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探索性因子分析中主軸法下的平行分析

高石1，楊莉萍1*，白福寶2

(1.南京師范大學(xué)心理學(xué)院，南京 210097；2.安徽農(nóng)業(yè)大學(xué)人文社會科學(xué)學(xué)院，合肥 230036)

摘要：在探索性因子分析中，決定因子的提取數(shù)至關(guān)重要。平行分析是確定因子提取數(shù)較為常用的方法。目前國內(nèi)的心理學(xué)研究較多使用主成分方法下的平行分析，對主軸方法下的平行分析則鮮有論及。本研究介紹了主軸方法下平行分析的原理，并以具體實例說明了該方法在心理統(tǒng)計中的具體運用，希望藉此解決以傳統(tǒng)方法確定因子提取數(shù)所存在的問題。

關(guān)鍵詞：探索性因子分析；主軸法；平行分析

1以傳統(tǒng)方法確定因子提取數(shù)存在的問題

因子分析是目前使用最為廣泛的多元統(tǒng)計分析方法。它是用少數(shù)幾個因子來描述許多指標(biāo)或變量間的聯(lián)系，在某一事物所蘊含的眾多變量中尋找能夠描述該事物的幾個潛變量(或因子)的統(tǒng)計方法。該方法最早于1904由英國心理學(xué)家斯皮爾曼在研究智力結(jié)構(gòu)時提出。其發(fā)表的論文《客觀決定和測量一般智力》(General Intelligence，Objectively Determined and Measured)被視為因子分析方法誕生的標(biāo)志。然而，在使用因子分析方法的過程中，確定因子提取的個數(shù)一直是個比較棘手但又至關(guān)重要的問題。有研究者認(rèn)為，它可能比因子提取和因子旋轉(zhuǎn)方式的選擇更為重要。

目前確定因子提取個數(shù)最為常用的方法是特征值大于1準(zhǔn)則和Cattell陡階檢驗(又稱碎石圖檢驗)。這兩種方法之所以常用，可能在于它們是SPSS的默認(rèn)選項。然而這些方法自身存在一定的局限性。對于特征值大于1準(zhǔn)則而言，Hayton(2004)提出存在三種批評：首先，運用特征值大于1準(zhǔn)則將得到總體相關(guān)矩陣的秩(the rank of population correlation matrix)的下限(Guttman，1954)。相關(guān)矩陣的秩等同于最小抽取的因子個數(shù)。因此，在實際操作中，我們將其視為抽取因子數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)并不合理。其次，這一準(zhǔn)則適用于總體相關(guān)矩陣，而在實際操作中，由于抽取的是樣本，抽樣誤差往往會增加矩陣的秩，導(dǎo)致所抽取的因子數(shù)過多(Horn，1965)。第三，研究者有時會面臨特征值略高或略低于1的情況。在使用這一規(guī)則時，常常表現(xiàn)得武斷(Fabrigar et al.，1999)。當(dāng)前在SPSS中，無論使用哪一種因子提取方法，都使用特征值大于1的準(zhǔn)則。而有研究者指出，這一準(zhǔn)則只適用于主成分分析，在主軸法中是不適用的(Russell，2002)。對于Cattell陡階檢驗，因其主觀性和武斷性，所遭受的批評更多。例如，在特征值之間不存在明顯突變(break)時，很難確定適當(dāng)?shù)囊蜃犹崛?shù)。

2基于主軸因子法的平行分析原理

在眾多確定因子提取數(shù)的方法之中，平行分析(Parallel Analysis)是較為理想的方法之一。該方法是由Horn(1965)提出的平行檢驗方法發(fā)展而來。平行分析基于對矩陣特征值的計算與比較，通過比較真實數(shù)據(jù)矩陣與隨機數(shù)據(jù)矩陣特征值的平均值或第95百分位數(shù)來決定因子的取舍(Russell，2002)。比較均值或是第95百分位數(shù)的結(jié)果通常具有一致性。假如出現(xiàn)不一致，則比較第95百分位數(shù)可以避免選取因子數(shù)過多(Hayton，2004)。因此，平行分析的關(guān)鍵在于矩陣特征值的計算。

