 賀

（大連工業(yè)大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 大連 116034）

0 引 言

根據(jù)變量組合的完備性原理，蔡少棠教授于1971年從理論上預(yù)測(cè)了描述電荷和磁通關(guān)系的元件——憶阻器的存在［1］，并于1976年具體闡述了憶阻器的元件特性、合成原理和應(yīng)用［2］。2008年，惠普實(shí)驗(yàn)室首次報(bào)道了憶阻器的實(shí)現(xiàn)，掀起了對(duì)憶阻器的研究熱潮［3－4］。

近年來(lái)，對(duì)于憶阻器的等效電路的模擬仿真日益興起，通過(guò)等效電路來(lái)實(shí)現(xiàn)憶阻器，雖然不能真正意義上代替憶阻器，但是為憶阻器的研究提供了可靠的憶阻器替代品。在憶阻器的應(yīng)用研究方面，憶阻器在混沌電路中的應(yīng)用始終是一個(gè)熱點(diǎn)，這是由于憶阻器具有典型的非線(xiàn)性特征，能夠比較容易地產(chǎn)生憶阻混沌振蕩信號(hào)。Itoh等［5］采用了一個(gè)特性曲線(xiàn)為分段線(xiàn)性且單調(diào)上升的憶阻器來(lái)替換蔡氏振蕩器中的蔡氏二極管［6］，從而導(dǎo)出了兩類(lèi)基于憶阻元件的類(lèi)正弦振蕩或混沌振蕩電路。Muthuswamy 等［7］采用一個(gè)不連續(xù)分段線(xiàn)性憶導(dǎo)函數(shù)的含源憶阻電路替換蔡氏振蕩器或類(lèi)蔡氏混沌電路中的蔡氏二極管，導(dǎo)出了一些新的基于憶阻器的混沌電路。

作者用MATLAB 實(shí)現(xiàn)了三次磁控憶阻器，驗(yàn)證了其正確性，并應(yīng)用MULTISIM 提供的電路模擬仿真功能設(shè)計(jì)了一種有源憶阻器的等效電路，用憶阻器和電容器、電感器串聯(lián)，實(shí)現(xiàn)了一種最簡(jiǎn)憶阻混沌電路，并分析了其混沌特性。

1 有源磁控憶阻器的電路仿真實(shí)現(xiàn)

有源磁控憶阻器憶導(dǎo)的定義為

滿(mǎn)足其定義的通用電路圖如圖1所示。

圖1 有源磁控憶阻器原理電路圖Fig.1 The circuit diagram of active flu－controlled memristor

首先用運(yùn)算放大器U1構(gòu)成了一個(gè)電壓跟隨器，這是為了減少負(fù)載效應(yīng)的影響。運(yùn)算放大器U2和電阻R0與電容C0構(gòu)成積分器，實(shí)現(xiàn)如下關(guān)系式

式中：ξ＝1／R0C0。同時(shí)由圖1（a）可知，乘法器M1的輸出為

其中g(shù)1是乘法器M1的增益。圖1（a）中的U3構(gòu)成的是一個(gè)電流轉(zhuǎn)換器，當(dāng)電阻R0電阻值為R0時(shí)，得到關(guān)系表達(dá)式

圖1（b）所示絕對(duì)值函數(shù)電路關(guān)系式為

其中g(shù)2是乘法器M2的增益，Esat是運(yùn)放飽和輸出電壓。

將式（2）和式（5）帶入式（4），可得圖1中的等效電路的電導(dǎo)值為

將式（1）和式（6）比較，可以得到

在MULTISIM 中對(duì)該方案進(jìn)行仿真，選擇元件參數(shù)為C0＝68nF，R0＝4kΩ，R1＝1.5kΩ，R2＝R3＝2kΩ，R4＝6.05kΩ，Rsat＝13.5kΩ，g1＝0.1，g2＝1。此時(shí)可得a＝0.666 7 mS，b＝1.482 8S／Wb。當(dāng)在該有源憶阻器兩端施加一個(gè)正弦波信號(hào)時(shí)，在MULTISIM 中觀(guān)察到伏安特性曲線(xiàn)和時(shí)域信號(hào)波形如圖2所示。

