岳承宇 王立峰 趙永輝

(南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016)

引言

顫振是嚴(yán)重的動(dòng)氣動(dòng)彈性不穩(wěn)定現(xiàn)象，當(dāng)飛行器飛行速度超過(guò)顫振臨界速度時(shí)，結(jié)構(gòu)和空氣動(dòng)力相互作用，產(chǎn)生自激的振動(dòng)，往往會(huì)引起災(zāi)難性的后果［1］.顫振主動(dòng)抑制(AFS)技術(shù)是飛行器顫振研究的熱門(mén)領(lǐng)域，相比于顫振被動(dòng)抑制，其優(yōu)點(diǎn)是適應(yīng)性強(qiáng)、效果好、較少增加結(jié)構(gòu)重量.基于主動(dòng)氣動(dòng)彈性機(jī)翼(AAW)的設(shè)計(jì)理念［2］，通常做法是在機(jī)翼上布置多個(gè)控制面，通過(guò)主動(dòng)控制翼面的變形，改變作用在機(jī)翼上的氣動(dòng)力，從而使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定［3-5］.這種方法的不足之處在于能量轉(zhuǎn)換環(huán)節(jié)繁雜，附加部件多，可靠性不足［6］.

智能結(jié)構(gòu)用于顫振主動(dòng)抑制是一種具有廣闊應(yīng)用前景的設(shè)計(jì)理念，含有功能材料的結(jié)構(gòu)除了具有承載能力，還有自我監(jiān)測(cè)與作動(dòng)功能［7］.眾多功能材料中，壓電材料能提供電能與機(jī)械能的直接轉(zhuǎn)換，而且分布靈活，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，響應(yīng)迅速，從而備受關(guān)注.Lazarus等分別使用鋁和石墨/環(huán)氧樹(shù)脂為基板材料，將壓電作動(dòng)器分布于平直板的上下表面，對(duì)升力面的主動(dòng)氣動(dòng)彈性控制問(wèn)題進(jìn)行了理論和實(shí)驗(yàn)研究，風(fēng)洞試驗(yàn)結(jié)果表明顫振速度提高了11%［8］.在此基礎(chǔ)上，Han等進(jìn)一步對(duì)壓電作動(dòng)器進(jìn)行了位置優(yōu)化并應(yīng)用魯棒控制理論以提高控制效果［9］.國(guó)內(nèi)由管德指導(dǎo)的小組進(jìn)行了類(lèi)似的工作，并且完成了風(fēng)洞試驗(yàn)，成功利用壓電作動(dòng)器實(shí)施了升力面的顫振主動(dòng)抑制［10］.

大部分利用壓電材料進(jìn)行顫振主動(dòng)抑制的研究都是采用分布式壓電作動(dòng)器和傳統(tǒng)的傳感器組成的反饋控制系統(tǒng)，而較少使用壓電傳感器.實(shí)際上，壓電傳感器基于正壓電效應(yīng)，具有靈敏度高，頻響范圍大的特點(diǎn).另一個(gè)特點(diǎn)是其在空間上呈連續(xù)分布，可以避免傳統(tǒng)的傳感器由于放置位置不當(dāng)引起的個(gè)別模態(tài)觀測(cè)不到的問(wèn)題［11］.

已有研究通常使用單輸入或較少輸入的控制系統(tǒng)，文獻(xiàn)［9］研究表明驅(qū)動(dòng)力單一使得結(jié)構(gòu)缺少扭轉(zhuǎn)力的作用，從而顫振抑制效果受限.

本文使用多個(gè)壓電作動(dòng)器與傳感器分布于整個(gè)機(jī)翼表面，作動(dòng)器與傳感器對(duì)稱(chēng)粘貼于上下兩側(cè)，并假設(shè)粘貼緊密.在已有的壓電材料中，壓電陶瓷(PZT)壓電應(yīng)變常數(shù)大，驅(qū)動(dòng)力強(qiáng)，適合作為作動(dòng)器，聚偏氟乙烯(PVDF)具有質(zhì)輕、柔韌、靈敏的特點(diǎn)，適合作為傳感器.故本文采用這兩種不同的材料分別作為作動(dòng)器與傳感器.

復(fù)合材料層合板的有限元理論中，經(jīng)典層合板理論(CLPT)適合薄板，一階剪切變形板理論(FSDT)和高階剪切變形板理論(HSDT)適合薄板和中厚板［12］，在考慮了模型的準(zhǔn)確性和節(jié)省計(jì)算規(guī)模后，選擇使用一階剪切變形板理論來(lái)建立結(jié)構(gòu)的機(jī)電耦合模型，并取其前4階固有模態(tài)作為顫振的振型.本文對(duì)這種帶有多個(gè)壓電作動(dòng)器與傳感器的板式智能結(jié)構(gòu)機(jī)翼進(jìn)行了顫振主動(dòng)抑制的研究.