目前探索性因子分析主要采用兩種方法：主成分分析法和主軸因子法。在使用這兩種方法時，特征值計算所依據(jù)的矩陣有所不同，分別為相關(guān)矩陣和約相關(guān)矩陣。相關(guān)矩陣通常表示為R，約相關(guān)矩陣通常表示為R*(方便起見，以下直接使用R和R*表示)，由此產(chǎn)生相對應(yīng)的兩組特征值，即R的特征值和R*的特征值(顏鐵成，2007)。這里R與R*的區(qū)別在于矩陣對角線元素。前者對角線元素均為1，后者的對角線元素則可采用多種方法進(jìn)行估計，例如最大相關(guān)法(max|r|)，參照析因迭代法(iteration by refactoring)，復(fù)相關(guān)系數(shù)的平方(squared multiple correlation，簡稱SMC)等(王權(quán)，1993)。此外，Widaman(1985)提出，可用復(fù)相關(guān)系數(shù)的平方作為初始估計，通過不斷迭代，使用最小二乘法來估計矩陣的對角線元素。

主成分分析是依據(jù)R的特征值進(jìn)行，其假定所有觀測變量的方差都能為公因子所解釋，即公因子方差為1。而主軸因子法則是基于R*的特征值進(jìn)行的，其假定所有觀測變量的方差不一定完全被公因子所解釋，公因子方差不一定是1?；绢A(yù)設(shè)不同原本是主成分分析與主軸因子法之間的一個重要區(qū)別(孫曉軍，周宗奎，2009)。但在實際運用中，無論是采用主成分分析還是主軸因子法，SPSS所給出的特征值都是基于主成分分析法所得到的特征值(顏鐵成，2007)。有研究者比較這兩組特征值的大小，發(fā)現(xiàn)R矩陣的特征值通常要比R*的特征值要大(顏鐵成，2007)。因此，在采用主軸因子方法的前提下，根據(jù)SPSS所輸出的特征值來進(jìn)行平行分析是不合理的。

主軸法下平行分析的做法應(yīng)該是：首先對約相關(guān)矩陣R*的主對角線元素進(jìn)行估計，產(chǎn)生真實數(shù)據(jù)的約相關(guān)矩陣R*的估計矩陣，以此計算出對應(yīng)的特征值。再按照相同過程計算出隨機矩陣的約相關(guān)矩陣R*的特征值。隨機矩陣的被試人數(shù)和變量數(shù)要求與真實矩陣相同。因為特征值代表了因子所解釋的變異，通過比較真實數(shù)據(jù)的特征值與隨機數(shù)據(jù)的特征值可以決定因子的取舍。當(dāng)從真實數(shù)據(jù)中抽取的因子所解釋的變異比從模擬的隨機數(shù)據(jù)中抽取的相應(yīng)因子所解釋的變異大時，應(yīng)保留該因子，否則當(dāng)舍棄。

以下擬借助一個實例，說明在主軸因子法下應(yīng)如何正確使用平行分析。

3基于主軸因子法的平行分析實例

3.1工具性軟件

實現(xiàn)平行分析的具體方法有很多，例如在SPSS、SAS中通過編寫程序語言來實現(xiàn)(Oconnor，2000)，或使用具有平行分析功能的軟件Vista(The Visual Statistics System)(Young，2003)等。前者所涉及的軟件雖具有較高的普及性，但編寫程序語言并非易事。盡管已經(jīng)有研究者公布了這一實現(xiàn)過程的程序語言，然而對于一般的初學(xué)者，仍然很不方便。因此，本研究選擇采用第二種方法。Vista是由北卡羅來納州大學(xué)教堂山分校教授Young及其學(xué)生歷時10年開發(fā)的一種可視化統(tǒng)計分析軟件。該軟件是公開、免費的，可以直接從開發(fā)者的網(wǎng)站下載。軟件的安裝、運行、導(dǎo)入數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)等一系列操作均在可視化操作界面上完成，易于掌握。

3.2數(shù)據(jù)來源

本案所使用的數(shù)據(jù)來自一項對大學(xué)生公正感的問卷調(diào)查研究。該研究在文獻(xiàn)研究的基礎(chǔ)上，通過規(guī)范的量表編制程序，編制了與大學(xué)生公正感有關(guān)的特質(zhì)公正感問卷，來了解大學(xué)生公正感的基本情況。該問卷采用自陳方式，共包含24個題項，從“1-非常不符合”到“5-非常符合”，共分五個等級計分。

本案采用分層隨機抽樣，在福建、浙江和江蘇3省的六所大學(xué)抽取大學(xué)生被試，共發(fā)放問卷430份，回收有效問卷409份，回收有效率為95.12%。信度檢驗表明為，問卷測量的內(nèi)部一致性系數(shù)為0.882，達(dá)到顯著水平。

