李偉，韓振南

(太原理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山西太原 030024)

0 前言

滾動(dòng)軸承故障診斷的實(shí)質(zhì)是狀態(tài)的識(shí)別過程，包括信號(hào)的采集、特征的選擇和提取、狀態(tài)的模式識(shí)別。

通常，采集的滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)中夾雜著大量的隨機(jī)噪聲。故障特征往往受到這些噪聲的影響而不宜識(shí)別，甚至淹沒在強(qiáng)大的背景噪聲中。所以在信號(hào)分析過程中，首先應(yīng)進(jìn)行信號(hào)的去噪處理。

在眾多的去噪方法中，小波閾值去噪法因計(jì)算速度快，可以較好地抑制噪聲，且能很好地保留原始信號(hào)的特征尖峰點(diǎn)而得到廣泛地應(yīng)用。由D L DONOHO和 I M JOHNSTONE［1－2］提出的硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)雖然在信號(hào)降噪中有較好的效果。但這兩種傳統(tǒng)閾值函數(shù)自身存在的不足會(huì)對重構(gòu)信號(hào)的平滑性和精確性產(chǎn)生不良影響。文中提出的改進(jìn)閾值函數(shù)，能克服傳統(tǒng)閾值函數(shù)的不足。并且函數(shù)中參數(shù)的可調(diào)性和對各尺度下小波系數(shù)的多分段處理，為去噪的優(yōu)化提供了一種新的途徑。

支持向量機(jī) (Support Vector Machines，SVM)是以統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論中的VC維理論和結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原理為基礎(chǔ)的新型機(jī)器學(xué)習(xí)方法。它與以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為代表的傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)方法相比，SVM解決了小樣本學(xué)習(xí)問題、高維問題、結(jié)構(gòu)選擇問題、局部極值問題［3］。這些優(yōu)點(diǎn)使支持向量機(jī)特別適用于小樣本實(shí)際問題的解決。目前，國內(nèi)外學(xué)者在將SVM應(yīng)用于軸承故障診斷方面進(jìn)行了大量的嘗試。DIEGO等［4］僅采用正常軸承振動(dòng)信號(hào)功率譜的子帶能量作為特征向量建立單類v-SVM模型，并取得了較好的診斷效果;董紹江等［5］提出了沿尺度分布的非廣延小波尺度熵和流形學(xué)算法相結(jié)合的特征提取方法，并選用Morlet小波核函數(shù)構(gòu)造軸承故障診斷的SVM模型，該方法能有效地提高故障的識(shí)別精度和效率;蔣永華等［6］將小生境遺傳算法用于軸承故障診斷SVM模型的優(yōu)化，通過控制懲罰因子和核函數(shù)中的參數(shù)，在一定程度上增強(qiáng)了SVM的抗噪能力。但單純地通過特征提取方法的改進(jìn)和SVM參數(shù)的優(yōu)化并不能最有效地降低噪聲對分類能力、運(yùn)行速度以及故障樣本利用率的不良影響。因此，文中提出了一種基于改進(jìn)閾值函數(shù)及SVM的滾動(dòng)軸承故障診斷方法。該方法能有效地降低噪聲的影響，提高故障診斷的效率和可靠性，并更大程度上節(jié)約了寶貴的樣本資源。

1 閾值函數(shù)的分析

1.1 小波閾值去噪理論

(1)小波閾值去噪法是利用有用信號(hào)和噪聲在小波變換尺度空間表現(xiàn)出的不同特性［7］而設(shè)定一個(gè)閾值，當(dāng)小波分解系數(shù)小于該閾值時(shí)，認(rèn)為此時(shí)的小波系數(shù)主要是由噪聲引起，做置零處理;當(dāng)小波系數(shù)大于該閾值時(shí)，認(rèn)為此時(shí)的小波系數(shù)主要由有用信號(hào)產(chǎn)生，予以保留或作適當(dāng)收縮。這樣就實(shí)現(xiàn)了有用信號(hào)和噪聲在小波域的分離。最后通過小波逆變換對處理后的小波系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，完成信號(hào)的去噪。