1 有限元方程

1.1 位移場(chǎng)和電勢(shì)場(chǎng)假設(shè)

圖1為帶有壓電層的復(fù)合材料層合板示意圖，壓電鋪層沿z軸極化，板一共有N層，上下兩層分別為壓電作動(dòng)器層與傳感器層，基板采用正交各向異性復(fù)合材料.根據(jù)一階剪切變形板理論的假設(shè)，板上任意一點(diǎn)的位移為

其中:u0、v0為板中面內(nèi)的位移，w0為橫向位移，θx、θy分別表示中面法線繞y、-x軸的轉(zhuǎn)角.

圖1 壓電層合板示意圖Fig.1 Laminated piezoelectric plate configuration

將式(1)寫(xiě)為矩陣的形式為

其中:Δ為位移場(chǎng)向量，d為廣義位移向量;Δ、d和矩陣Z的具體表達(dá)見(jiàn)附錄A.

根據(jù)線彈性體的位移-應(yīng)變關(guān)系，由位移場(chǎng)(1)導(dǎo)出的應(yīng)變場(chǎng)表達(dá)式為

其中:εre為去掉了z方向正應(yīng)變的各應(yīng)變分量組成的向量為中面的面內(nèi)正應(yīng)變和切應(yīng)變組成的向量，κ為中面的曲率和扭率組成的向量，γ0為橫向切應(yīng)變組成的向量.式中矩陣的具體表達(dá)式見(jiàn)附錄B.

壓電層與基板接觸的那一面接地，在壓電片的厚度很薄的情況下，可以假設(shè)電勢(shì)φk(x，y，z，t)沿厚度的分布為線性的［12］(k=1，N)，寫(xiě)出壓電作動(dòng)器層和傳感器層的電勢(shì)場(chǎng)分布函數(shù)為

1.2 本構(gòu)方程

壓電材料的正壓電效應(yīng)和逆壓電效應(yīng)可以由如下的本構(gòu)方程表達(dá)［13］

其中:Ck、ek、?k分別為材料的彈性常數(shù)矩陣、壓電應(yīng)力常數(shù)矩陣、介電常數(shù)矩陣，Ek、Dk為電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和電位移矢量.

一階剪切變形板理論假設(shè)板沿z方向無(wú)正應(yīng)力，故壓電材料的本構(gòu)方程從一般完整的本構(gòu)方程縮減為如下關(guān)系

其中:各矩陣的具體表達(dá)式見(jiàn)附錄C.

基板部分為正交各向異性材料，其本構(gòu)方程為

1.3 有限元插值

整個(gè)結(jié)構(gòu)采用四節(jié)點(diǎn)四邊形等參單元進(jìn)行離散化，單元第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的廣義位移向量參照式(2)寫(xiě)為di(i=1，…，4)，而整個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)廣義位移向量寫(xiě)為

采用雙線性插值函數(shù)對(duì)節(jié)點(diǎn)位移進(jìn)行插值，廣義位移向量可以由節(jié)點(diǎn)位移表示為

利用(9)式，(3)式中的廣義應(yīng)變可以寫(xiě)為

其中:應(yīng)變矩陣Bε、Bκ、Bγ的具體表達(dá)式見(jiàn)附錄D.

在解決剪切鎖死的問(wèn)題上，參考文獻(xiàn)［15-16］的方法，另行假設(shè)橫向剪切應(yīng)變場(chǎng)替代原有的應(yīng)變場(chǎng)γ0，使用單元采樣點(diǎn)處的橫向切應(yīng)變值對(duì)整個(gè)單元的橫向切應(yīng)變進(jìn)行獨(dú)立插值，最后得到的替代橫向切應(yīng)變表示為

將(10)、(11)式一并寫(xiě)為

電場(chǎng)強(qiáng)度為電勢(shì)的負(fù)梯度，即

將(4)式、(13)式代入(14)式可得電場(chǎng)強(qiáng)度的離散表達(dá)為

1.4 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程

單元的總勢(shì)能由彈性體應(yīng)變能和壓電層的電勢(shì)能組成，表示為

其中:Ωk為第k層的體積.

單元的動(dòng)能為

其中:ρk為第k層的質(zhì)量密度.