圖2 MULTISIM 下的有源磁控憶阻器仿真波形Fig.2 The simulation waveform of active flu－controlled memristor by MULTISIM

從圖2（a）中可以清楚地觀(guān)察到“8”字緊磁滯回線(xiàn)波形，這是憶阻器的典型特征。而且可以清楚地看到其部分伏安特性曲線(xiàn)位于Ⅱ、Ⅳ象限，說(shuō)明了該方案下憶阻器的有源特性。

2 基于憶阻器的最簡(jiǎn)混沌電路

基于由一個(gè)有源憶阻器M、一個(gè)電容C和一個(gè)電感L構(gòu)成。憶阻器的最簡(jiǎn)混沌電路模型如圖3所示。在圖3中，為了分析需要，選用憶阻器的端電壓和內(nèi)部狀態(tài)滿(mǎn)足

根據(jù)元件特性和基爾霍夫定律，可以得到

設(shè)VC＝x，iL＝y(tǒng)，x＝z，a＝1／C，b＝1／L，對(duì)式（8）進(jìn)行無(wú)量綱化處理，可得

選定參數(shù)a＝1，b＝1／3，α＝0.6，β＝1.5，初始狀態(tài)（0.1，0，0），系統(tǒng)產(chǎn)生的吸引子如圖4所示。

圖3 最簡(jiǎn)憶阻器電路Fig.3 A simplest chaotic circuit with only a memristor

圖4 最簡(jiǎn)憶阻混沌電路吸引子相圖Fig.4 Phase portrait of simplest chaotic circuit with a memristor

由圖4可見(jiàn)，該系統(tǒng)可以形成一個(gè)單渦卷混沌吸引子，通過(guò)Jacobi方法計(jì)算可得該系統(tǒng)的3個(gè)Lyapunov指數(shù)分別為0.045 2，0，－0.567 8。同時(shí)根據(jù)Kaplan－Yorke算法，得到系統(tǒng)維數(shù)為2.079。所以通過(guò)相圖、Lyapunov指數(shù)和系統(tǒng)分?jǐn)?shù)維可知該系統(tǒng)處于混沌態(tài)。

3 結(jié) 論

設(shè)計(jì)了一種有源磁控憶阻器的實(shí)現(xiàn)電路，通過(guò)現(xiàn)有的常用元件，包括運(yùn)算放大器，模擬乘法器和電阻電容等，實(shí)現(xiàn)了憶阻器的功能，為進(jìn)一步進(jìn)行憶阻器的應(yīng)用研究打下了一定的基礎(chǔ)。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)利用一個(gè)有源憶阻器，一個(gè)無(wú)源電感和一個(gè)無(wú)源電容，構(gòu)建了一個(gè)最簡(jiǎn)憶阻混沌電路，通過(guò)相圖分析，Lyapunov指數(shù)分析和分?jǐn)?shù)維數(shù)計(jì)算，證明了該系統(tǒng)的混沌特性。

［1］CHUA L O.Memrister－the missing circuit element［J］.IEEE Transactions Circuit Theory，1971，18（5）：507－519.

［2］CHUA L O，KANG S M.Memristive devices and systems［J］.Proceeding of the IEEE，1976，64（2）：209－223.

［3］TOUR J M，HE T.The fourth element［J］.Nature，2008，453：42－43.

［4］STRUKOV D B，SNIDER G S，STEWARD D R，et al.The missing memristor found［J］.Nature，2008，453：80－83.

［5］ITOH M，CHUA L O.Memristor oscillators［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，2008，18（11）：3183－3206.

［6］DHAMALA M，LAI Y C，KOST ELICH E J.Analyses of transient chaotic time series［J］.Physics Review Letter E，2001，64（5）：056207.

［7］MUTHUSWAMY B，KOKATE P P.Memristor based chaotic circuits［J］.IETE Technical Review Letter，2009，26（6）：415－426.