(2)小波閾值去噪法的關(guān)鍵是閾值和閾值函數(shù)的選取［8］。閾值過小，不能有效的剔除噪聲。過大則可能將部分有用信號(hào)當(dāng)作噪聲一并濾去，從而導(dǎo)致信號(hào)的失真。閾值函數(shù)作為處理小波系數(shù)的法則，其連續(xù)性等性質(zhì)會(huì)直接影響處理后的小波系數(shù)大小，最終影響去噪的效果和質(zhì)量。

1.2 硬軟閾值函數(shù)的缺點(diǎn)分析

設(shè)ω是原始小波系數(shù)，T是閾值，η(ω)是閾值處理后的小波系數(shù)。

1.2.1 硬閾值函數(shù)

硬閾值方法是將原始小波系數(shù)絕對值中低于閾值的部分全部置零，高于閾值的部分保持不變。但硬閾值函數(shù)在|ω|=T處不連續(xù)，如圖1所示。這種小波系數(shù)序列的劇烈變化，使重構(gòu)序列的光滑性變差，重構(gòu)后的信號(hào)產(chǎn)生震蕩，并可能發(fā)生信號(hào)的失真。

圖1 硬閾值函數(shù)示意圖

1.2.2 軟閾值函數(shù)

軟閾值方法是將原始小波系數(shù)絕對值中低于閾值的部分置零，而高于閾值的部分統(tǒng)一地按固定的值向零收縮。較硬閾值函數(shù)，軟閾值函數(shù)解決了連續(xù)性問題。但當(dāng)|ω|≥T時(shí)，處理后的小波系數(shù)與原始小波系數(shù)總存在一個(gè)恒定的偏差，如圖2所示。這種無差別的處理方式，會(huì)使重構(gòu)后的去噪信號(hào)不能最好地逼近有用信號(hào)，影響重構(gòu)的精確性。甚至?xí)G失一些有用的高頻信息。

圖2 軟閾值函數(shù)示意圖

1.3 改進(jìn)的閾值函數(shù)

1.3.1 改進(jìn)閾值函數(shù)的表達(dá)式

其中:

α＞1，β＞1為閾值函數(shù)的調(diào)節(jié)因子。作用是增強(qiáng)改進(jìn)的閾值函數(shù)在去噪過程中的靈活性和實(shí)現(xiàn)去噪效果的優(yōu)化。

1.3.2 改進(jìn)閾值函數(shù)的分析

(1)從表達(dá)式可知，改進(jìn)的閾值函數(shù)在分界點(diǎn)|ω|=T和|ω|=αT處均連續(xù)，克服了硬閾值函數(shù)的缺點(diǎn)。并且如公式 (6)— (8)所示，當(dāng)|ω|≥αT時(shí)，經(jīng)新閾值函數(shù)處理前后的小波系數(shù)之差的絕對值n(ω)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間 ［αT，+∞］內(nèi)小于零，在區(qū)間 ［－∞，－αT］內(nèi)大于零。且當(dāng)ω趨于無窮大時(shí)，n(ω)的極限為零。這說明小波系數(shù)的收縮程度會(huì)隨著小波系數(shù)絕對值的增大而減小，從而解決了軟閾值函數(shù)產(chǎn)生恒定偏差的不良現(xiàn)象。

通過圖3中的對比得出:改進(jìn)的閾值函數(shù)介于軟硬閾值函數(shù)之間，連續(xù)性好、小波系數(shù)收縮程度隨著系數(shù)大小的改變而改變、并以硬閾值函數(shù)曲線為漸近線。既綜合了軟硬閾值函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，又克服了它們的不足。