單元的外力和外加電荷面密度做功為

其中:S為單元的表面積，fs為單元上表面的面力向量，為施加在作動(dòng)器上的外加電荷面密度.

結(jié)構(gòu)的機(jī)電耦合動(dòng)力學(xué)方程可以由Hamilton原理推出，Hamilton原理表示為

將(3)、(6)、(7)、(12)、(15)式代入(16)式，(2)、(9)式代入(17)式，(2)、(9)、(13)式代入(18)式，再將所得結(jié)果代入Hamilton方程(19)，得到單元的動(dòng)力學(xué)方程為

其中:矩陣Me為單元質(zhì)量矩陣，矩陣為單元結(jié)構(gòu)剛度矩陣，矩陣、表示壓電作動(dòng)器和傳感器的外加電載荷和單元節(jié)點(diǎn)電勢(shì)差之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，具有剛度屬性，矩陣、表示作動(dòng)器層、傳感器層與基板之間的靜態(tài)機(jī)電耦合效應(yīng).這些單元特性矩陣由結(jié)構(gòu)的尺寸、壓電層的分布以及材料的物理特性決定;計(jì)算時(shí)先沿z方向積分，再采用2×2的Gauss積分在自然坐標(biāo)系下對(duì)單元表面進(jìn)行積分［14］.為單元的等效外力向量表示施加在作動(dòng)器層的電荷面密度產(chǎn)生的作用力.各矩陣的具體表達(dá)式見(jiàn)附錄F.

實(shí)際操作中，作動(dòng)器層的電勢(shì)分布已知，通過(guò)控制電勢(shì)分布，作動(dòng)器對(duì)結(jié)構(gòu)的作用可以寫(xiě)為等效外力的形式，式(20)可以寫(xiě)為

傳感器層的單元節(jié)點(diǎn)電勢(shì)差可由式(22)得到

對(duì)于沒(méi)有壓電層的單元，其運(yùn)動(dòng)方程可以由(23)式簡(jiǎn)化得到.經(jīng)過(guò)組集得到結(jié)構(gòu)的整體運(yùn)動(dòng)方程和傳感器電壓輸出方程為

其中:X為結(jié)構(gòu)整體位移自由度向量，u為作動(dòng)電壓輸入向量，y為傳感電壓輸出向量.

2 顫振特性分析

圖2為機(jī)翼模型示意圖，圖中的網(wǎng)格為結(jié)構(gòu)有限元網(wǎng)格劃分，機(jī)翼為懸臂式的復(fù)合材料層合板結(jié)構(gòu)，采用T300/976石墨/環(huán)氧樹(shù)脂材料，厚度為3 mm，共4層，單層厚度為0.75 mm，鋪層角度為［90/0/0/90］.機(jī)翼上分布15個(gè)壓電區(qū)，片狀的壓電作動(dòng)器和傳感器對(duì)稱(chēng)粘貼于機(jī)翼上下表面，作動(dòng)器材料采用PZT-5A，厚度為0.4 mm，傳感器材料采用PVDF，厚度為0.1 mm.每個(gè)壓電片的作動(dòng)電壓為獨(dú)立變量，且在單個(gè)壓電片上相同，傳感器輸出每個(gè)壓電片中部的電壓，計(jì)算時(shí)輸出電壓由單元節(jié)點(diǎn)電勢(shì)差插值得到.

各材料的特性參數(shù)見(jiàn)附錄G.

圖2 機(jī)翼模型示意圖Fig.2 Wing model configuration

對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力特性分析，即求解廣義特征值問(wèn)題

其中:Φ為固有振型矩陣，Λ為廣義特征值組成的對(duì)角陣.

利用(25)式中的K、M矩陣對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力特性分析時(shí)，假設(shè)了電壓輸入u為0，即壓電作動(dòng)器上分布的電勢(shì)差為0，這實(shí)際要求作動(dòng)器閉路.計(jì)算機(jī)翼的前4階固有模態(tài)如圖3所示.

圖3 機(jī)翼固有頻率與固有振型Fig.3 Wing natural frequencies and mode shapes

采用偶極子網(wǎng)格法(DLM)計(jì)算頻域亞音速非定?？諝鈩?dòng)力［17］，空氣動(dòng)力網(wǎng)格如圖4所示，空氣動(dòng)力網(wǎng)格點(diǎn)與結(jié)構(gòu)有限元網(wǎng)格點(diǎn)的連接采用無(wú)限板樣條(IPS)方法［18］.(25)式中的F1寫(xiě)為與結(jié)構(gòu)有關(guān)的頻域氣動(dòng)力形式

其中:qd為動(dòng)壓，Qgg為廣義空氣動(dòng)力矩陣，是減縮頻率和馬赫數(shù)M∞的函數(shù).