3.3統(tǒng)計處理

首先，使用SPSS16.0對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，數(shù)據(jù)的KMO測量值為0.860，處于0.80.9之間，表明適合作因子分析。本研究的主要目的在于提供如何在主軸法下進(jìn)行平行分析的樣本，因而選用主軸法來提取因子和計算特征值。表1是使用Vista對數(shù)據(jù)進(jìn)行平行分析得出的結(jié)果，同時根據(jù)表1結(jié)果繪制了圖1：

表1　真實樣本與隨機樣本的特征值比較

圖1　真實數(shù)據(jù)特征值與隨機數(shù)據(jù)特征值比較

從表1可以看出，真實數(shù)據(jù)特征值在第八個因子時大于隨機數(shù)據(jù)特征值的平均值，但小于95%分位值。根據(jù)前文提到的原則，比較隨機數(shù)據(jù)特征值第95百分位數(shù)，保留七個因子。同時應(yīng)參考這七個因子對方差的累積貢獻(xiàn)率以及經(jīng)旋轉(zhuǎn)后因子的可解釋性。如果這七個因子的方差貢獻(xiàn)率太低，則可考慮適當(dāng)多保留一些因子。圖1顯示，因子數(shù)在13以后出現(xiàn)了負(fù)值。這是因為當(dāng)R的對角線元素被小于單位1的數(shù)取代后，比如，用變量的公共因素的估計值取代后，從理論上說，矩陣的R的正定和半正定特性將得以保持。但在實際操作中，約相關(guān)矩陣R*并沒有保持正定和半正定性，此即會有負(fù)的特征值出現(xiàn)(王權(quán)，1993)。

在此需要說明的是，由于對R*的對角線元素進(jìn)行估計有多種方法，因此采用不同的估計方法所算出的特征值會略有不同，但并不會對平行分析的結(jié)果產(chǎn)生實質(zhì)性影響。本研究所使用的Vista在對R*對角線元素進(jìn)行估計時，采用的是前文提到的復(fù)相關(guān)系數(shù)的平方作為估計值，進(jìn)而計算出特征值。這一方法與前文提到的SPSS程序語言所使用的方法一致(Oconnor，2000)。另外，對于因子個數(shù)的保留問題還應(yīng)參照其他標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行綜合判斷，即在遵守簡約性原則與完備性原則的前提下，根據(jù)研究者前期的理論建構(gòu)、自身的專業(yè)知識及研究經(jīng)驗綜合決定因子的取舍(沐守寬，顧海根，2011)。

致謝：感謝美國西北大學(xué)William.Revelle教授，愛荷華州立大學(xué)Daniel W.Russell教授以及南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)系周宇給予本研究的指導(dǎo)和幫助。

參考文獻(xiàn)

沐守寬，顧海根.(2011).探索性因素分析因子抽取方法的比較.心理學(xué)探新，31(5)，477-484.

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Widaman，K.F.，& Herringer，L.G.(1985).Iterative least squares estimates of communality：Initial estimate need not affect stabilized value.Psychometrika，50，469-477.

Young，F(xiàn).W.(2003).Vista(The Visual Statistics System).[computer software] [on-line].Retrieved from http：//forrest.psych.unc.edu/research/index.html.

The Application of Parallel Analysis Based on(Using)the Principal

Axis Factoring in Exploratory Factor Analysis

Gao Shi1，Yang Liping1，Bai Fubao2

(1.School of Psychology，Nanjing Normal University，Nanjing 210097；

2.School of Humanities & Social Sciences，Anhui Agricultural University，Hefei 230036)

Abstract：The decision of how many factors to retain is a critical issue in exploratory factor analysis.Parallel analysis(PA)is one of the most commonly used methods.Present domestic studies have focused mainly on parallel analysis using principal component factoring(PA-PCF)，but parallel analysis using principal axis factoring(PA-PAF)is rarely found.In this article，the rationale of PA-PAF is introduced and the specific procedure of conducting PA-PAF in exploratory factor analysis by using raw data is presented in order to deal with the challenge of factor retention encountered in traditional methods.

Key words：exploratory factor analysis；principal axis factoring；parallel analysis

中圖分類號：B841.2

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1003-5184(2015)05-0471-03

通訊作者：*楊莉萍，E-mail：lpy2908@yahoo.com.cn。