圖3 新舊閾值函數(shù)對比圖

(2)對大于閾值的原始小波系數(shù)進(jìn)行閾值化處理時(shí)，在不同區(qū)間段的系數(shù)對向零收縮的快慢程度有不同的要求。但要尋找一個(gè)初等函數(shù)來實(shí)現(xiàn)此過程會(huì)有一定的困難。因此，通過參數(shù)α來完成對|ω|≥T區(qū)間的分段。并在不同的區(qū)間段采用陡峭程度不同的對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)。根據(jù)實(shí)際情況，適當(dāng)?shù)馗淖儲(chǔ)寥≈?，可以調(diào)節(jié)分段區(qū)間的相對長度，從而能更合理地對小波系數(shù)進(jìn)行閾值化處理，提高重構(gòu)后的精度。

(3)調(diào)節(jié)參數(shù)β，能進(jìn)一步更精細(xì)地改變T≤|ω|＜αT和|ω|≥αT區(qū)間段閾值函數(shù)的陡峭程度。當(dāng)α=2，β分別取1.1和1.8時(shí)，閾值函數(shù)的對比情況如圖4所示。

圖4 參數(shù)β對閾值函數(shù)的影響

通過以上理論分析可知:改進(jìn)的閾值函數(shù)彌補(bǔ)了傳統(tǒng)軟硬閾值函數(shù)的不足，并由于參數(shù)α和β的引入，在應(yīng)用上會(huì)更具靈活性。

1.4 MATLAB仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證改進(jìn)閾值函數(shù)的有效性和優(yōu)越性，利用MATLAB中的wnoise函數(shù)對bumps信號(hào)加入白噪聲。再分別用硬閾值、軟閾值函數(shù)和改進(jìn)的閾值函數(shù)對含噪信號(hào)進(jìn)行去噪處理。這里統(tǒng)一選用sym8小波進(jìn)行5層分解。其中對于新閾值函數(shù)，選不同的α和β進(jìn)行兩組去噪仿真實(shí)驗(yàn)。在第一組仿真中，α取2，β取1.5;在第二組仿真中，α和β均以1.1為初始值，以0.1為步進(jìn)長度進(jìn)行50×50次循環(huán)，并將去噪后信號(hào)和原始信號(hào)的互相關(guān)系數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)，取能使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值0.995 3時(shí)的α和β。最后的仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 新舊閾值函數(shù)去噪效果對比

信號(hào)去噪處理中，反映信號(hào)去噪質(zhì)量常用的評價(jià)指標(biāo)有信噪比 (Signal-Noise Ratio，SNR)、均方根誤差 (Root-Mean-Square Error，RMSE)。SNR 越 大，RMSE越小，表明信號(hào)去噪的效果越好。

經(jīng)3種閾值函數(shù)去噪后的均方根誤差，信噪比如表1所示。

表1 去噪效果的評價(jià)指標(biāo)

從圖5，表1可看出:經(jīng)改進(jìn)閾值函數(shù)去噪后的信號(hào)，有更高的信噪比和較低的均方根誤差。并且調(diào)節(jié)參數(shù)α和β，能得到不同的去噪結(jié)果。這為實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化去噪提供了可能。以上兩方面說明:改進(jìn)的閾值函數(shù)不論在去噪效果還是靈活性方面都更具有優(yōu)越性。

2 支持向量機(jī)原理

支持向量機(jī)方法是從解決線性可分問題的最優(yōu)分類超平面提出的。

對于含有n個(gè)樣本的訓(xùn)練集D={(xi，yi)i=1，2，…，n}，xi∈Rn，yi∈ {+1，－1}的二分類問題。如果存在一個(gè)超平面H:(w·x)+b=0，能將訓(xùn)練集中的n個(gè)樣本完全正確地分為兩類，則稱該平面為分類超平面。通過各類中距離分類超平面H最近的樣本點(diǎn)且平行于分類超平面的兩個(gè)平面H1:(w·x)+b=+1和H2:(w·x)+b=－1稱為標(biāo)準(zhǔn)超平面。它們之間的距離2/‖w‖，就是分類間隔。支持向量機(jī)的目的就是尋找能使分類間隔最大化的最優(yōu)分類超平面。其結(jié)構(gòu)示意圖如圖6。