圖4 升力面上的空氣動(dòng)力網(wǎng)格Fig.4 Aerodynamic grids on the lifting surface

引入模態(tài)坐標(biāo)變換

其中:Φ只取結(jié)構(gòu)的前4階振型，q為模態(tài)坐標(biāo)向量.

得到模態(tài)坐標(biāo)下的氣動(dòng)彈性方程和傳感器電壓輸出方程為

采用V-g法對(duì)未控系統(tǒng)進(jìn)行顫振分析［18］，取海平面處大氣密度ρa(bǔ)=1.225kg/m3，并假設(shè)空氣為不可壓縮流(M∞=0)，得到顫振V-g和V-f圖如圖5所示.從圖中可以看出機(jī)翼的顫振速度為51.74 m/s，顫振頻率為19.90 Hz.

3 時(shí)域狀態(tài)空間方程

在設(shè)計(jì)顫振主動(dòng)抑制的控制律時(shí)，需要用到時(shí)域的空氣動(dòng)力，(30)式中由偶極子網(wǎng)格法計(jì)算出的廣義空氣動(dòng)力矩陣Q，M∞)是在機(jī)翼做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件下得到的，屬于頻域氣動(dòng)力.為了得到時(shí)域氣動(dòng)力，通常的做法是利用若干離散頻率點(diǎn)處的廣義空氣動(dòng)力矩陣，將空氣動(dòng)力矩陣Q在Laplace域用有理函數(shù)擬合表達(dá)，再通過(guò)引入空氣動(dòng)力狀態(tài)變量，將整個(gè)方程轉(zhuǎn)換到時(shí)域，最后得到被控系統(tǒng)時(shí)域下的狀態(tài)空間方程.

本文采用Roger近似法擬合空氣動(dòng)力矩陣［18］，矩陣Q，M∞)在Laplace域中近似表示為

其中:A0，…，為待定系數(shù)矩陣，γr-2為空氣動(dòng)力滯后項(xiàng)=sbR/V，s為拉氏變量，bR為參考半弦長(zhǎng)，V為來(lái)流速度.各待定系數(shù)矩陣根據(jù)已知頻率點(diǎn)處的空氣動(dòng)力矩陣Q，M∞)求得.

引入空氣動(dòng)力狀態(tài)變量

由(33)式可得空氣動(dòng)力狀態(tài)變量自身滿足的時(shí)域微分方程為

圖5 顫振V-g和V-f圖Fig.5 FlutterV-g and V-f plots

利用式(32)將(30)式右邊第一項(xiàng)在Laplace域近似表示，引入空氣動(dòng)力狀態(tài)變量后再作Laplace逆變換，最終(30)式可以寫(xiě)為

其中:Acon、Bcon、Ccon分別為系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣與輸出矩陣，其具體表達(dá)式見(jiàn)附錄H.

4 控制律設(shè)計(jì)與仿真分析

最優(yōu)控制理論中［19］，線性定常系統(tǒng)的輸出調(diào)節(jié)器問(wèn)題表述為尋找最優(yōu)控制律

使得如下二次型性能指標(biāo)達(dá)到極小

其中:Q1、R1為對(duì)應(yīng)輸入和輸出的權(quán)系數(shù)矩陣，為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化，均取為正定對(duì)角陣.權(quán)矩陣的取值由經(jīng)驗(yàn)給定，合適的權(quán)矩陣使系統(tǒng)盡快鎮(zhèn)定的同時(shí)，輸入電壓應(yīng)保持在壓電材料可以承受的范圍.

增益反饋矩陣Fcon由下式求得

其中:P1為如下Riccati方程的解

針對(duì)本文的氣動(dòng)彈性系統(tǒng)，狀態(tài)變量x中包含結(jié)構(gòu)的模態(tài)坐標(biāo)及其對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，另外還有引入的空氣動(dòng)力狀態(tài)變量，狀態(tài)變量x實(shí)際上無(wú)法直接測(cè)得.LQG控制增加了最優(yōu)濾波器設(shè)計(jì)過(guò)程，通過(guò)系統(tǒng)的輸入u和輸出y，可得出狀態(tài)變量x的最優(yōu)估計(jì)值，表示為

根據(jù)Kalman濾波理論，若系統(tǒng)存在噪聲，對(duì)狀態(tài)變量和輸出變量測(cè)量過(guò)程中Gauss白噪聲的協(xié)方差矩陣分別為Q2和R2，濾波器增益矩陣H為