圖6 最優(yōu)超平面示意圖

求解最大化分類間隔的過程就是求二范數(shù)‖w‖2在約束條件yi［(w·xi)+b］－1≥0，i=1，2，…，n下的最小值。這是一個(gè)凸二次規(guī)劃優(yōu)化問題，其解可通過拉格朗日乘子法獲得。最后根據(jù)Karush-Kuhn-Tucker(KKT)條件，得到最優(yōu)分類函數(shù)的表達(dá)式為［9］:

式中:sgn為符號(hào)函數(shù)。

對于線性不可分問題，支持向量機(jī)的處理方法是通過非線性映射Φ，將樣本點(diǎn)從低維數(shù)線性不可分空間轉(zhuǎn)化到高維線性可分空間。這樣就將線性不可分問題轉(zhuǎn)換為前面所介紹的線性可分問題。并且這種轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵，并不是求解出這種非線性映射Φ的具體表達(dá)式，而只需通過滿足Mercer定理的核函數(shù)K來求出高維特征空間中的內(nèi)積Φ(xi)·Φ(x)，即Φ(xi)·Φ(x)=K(xi，x)。最后得出最優(yōu)分類函數(shù)為:

在上述的討論中，都嚴(yán)格要求樣本點(diǎn)能被完全正確地分類。但在實(shí)際應(yīng)用中，往往存在少量主要由噪聲產(chǎn)生的樣本點(diǎn)，使得完全無誤地分類變得困難。因此引入松弛變量ξ和懲罰因子c來增加支持向量機(jī)對噪聲數(shù)據(jù)的容錯(cuò)性。松弛變量ξ的值代表離群程度:值越大，表示未被正確分類的樣本點(diǎn)離群越遠(yuǎn)。懲罰因子c的值代表對離群點(diǎn)的重視程度:值越大，表示越希望離群點(diǎn)能被正確分類［10］。

3 基于改進(jìn)閾值函數(shù)去噪和支持向量機(jī)的滾動(dòng)軸承故障診斷

文中采用的滾動(dòng)軸承故障診斷方法實(shí)質(zhì)上是對振動(dòng)信號(hào)的處理、分析和分類。主要分為5個(gè)步驟:

(1)信號(hào)預(yù)處理:通常在采集到的振動(dòng)信號(hào)中，與軸承狀態(tài)無關(guān)的振動(dòng)噪聲會(huì)增大支持向量機(jī)分類的經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)，從而降低擬合和泛化性能［11］。因此，先初始化改進(jìn)閾值函數(shù)中的參數(shù)α和β，并利用該閾值函數(shù)對原始振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行小波閾值去噪。

(2)特征提取:將小波分解后經(jīng)閾值處理過的各頻率段的信號(hào)能量作為主要特征參量。并采用去噪后信號(hào)的均方根誤差、波形指標(biāo)、峰值指標(biāo)、脈沖指標(biāo)、裕度指標(biāo)、峭度指標(biāo)作為輔助特征參量。它們共同構(gòu)成支持向量機(jī)用于分類所需的特征矩陣。

(3)SVM參數(shù)的尋優(yōu):因?yàn)楹撕瘮?shù)類型對支持向量機(jī)性能的影響并不明顯［12－13］，所以文中統(tǒng)一只采用徑向基核函數(shù)。而尋優(yōu)過程主要是針對懲罰因子c和徑向基核函數(shù)中的參數(shù)g。方法采用基于交叉驗(yàn)證的網(wǎng)格搜索法［14］。

(4)反饋調(diào)節(jié):將SVM參數(shù)尋優(yōu)結(jié)果中的懲罰因子c和交叉驗(yàn)證的平均分類準(zhǔn)確率accuracy作為被控變量。當(dāng)c和accuracy不滿足預(yù)定的要求時(shí)，提取出SVM參數(shù)尋優(yōu)過程中的錯(cuò)分樣本，并調(diào)整參數(shù)α和β對錯(cuò)分樣本所對應(yīng)的原始振動(dòng)信號(hào)重新進(jìn)行去噪處理和特征提取。再用得到的新數(shù)據(jù)替換原測試集中對應(yīng)的數(shù)據(jù)，并重新進(jìn)行SVM參數(shù)的尋優(yōu)。重復(fù)反饋調(diào)節(jié)，直到被控變量c和accuracy滿足系統(tǒng)預(yù)定的要求。

(5)SVM模型的訓(xùn)練與測試:采用建立在最優(yōu)參數(shù)基礎(chǔ)上的一對一算法對訓(xùn)練集進(jìn)行訓(xùn)練，得到故障診斷的分類模型。并通過測試集來檢驗(yàn)該模型的分類精確度和泛化能力。

上述滾動(dòng)軸承故障診斷方法的具體流程如圖7所示。

圖7 基于改進(jìn)閾值函數(shù)和SVM滾動(dòng)軸承故障診斷流程圖

4 實(shí)例分析

本節(jié)所分析的軸承振動(dòng)加速度信號(hào)來源于凱斯西儲(chǔ)大學(xué)的軸承數(shù)據(jù)中心。4組試驗(yàn)軸承均為6205-2RS深溝球軸承。其中單點(diǎn)內(nèi)圈、滾動(dòng)體、外圈故障軸承均通過電火花機(jī)在軸承相應(yīng)位置加工出微小凹痕來模擬。在振動(dòng)試驗(yàn)中，4種狀態(tài)的軸承均采用外圈固定的安裝方式。并都在發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為1 750 r/min，負(fù)載為1.47 kW的工況下以12 kHz的采樣頻率采集振動(dòng)信號(hào)。

現(xiàn)將每種狀態(tài)下的信號(hào)分為50組，每組的數(shù)據(jù)長度為2 400點(diǎn)。對得到的200組信號(hào)進(jìn)行編號(hào)，用db1小波對其分別進(jìn)行8層小波分解，并采用無偏風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)閾值 (rigrsure)進(jìn)行基于改進(jìn)閾值函數(shù)的信號(hào)去噪。改進(jìn)閾值函數(shù)中的參數(shù)α，β初始值為1.1。

提取去噪后信號(hào)的均方根誤差、波形指標(biāo)、峰值指標(biāo)、脈沖指標(biāo)、裕度指標(biāo)、峭度指標(biāo)以及各頻率段的能量構(gòu)成200×15的特征參數(shù)矩陣。并將這200組數(shù)據(jù)中的60%作為首次SVM參數(shù)尋優(yōu)的訓(xùn)練樣本，其余的40%樣本用于最終的模型測試。

采用一對一算法和徑向基核函數(shù)，在LIBSVM平臺(tái)上均以0.5為步長，對120組訓(xùn)練樣本進(jìn)行懲罰系數(shù)c和徑向基核函數(shù)參數(shù)g在 ［2－10，210］范圍內(nèi)的5折交叉驗(yàn)證。并設(shè)定SVM參數(shù)尋優(yōu)的終止條件為CVAccuracy＞95且c＜200。反饋環(huán)節(jié)中，α和β以步進(jìn)的方式進(jìn)行調(diào)節(jié)，即每反饋一次β值增加0.1，當(dāng)β＞5時(shí)，β還原為初始值，α增加0.1，并在此基礎(chǔ)上重新開始β值的步進(jìn)。