其中:P2為如下Riccati方程的解

LQG控制律表示為

包括了控制器的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)由圖6所示，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

圖6 LQG控制器結(jié)構(gòu)Fig.6 Block diagram of LQG controller

為了精確擬合氣動(dòng)力，本文取4個(gè)空氣動(dòng)力滯后項(xiàng)，分別為γ1=0.34，γ2=0.89，γ3=2.56，γ4=13.46，此時(shí)系統(tǒng)矩陣Acon為24階.對(duì)開(kāi)環(huán)、閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，隨著來(lái)流速度的增加，系統(tǒng)特征根軌跡如圖7所示，圖中刪去了零頻率附近無(wú)意義模態(tài)的特征根.

圖7 隨著來(lái)流速度增加開(kāi)閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡Fig.7 Root locus of open-loop and close-loop system with increasing incoming flow velocity

未控系統(tǒng)在來(lái)流速度達(dá)到51.74m/s時(shí)開(kāi)始出現(xiàn)正實(shí)部的特征根，即發(fā)生了顫振，其結(jié)果與上文V-g法顫振分析得到的結(jié)果相同.閉環(huán)系統(tǒng)的特征根全部在復(fù)平面的左半平面，表明受控系統(tǒng)是穩(wěn)定的.在流速較大時(shí)(V=100m/s)，系統(tǒng)仍保持穩(wěn)定，這個(gè)結(jié)果是在未考慮壓電作動(dòng)器的最大承載電壓的情況下得到的，實(shí)際上在流速較大時(shí)，輕微的擾動(dòng)也需要作動(dòng)器提供較大的驅(qū)動(dòng)力才能使系統(tǒng)鎮(zhèn)定，作動(dòng)電壓有可能超出了壓電材料所能承受的極限，此種情況本文未作考慮.另一方面，本文使用了15個(gè)壓電作動(dòng)器分布在整個(gè)機(jī)翼表面，對(duì)機(jī)翼前數(shù)階模態(tài)的聯(lián)合顫振有較全面的控制能力，在更多模態(tài)參與下的顫振抑制效果還有待研究.

對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)響應(yīng)仿真計(jì)算，采用Runge-Kutta法求解系統(tǒng)的動(dòng)響應(yīng)，設(shè)定來(lái)流速度V=54m/s，在t=0.5s時(shí)施加控制，結(jié)果如圖8所示.

圖中位移響應(yīng)為翼梢后緣點(diǎn)的橫向位移時(shí)間歷程，可以看到系統(tǒng)在初始擾動(dòng)下發(fā)散運(yùn)動(dòng)，施加控制后大約在t=1s時(shí)系統(tǒng)趨于鎮(zhèn)定.圖中給出的控制電壓是翼根處的三塊壓電作動(dòng)器的控制電壓，一般情況下所有作動(dòng)器的控制電壓最大值不超過(guò)第一塊作動(dòng)器的最大控制電壓，LQG控制律的算法是讓總的控制能量盡可能的小，第一塊壓電作動(dòng)器在控制過(guò)程中起到了較大作用.

圖8 系統(tǒng)的時(shí)間歷程(V=54m/s)Fig.8 Time histories of the system at V=54m/s

5 結(jié)論

本文研究了一個(gè)帶有分布式壓電作動(dòng)器與傳感器的復(fù)合材料板結(jié)構(gòu)機(jī)翼的升力面顫振的主動(dòng)抑制問(wèn)題.多對(duì)壓電作動(dòng)器與傳感器對(duì)稱(chēng)粘貼在機(jī)翼上下表面，作動(dòng)器和傳感器采用不同的壓電材料，傳感器輸出由于結(jié)構(gòu)變形產(chǎn)生的電壓，作動(dòng)器主動(dòng)輸入控制電壓使作動(dòng)器對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生作用力.通過(guò)主動(dòng)控制律的實(shí)施，升力面顫振被較好地抑制，證明了本文顫振主動(dòng)抑制方法的有效性.

本文較詳細(xì)地推導(dǎo)了復(fù)合材料壓電層合板的有限元方程，建模方法不局限于本文中上下兩面粘貼有壓電片的板結(jié)構(gòu)模型，還可以推廣到壓電片嵌于復(fù)合材料板之中的結(jié)構(gòu)，壓電層數(shù)也可以是多層.

今后可研究作動(dòng)器和傳感器的位置優(yōu)化以提高控制效率，研究考慮模型不確定性的魯棒控制或自適應(yīng)控制以接近工程實(shí)際.

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