按圖7所示的流程圖，得到SVM首次和最終的尋優(yōu)結(jié)果如圖8所示，其中最優(yōu)參數(shù)點(diǎn)對應(yīng)于曲面的峰點(diǎn)。SVM建模過程各階段中被錯(cuò)誤分類的樣本編號(hào)如表2所示。

圖8 反饋前后SVM參數(shù)尋優(yōu)結(jié)果3D視圖

表2 SVM建模過程中各階段的錯(cuò)分樣本

采用最優(yōu)參數(shù)建立滾動(dòng)軸承狀態(tài)識(shí)別的SVM模型。并利用該模型對80組測試樣本進(jìn)行狀態(tài)識(shí)別。最后的分類正確率為98.75%。其中只有一個(gè)正常軸承被錯(cuò)誤的識(shí)別為內(nèi)圈故障軸承。

由圖8和表2可知:將改進(jìn)閾值函數(shù)去噪法引入滾動(dòng)軸承故障診斷的SVM建模中，錯(cuò)分樣本的數(shù)量由最初的12降為2，提高了模型建立所用樣本的利用價(jià)值，從而從去除因噪聲產(chǎn)生奇異樣本的角度來降低懲罰因子，并增強(qiáng)SVM模型的分類和泛化能力。

為了驗(yàn)證改進(jìn)閾值函數(shù)去噪對于狀態(tài)識(shí)別準(zhǔn)確率的影響，還分別以無預(yù)處理的原始含噪信號(hào)、經(jīng)傳統(tǒng)閾值函數(shù)去噪后的信號(hào)為樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行了SVM模型的訓(xùn)練和測試。其中傳統(tǒng)閾值函數(shù)法去噪均采用db1小波8層分解來獲取小波系數(shù)。同狀態(tài)，不同方法下所得數(shù)據(jù)的診斷結(jié)果如表3所示。

表3 不同預(yù)處理下的軸承分類結(jié)果 %

由表3可以得出:未進(jìn)行去噪處理的智能診斷正確率很低，利用改進(jìn)閾值函數(shù)去噪后的診斷正確率最高。而傳統(tǒng)閾值函數(shù)去噪對準(zhǔn)確率的提高并不理想?？梢?滾動(dòng)軸承振動(dòng)加速度信號(hào)中夾雜的噪聲會(huì)降低基于支持向量機(jī)模式識(shí)別的準(zhǔn)確率，并且較傳統(tǒng)閾值函數(shù)，文中提出的改進(jìn)閾值函數(shù)能更大限度的提高模式識(shí)別的置信水平。

5 結(jié)論

(1)在傳統(tǒng)軟硬閾值函數(shù)的理論基礎(chǔ)上，提出了一種改進(jìn)的閾值函數(shù)。它是對軟硬閾值函數(shù)的折中和優(yōu)化。其良好的連續(xù)性，靈活的多分段處理和系數(shù)向零收縮快慢的可調(diào)性，使小波閾值法去噪的效果更優(yōu)良，并能更大程度地保留信號(hào)中的有用信息。實(shí)驗(yàn)分析表明，將這種改進(jìn)的閾值函數(shù)去噪法與支持向量機(jī)相結(jié)合，應(yīng)用于滾動(dòng)軸承的模式識(shí)別，能有效提高稀缺樣本的利用率并增強(qiáng)所建SVM模型的泛化能力和分類準(zhǔn)確率。

(2)目前公認(rèn)的信號(hào)去噪評價(jià)指標(biāo)均是針對噪聲強(qiáng)度已知的情況。但在實(shí)際的工程應(yīng)用中，含噪信號(hào)的噪聲強(qiáng)度一般未知，而尚未有一種指標(biāo)能在該情況下對信號(hào)去噪的質(zhì)量做出準(zhǔn)確的評價(jià)。因此，文中提出的通過改進(jìn)閾值函數(shù)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化去噪的方法面臨著何為最優(yōu)的問題，但這正是作者將進(jìn)一步深入研究的內(nèi)容。

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